1. กฏของ Hamilton และ Lagrange’s Equations 1 - บทนำ ที่ผ่านมา เราได้ศึกษาถึงกฏของนิวตัน ซึ่งสามารถนำมาใช้ในการ ทำนายการเคลื่อนที่ ของวัตถุต่างๆ ในกรณีที่ผู้สังเกตอยู่นิ่ง ( หรือมีความเร็วคงที่ ) จะได้ว่า กล่าวคือ ความเร่งของวัตถุใดๆ ขึ้นอยู่กับแรงลัพท์และมวลนั่นเอง ยกตัวอย่างเช่น กล่องกระดาษที่เลื่อนลงมาตามพื้นลาด ดังจะเห็นในภาพที่ (1.1) สมการ (1.1) ภาพที่ (1.1) ในขณะที่วัตถุกำลังเลื่อนลงมา ก็ย่อมมีความเร่ง ในทิศขนานกับพื้นลาด หรืออีกนัยหนึ่ง แบบฝึกหัด ถ้ากล่องเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นเป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานจลย์เป็น จงทำนายตำแหน่งของกล่อง ณ เวลาใดๆ

2. x y เนื่องจากวัตถุไม่มีการเคลื่อนที่ตามแนวแกน y โดยธรรมชาติของแรงเสียดทานนั้น แปรผันตรงกับแรง N ดังนั้น แรงลัพท์ที่กระทำกับวัตถุคือ ตามกฏของนิวตัน จะได้ว่า ตำแหน่งของกล่อง ณ เวลาใดๆ ก็คือ

3. ตามตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า กลศาสตร์ของนิวตันนั้นมีหัวใจสำคัญ ก็คือการหา แรงลัพท์ ที่กระทำกับวัตถุใดๆ แต่ในบางกรณี การคำนวนหาแรงลัพท์ อาจจะกระทำได้ลำบาก ดังจะเห็นในภาพที่ (1.2) เมื่อการคำนวนหาแรงลัพท์เป็นไปด้วยความลำบาก กฏของนิวตันตามสมการที่ (1.1) ในบางครั้งอาจไม่สามารถนำมาศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในระบบนั้นๆได้ ภาพที่ (1.2) แสดงการเคลื่อนที่ของกล่องในรางที่เป็นเส้นโค้ง เนื่องจากตัวกล่องมีจุดสัมผัสกับรางอยู่ 2 จุด แรงที่ตัวรางกระทำกับกล่องจึงมีความซับซ้อน อีกทั้งตัวรางที่โค้ง ทำให้ทิศทางของแรง และ เปลี่ยนแปลงไปตามตำแหน่งของกล่อง

4. กฏของ Hamilton เป็นอีกมุมมองหนึ่งที่สามารถใช้ในการทำนาย การเคลื่อนที่ของวัตถุ ได้คล้ายๆกับกฏของนิวตัน ซึ่งทั้ง 2 ทฤษฏีนี้ มีประวัติความเป็นมา ยาวนานไม่แพ้กัน อย่างไรก็ตาม กฏของ Hamilton นั้น นอกจากจะนำมาใช้ในแง่ของกลศาสตร์ กล่าวคือ ว่าด้วยการเคลื่อนที่ของอนุภาค แล้วนั้น กฏของ Hamilton ยังสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการศึกษาสาขาอื่นๆของฟิสิกส์ ยกตัวอย่างเช่น Optics สนามแม่เหล็กไฟฟ้า ทฤษฏีสัมพัธภาพทั่วไป quantum electrodynamics และอื่นๆ Newton ริเริ่ม Variational Calculus 1686 Johann and Jacob Bernoulli 1696 Euler 1744 ขยายขอบเขต Legendre 1786 Lagrange 1788 Hamilton 1833 Jacobi 1837 ต่อยอด Marion Thornton, “Classical dynamics of particles and systems.” 4 th edition. ภาพบุคคลสำคัญจาก Wikipedia

5. 2 – Hamilton Principle เพื่อที่จะหากฏเกณฑ์ทางฟิสิกส์ที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ของธรรมชาตินั้น เริ่มมาตั้งแต่อดีต นักวิทยาศาสตร์มีแนวความคิดเกี่ยวกับ Minimum Principle กล่าวคือ การเคลื่อนไหวของสรรพสิ่งนั้น เกิดจากการที่ธรรมชาติพยามที่จะทำให้ปริมาณในทางฟิสิกส์ มีค่าต่ำที่สุด ( หรือสูงที่สุด ) ยกตัวอย่างเช่น (1) ลูกบอล พยามจะอยู่ในสถานะที่มี พลังงาน ต่ำที่สุด (3) นักเรียนเดินจากตึกคณะบดี ไปยังตึกฟิสิกส์ โดยเลือก ระยะทาง ที่ สั้นที่สุด (2) นักธุรกิจวางแผนการตลาดเพื่อให้ได้ กำไร สูงที่สุด

