Rapid Improvement: How to Change Behaviors & Get Stuff Done FASTTKMG, Inc.
Recorded webinar: http://slidesha.re/1jKwkjg
Subscribe: http://www.ksmartin.com/subscribe
Karen’s Books: http://ksmartin.com/books
In today's world of rapid change, it's increasingly important for organizations to build rapid problem-solving and execution capabilities.
In this webinar, you'll learn how to use Kaizen Events (aka Rapid Improvement Events) and the elements of Kaizen Events to not only get fast results, but to also change organizational paradigms and behaviors.
On the nature of FMECA... An introductionMartGerrand
Here's a presentation on Failure Modes, Effects and Criticality Analysis (FMECA) I did a few years ago, so the references may be truly historical. It's for educational use only - not for resale - so just enjoy!
Get faster design success eliminating mistakes and proyect bugs by preventive use of DFMEA preventive and corrective actions. Practical experiences and tips
This document provides an introduction to systematic problem solving using the 8D method. It discusses the purpose and content of the training, which is to teach participants a disciplined problem solving approach. The training schedule is outlined, which includes exercises to apply the 5 pillars of 5S: Sort, Set in Order, Shine, Standardize, and Sustain. Types of problems are defined, including sporadic versus chronic problems. The 8D problem solving model is introduced, which follows a plan-do-check-act cycle. Key aspects of systematic problem solving such as defining the problem, understanding root causes, using data and tools, and preventing recurrences are also outlined.
This document outlines a plan to reduce SMT changeover time at Bose from 30 minutes to 18 minutes (a 40% reduction). It involves a 12-step process to define the problem, analyze root causes, identify countermeasures, implement solutions, and monitor results. Key countermeasures selected include training on a "F1 mindset", moving tasks like material scanning and setup preparation offline, and ensuring gantry tables are ready ahead of changeovers. Initial results showed the new changeover time of 18 minutes was achieved. Ongoing monitoring and standardization across lines is planned.
This document provides information about an SMT equipment manufacturer called ETA Technology including their contact information, products, and operational manuals. It describes the heating principles and temperature control of their reflow ovens. The heating zones, temperature curves, and process for setting customized temperature profiles are explained to achieve proper soldering results for different PCB board and component characteristics.
Rapid Improvement: How to Change Behaviors & Get Stuff Done FASTTKMG, Inc.
Recorded webinar: http://slidesha.re/1jKwkjg
Subscribe: http://www.ksmartin.com/subscribe
Karen’s Books: http://ksmartin.com/books
In today's world of rapid change, it's increasingly important for organizations to build rapid problem-solving and execution capabilities.
In this webinar, you'll learn how to use Kaizen Events (aka Rapid Improvement Events) and the elements of Kaizen Events to not only get fast results, but to also change organizational paradigms and behaviors.
On the nature of FMECA... An introductionMartGerrand
Here's a presentation on Failure Modes, Effects and Criticality Analysis (FMECA) I did a few years ago, so the references may be truly historical. It's for educational use only - not for resale - so just enjoy!
Get faster design success eliminating mistakes and proyect bugs by preventive use of DFMEA preventive and corrective actions. Practical experiences and tips
This document provides an introduction to systematic problem solving using the 8D method. It discusses the purpose and content of the training, which is to teach participants a disciplined problem solving approach. The training schedule is outlined, which includes exercises to apply the 5 pillars of 5S: Sort, Set in Order, Shine, Standardize, and Sustain. Types of problems are defined, including sporadic versus chronic problems. The 8D problem solving model is introduced, which follows a plan-do-check-act cycle. Key aspects of systematic problem solving such as defining the problem, understanding root causes, using data and tools, and preventing recurrences are also outlined.
This document outlines a plan to reduce SMT changeover time at Bose from 30 minutes to 18 minutes (a 40% reduction). It involves a 12-step process to define the problem, analyze root causes, identify countermeasures, implement solutions, and monitor results. Key countermeasures selected include training on a "F1 mindset", moving tasks like material scanning and setup preparation offline, and ensuring gantry tables are ready ahead of changeovers. Initial results showed the new changeover time of 18 minutes was achieved. Ongoing monitoring and standardization across lines is planned.
This document provides information about an SMT equipment manufacturer called ETA Technology including their contact information, products, and operational manuals. It describes the heating principles and temperature control of their reflow ovens. The heating zones, temperature curves, and process for setting customized temperature profiles are explained to achieve proper soldering results for different PCB board and component characteristics.