6. 2.1 – การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Alexander มหาราช พระองค์ทรงสังเกตว่า มุมสะท้อนของแสงนั้น จะเท่ากับมุมตกทบ ซึ่งปรากฏการณ์ดังกล่าวนี้ สามารถอธิบายโดยหลักการที่ว่า การที่แสงเดินทางจาก A ไป B โดยผ่านกระจกนั้น มันจะเลือก เส้นทาง ที่ สั้นที่สุด เสมอ A B C d ตามแนวคิดของ Alexander แสงเลือกที่จะเดินตามเส้นทางดังกล่าวนี้ ก็เพราะเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดนั่นเอง y x C C การบ้าน (1.1a) กำหนดให้กระจกวางในแนวแกน y ดังภาพ สมมุติว่าแสงเริ่มเดินทางออกจากจุด A กระทบกับกระจกที่จุด C และพุ่งมายังจุด B ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า ระยะทางทั้งหมดที่แสงจะต้องเดินทางนั้น มีค่าเป็น การบ้าน (1.1b) จงพิสูจน์ว่า ระยะทาง S จะมีค่าน้อยที่สุด ก็ต่อเมื่อ กล่าวคือ แสงจะตกกระทบที่ครึ่งทางระหว่าง A และ B ซึ่งเป็นเหตุให้มุมตกกระทบ และมุมสะท้อนมีค่าเท่ากัน

7. A B 2.1 – การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Fermat อย่างไรก็ตาม หลักการของ Alexander นั้น ไม่สามารถอธิบายการหักเหของแสงได้ ดังจะเห็นในภาพ ถึงแม้ว่า เส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุด A ไปยัง B นั้น ก็คือเส้นตรงสีแดง แต่ในความเป็นจริงตามธรรมชาติแล้ว แสงจะมีการหักเหเมื่อมันเดินทางผ่านรอยต่อของวัสดุต่างชนิดกัน กล่าวคือ แสงจะเดินทางตามเส้นทางสีเขียวนั่นเอง Fermat มีแนวความคิดที่แตกต่างออกไป จาก Alexander กล่าวคือ Fermat คิดว่าแสงจะเลือกเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B โดย เลือกเส้นทาง ที่ ใช้เวลาน้อยที่สุด การบ้าน (1.2) ถ้าสมมุติว่า ดัชนีหักเหของแสงในตัวกลางทั้งสองมีค่าเป็น n 1 และ n 2 ดังที่เห็นในภาพ จงใช้หลักการของ Fermat พิสูจน์ให้เห็นจริงว่า ซึ่งสมการข้างต้นนี้ เป็น สมการการหักเหของแสงตามกฏของ Snell นั่นเอง

8. กำหนดให้แสงเดินทางผ่านจุด ACB โดยสมมุติว่าเรายังไม่ทราบแน่ชัดว่า จุด C คือตำแหน่งใดกันแน่ จึงให้เป็นตัวแปรที่เปลี่ยนค่าได้ C (x C ,0) B (x B ,y B ) A (x A ,y A ) ความเร็วของแสงในตัวกลางเท่ากับ ระยะทาง AC เท่ากับ ดังนั้น เวลาที่แสงใช้ในการเดินทางในระยะ AC เท่ากับ ในระยะ CB เท่ากับ ซึ่งรวมเป็นเวลาทั้งหมด จะเห็นว่าเวลาที่แสงเดินทางนั้น ขึ้นอยู่กับค่า x c ซึ่งตามหลักของ Fermat แล้ว แสงจะเลือกเดินทางโดยใช้เวลาน้อยที่สุด กล่าวคือ

9. C (x C ,0) B (x B ,y B ) A (x A ,y A ) จะได้ว่า กฏการหักเหแสง Snell เมื่อ และ คือ ดัชนีการหักเหของแสงในตัวกลาง คือ มุมตกกระทบ คือ มุมสะท้อน

10. 2.1 – การเคลื่อนที่ของวัตถุ ตามแนวคิดของ Hamilton ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆนั้น Hamilton ตีพิมพ์ผลงาน 2 ฉบับในปี 1834 และ 1835 ซึ่งต่อมาภายหลังเป็นพื้นฐานของทฤษฏีในทางกลศาสตร์อีกหลายสาขา โดยมีใจความว่า การที่วัตถุจะเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B นั้น มันจะเลือกเส้นทางที่ มีค่าน้อยที่สุด อันจะได้ขยายความดังต่อไปนี้ 1) เมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่ ก็ย่อมจะมี พิกัด และความเร็ว ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา 2) ในขณะที่เคลื่อนไหว วัตถุมีพลังงานจลย์ ซึ่งขึ้นอยู่กับความเร็ว 3) ถ้าวัตถุอยู่ท่ามกลางสนาม เช่น สนามโน้มถ่วงของโลก สนามไฟฟ้า มันก็ย่อมมีพลังงานศักย์ 4) ให้คำนิยามของผลต่างระหว่างพลังงานจลย์และพลังงานศักย์เป็น 5) ถึงแม้ว่าการเคลื่อนที่จาก A ณ เวลา t 1 ไปยัง B ณ เวลา t 2 จะเป็นไปได้หลายเส้นทาง เส้นทางที่แท้จริงนั้นจะมีค่า น้อยที่สุดเสมอ A B ยกตัวอย่าง

11. ตัวอย่าง การเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามแรงโน้มถ่วง บนพื้นผิวโลก A B พลังงานจลย์ พลังงานศักย์ -4162 Js 5 Js 1584 Js -2995 Js

12. 2.2 – คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation สมมุติว่าเรามีค่าของ J ซึ่งอยู่ในรูปของ Integral โดยที่ เป็นฟังชันส์ใดๆ ถ้าเราต้องการจะหา ที่ทำให้ J มีค่าต่ำที่สุด จะทำอย่างไร ? Euler ค้นพบวิธีเป็นครั้งแรกเมื่อปี 1774 โดยกล่าวว่า ที่ทำให้ J มีค่าต่ำที่สุดนั้น เป็นคำตอบของ สมการ

13. ตัวอย่าง จงหาเส้นทางที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดสองจุด โดยใช้สมการของ Euler y x A (x 1 ,y 1 ) B (x 2 ,y 2 ) y(x) 1) กำหนดให้ y(x) เป็นสมการของเส้นทางที่เชื่อมระหว่าง จุด A และ จุด B 2) ดังนั้น ระยะทางทั้งหมดในการเคลื่อนที่เท่ากับ 3) เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของ Euler จะได้ว่า 4) จึงสร้างสมการของ Euler ได้ดังนี้ ค่าคงที่

14. ( ค่าคงที่ ใดๆ ) เส้นทางที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดสองจุด คือเส้นตรง การบ้าน (1.3) จงหาเส้นทางที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดสองจุด ในสามมิติ ค่าคงที่ หรืออีกนัยหนึ่ง

15. 2.2 – คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation แบบมีเงื่อนไข ในบางครั้ง การที่จะหาจุดสูงสุง หรือต่ำสุดของฟังชันส์ ก็มีสมการของเงื่อนไข เข้ามาเกี่ยวข้อง 0) วาดรูปให้สวยงาม และ เลือกพิกัดที่เหมาะสม ข้อจำกัด : ความยาวรอบรูป 2 เมตร ฟังชันส์ที่ต้องการ Optimize : พื้นที่ ยกตัวอย่าง มีเชือกยาว 2 เมตร จะขดให้เป็นวงรูปทรงใด จึงจะได้พื้นที่สูงที่สุด (r,  ) Polar Coordinate r=r(  ) (x,y) Cartesian y=y(x) r  ในกรณีของรูปทรงข้างต้น

16. 2) สร้างสมการเงื่อนไข 2) กำหนดให้สมการเงื่อนไข (Constraint Equations) กรณีตัวอย่าง กรณีใดๆ ในภาษาแบบ Euler-Lagrange 1) กำหนดสิ่งที่ต้องการ Optimize Lagrange เผยแพร่วิธีการแก้เมื่อปี 1788 (44 ปีหลังจากสมการของ Euler ในข้างต้น ) 3) สร้างระบบของ Lagrange undetermined multiplier และแก้สมการ เรียกว่า Lagrange undetermined multiplier ซึ่งเป็นค่าคงที่

17. 4) ตระเตรียมความพร้อมของเทอมต่างๆ 5) จากนั้นอ้างถึงสมการของ Lagrange Undetermined Multiplier Equation แล้วสร้างสมการของระบบที่กำลังศึกษาอยู่ 6) ลุย ! ( โดยใช้ทักษะทางคณิตศาสตร์ )

18. ซึ่งเป็นสมการของวงกลม ที่มีรัศมีเท่ากับ จึงจะเป็นรูปที่มีพื้นที่มากที่สุด จากสมการ Euler-Lagrange ลดรูปให้ง่ายขึ้น Equ(1) Equ(2) แทนค่าของ ในสมการที่ (1) เข้าไปในสมการที่ (2) แทนค่าของ คือเข้าไปในสมการที่ (1)