This document outlines an agenda for a workshop on A3 thinking and problem solving. The workshop objectives are to explore lessons from Managing to Learn using A3s. The agenda covers defining an A3, working through examples, applying A3 thinking to problems, and discussing uses of A3s for proposals and reports. Time is allotted to introduce A3 concepts, examine example A3s, have participants apply the process to their own work, and reflect on learning. The workshop aims to help participants recognize effective A3 stories and create different sections of an A3 through practice and discussion.
Download the presentation together with train-the-trainer guide and workshop templates at http://wcm.nu
This presentation is made by Oskar Olofsson, WCM Consulting AB
Make changes in the background template if you want to change the appearance
The document discusses quick changeovers and SMED (Single Minute Exchange of Die) methodology. It provides a 10 step process for analyzing and streamlining a changeover process, including observing the current process, separating internal and external tasks, converting internal tasks to external where possible, streamlining tasks, testing the new process, documenting it, and continuously improving changeover times. The goal is to reduce changeover times to under 10 minutes or ideally under 100 seconds through applying SMED principles like eliminating non-value added tasks, establishing standards, and making tasks parallel and more efficient.
The document outlines the key elements of an Enterprise Operating System (e-OS) for lean management, including hoshin kanri planning, production planning, budgeting, follow up meetings, and continuous improvement tools like QCC and suggestion schemes. The e-OS aims to achieve standardization through PDCA cycles and ensure involvement from all employees in daily and monthly meetings focused on KPIs, production, quality, and safety. Application of lean tools like 5S, TPM, and kaizen are also emphasized for continuous improvement.
This document outlines an agenda for a SET-UP Reduction Workshop. The workshop aims to teach techniques for reducing set-up times through applying Single Minute Exchange of Dies (SMED) methodology. The agenda covers why SMED is important, defining relevant terms, analyzing current set-up operations, separating internal and external tasks, using checklists and function checks, improving transport, and taking action to reduce set-up times. The workshop provides information on SMED concepts and guides participants through exercises to analyze their processes and identify opportunities to standardize, parallelize, and streamline set-up tasks.
This document discusses concepts related to production leveling including Heijunka, standard work, and continuous improvement. Heijunka involves leveling production to evenly distribute workload and demand across each day to maximize efficiency. Standard work establishes consistent processes and templates. Continuous improvement, also called Kaizen, relies on permanent and temporary teams identifying areas for improvement through reflection meetings and applying the PDCA cycle for organizational learning.
We all want to support the accomplishment of safe and trouble-free products and processes. Failure Mode and Effects Analysis has the potential to be a powerful reliability tool to reduce product design and manufacturing risk in a cost effective manner. With shorter product development times, tighter budgets and intense global competition, Design for Reliability tools such as FMEA must be applied correctly. Yet in practice, FMEA does not always achieve the expected results. Why is it that some companies have outstanding success in their FMEA application and others do not? What is the difference between well done and poorly done FMEAs? What are the essential elements of an effective FMEA process? These questions and more are answered in these three new short courses on FMEA.
This document discusses production preparation process (3P), a cross-functional team approach for designing lean production processes for new or modified production lines. The 3P methodology involves bringing together members from planning, production, quality, logistics, engineering, and suppliers to understand the designed production process using prototypes and mock-ups. This helps test assumptions before equipment is ordered and installed. Key benefits of 3P workshops include a smooth start of production without major issues, avoiding surprises after production starts, and early alignment of stakeholders.
This document provides an overview of Failure Mode and Effects Analysis (FMEA). FMEA is a systematic method used to evaluate potential failure modes in a design, process or service and their causes and effects. It involves analyzing potential failures, their likelihood and severity, and identifying actions to address potential failures with high risk priority numbers. The document defines key terms in FMEA like severity, occurrence, detection and risk priority number. It also outlines the FMEA process, including steps to identify potential failure modes, effects, causes, current controls and priority actions.
1) The document provides an overview of the development of the Toyota Production System (TPS) from 1902 to 2008, highlighting key events, innovations, and timelines. 2) It summarizes the evolution of TPS concepts from 1945-1965 and 1965-1985, including the introduction and refinement of just-in-time, kanban, standardized work, and other practices. 3) Early TPS training at Toyota included courses influenced by Training Within Industry as well as problem solving and quality control courses taught by Shingo.