19. 2.3 – ตัวอย่าง Classic แบบสากล : Catenary Catenary มีรากศัพท์มาจากคำภาษาลาตินว่า “ Catena” ซึ่งแปลว่า โซ่ มีที่มาจากการศึกษาลักษณะความโค้งของโซ่ ที่ปลายทั้งสองข้างขึงอยู่ในระดับเดียวกัน Galileo claims ( ขี้เดา ) ว่าโซ่จะห้อยเป็นรูป Parabola ปี 1969 - Jungius พิสูจน์ให้เห็นจริงว่าไม่ใช่ Parabola แต่ทว่ารูปทรงจริงจะเป็นอย่างไรนั้น ไม่ทราบ ปี 1971 - Robert Hook ประกาศอย่างเป็นทางการว่าต่อราชวงศ์อังกฤษว่า สามารถออกแบบรูปทรงของโดม ที่มีความแข็งแรงที่สุด แต่ไม่บอกวิธีการทำ ( ปล่อยให้งง ) ปี 1691 - Jacob Bernoulli ถ้าลูกศิษย์ตัวเองให้แก้โจทย์ข้อนี้ - Leibneiz, Huygens, และ Johann Bernoulli แก้สมการรูปทรงของโซ่ได้สำเหร็จ

20. เกล็ดความรู้ แผนผังครอบครัวของ ตระกูล Bernoulli

21. 2) สร้างสมการเงื่อนไข 1) กำหนดสิ่งที่ต้องการ Optimize x y (+a,0) (-a,0) y(x) คืออะไร ? ข้อสอบ Final จงพิสูจน์ว่า ลักษณะของเส้นโค้ง อยู่ในรูปของ Hyperbolic Cosine กล่าวคือ วิธีการทำดังจะได้ขยายความ ดังต่อไปนี้

22. ลักษณะความโค้งแบบ Catenary เป็นความโค้งของโดมที่ให้ความแข็งแรงสูงที่สุด ข้อสอบ Final รวมกลุ่ม กลุ่มละไม่เกิน 6 คน สร้าง The Arc of Catenary ความสูงอย่างน้อย 1 เมตร ทำจากกระดาษแข็ง งบประมาณเบิกได้ The Gateway ณ เมือง St.Louis สะพาน แบบ Catenary

23. 2.4 – สมการการเคลื่อนที่ของ Lagrange ตามหลักการของ Hamilton วัตถุจะเคลื่อนที่ตาม เส้นทาง ที่ทำให้ มีค่าน้อยที่สุด โดยที่ ก็คือผลต่างของพลังงานศักย์และพลังงานจลย์ หรือ คำถามก็คือว่า แล้วเส้นทางที่ว่านี้ จะหาได้อย่างไร ? คำตอบคือ เราสามารถใช้หลักการของ Euler มาแก้หาจุดต่ำสุดได้ดังต่อไปนี้ ซึ่ง คือสมการข้อจำกัด (equations of constraint) ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่าพิกัดต่างๆ ที่เขียนให้อยุ่ในรูปมาตรฐาน สมการนี้เรียกว่า Lagrange Equation

24. ตัวอย่าง พิจารณาระบบที่มีพิกัดแบบทรงกระบอก ถ้าเรางอลวดเป็นทรงพาราโบล่า ที่มีสมการ จากนั้นนำลูกปัดมวล m ไปเสียบไว้ที่ข้างไดข้างหนึ่ง เส้นลวดจะต้องหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม เท่าได้ ลูดปัดจึงจะไม่หล่นลงพื้น แต่อยู่นิ่งกับที่ ? วิธีทำแบบที่ 1 ตัวแปรอิสระคือ r

25. วิธีทำแบบที่ 2 ตัวแปรอิสระคือ r และ z + สมการข้อจำกัด ------- Equation (1) ------- Equation (2)

26. 2.4 – ความหมายของ  จากสมการของ Lagrange ในระบบแบบมีข้อจำกัด เราสามารถที่จะตีความได้ว่า ก็คือ Force of Constrain นั่นเอง Force of Constrain แปลว่าแรง ที่มีผลทำให้วัตถุ เคลื่อนที่ตามข้อจำกัดนั้นๆ ตัวอย่าง การเคลื่อนที่ของวัตถุตามแนวราบ กำหนดให้ตัวแปรอิสระเป็น {x,y} จะได้ว่า

27. ตัวอย่าง วัตถุที่เคลื่อนที่บนทรงกลม จงหามุม   ที่วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ออกจากพื้นผิว สร้างสมการการเคลื่อนที่ได้ดังนี้ ดังนั้น แรงในแนวรัศมีคือ ซึ่งเท่ากับศูนย์เมื่อ

28. 2.5 – ใช้ กฏของ Hamilton เพื่อ derive หลักการต่างๆ ในทางฟิสิกส์ Derive กฏของนิวตัน Derive กฏการอนุลักษ์พลังงาน Derive กฏการอนุลักษ์โมเมนตัม

29. 2.5 – Generalized Coordinates

30. 2.5 – สมการการเคลื่อนที่ ในรูปแบบของ Hamiltonian

31. ตัวอย่าง การบ้าน (3.1)