By John Shook of Lean Enterprise Institute and David Brunt of Lean Enterprise Academy shown at the Lean Summit 2011 - Solving Business Problems on 10/11 November 2011
This document outlines a training for Litens Automotive on Design Failure Mode and Effects Analysis (DFMEA). The training covers DFMEA basics, consequences of poorly performed DFMEAs, identifying single points of failure, using design of experiments to optimize designs, and reviewing DFMEA examples. It emphasizes that critical dimensions must be derived from the DFMEA and that DFMEAs are important legal documents that demonstrate due diligence in design and product safety.
This document outlines an introductory training on the concept of poka-yoke, or mistake proofing. It is divided into 12 sessions that cover topics such as the paradigm shift to zero errors, introductions to poka-yoke principles and examples, process waste management, zero defect quality systems, the three qualifiers of poka-yoke (simple/inexpensive, 100% inspection, immediate feedback), examples of poka-yoke from daily life, poka-yoke systems, methods of implementing poka-yoke, and types of poka-yoke and human mistakes. The overall aim is to teach participants how to utilize mistake proofing approaches to prevent errors and reduce defects.
Some days ago, I found a discussion about the difference between Efficiency and Productivity.
I tried to answer in that forum from my understanding. In that discussion i called OEE as Productivity.
CADmantra Technologies Pvt. Ltd. is one of the best Cad training company in northern zone in India . which are provided many types of courses in cad field i.e AUTOCAD,SOLIDWORK,CATIA,CRE-O,Uniraphics-NX, CNC, REVIT, STAAD.Pro. And many courses
Contact: www.cadmantra.com
www.cadmantra.blogspot.com
www.cadmantra.wix.com
PFMEA, Risk Reduction and Effectiveness – Advance (AIAG FMEA #4 Edition)
Is your FMEA performing for you?
This is advance level of PFMEA, Have basic understanding fo Core IATF Tools before refering to this presentation.
This document outlines an agenda for a workshop on A3 thinking and problem solving. The workshop objectives are to explore lessons from Managing to Learn using A3s. The agenda covers defining an A3, working through examples, applying A3 thinking to problems, and discussing uses of A3s for proposals and reports. Time is allotted to introduce A3 concepts, examine example A3s, have participants apply the process to their own work, and reflect on learning. The workshop aims to help participants recognize effective A3 stories and create different sections of an A3 through practice and discussion.
Download the presentation together with train-the-trainer guide and workshop templates at http://wcm.nu
This presentation is made by Oskar Olofsson, WCM Consulting AB
Make changes in the background template if you want to change the appearance
The document discusses quick changeovers and SMED (Single Minute Exchange of Die) methodology. It provides a 10 step process for analyzing and streamlining a changeover process, including observing the current process, separating internal and external tasks, converting internal tasks to external where possible, streamlining tasks, testing the new process, documenting it, and continuously improving changeover times. The goal is to reduce changeover times to under 10 minutes or ideally under 100 seconds through applying SMED principles like eliminating non-value added tasks, establishing standards, and making tasks parallel and more efficient.
The document outlines the key elements of an Enterprise Operating System (e-OS) for lean management, including hoshin kanri planning, production planning, budgeting, follow up meetings, and continuous improvement tools like QCC and suggestion schemes. The e-OS aims to achieve standardization through PDCA cycles and ensure involvement from all employees in daily and monthly meetings focused on KPIs, production, quality, and safety. Application of lean tools like 5S, TPM, and kaizen are also emphasized for continuous improvement.
This document outlines an agenda for a SET-UP Reduction Workshop. The workshop aims to teach techniques for reducing set-up times through applying Single Minute Exchange of Dies (SMED) methodology. The agenda covers why SMED is important, defining relevant terms, analyzing current set-up operations, separating internal and external tasks, using checklists and function checks, improving transport, and taking action to reduce set-up times. The workshop provides information on SMED concepts and guides participants through exercises to analyze their processes and identify opportunities to standardize, parallelize, and streamline set-up tasks.
This document discusses concepts related to production leveling including Heijunka, standard work, and continuous improvement. Heijunka involves leveling production to evenly distribute workload and demand across each day to maximize efficiency. Standard work establishes consistent processes and templates. Continuous improvement, also called Kaizen, relies on permanent and temporary teams identifying areas for improvement through reflection meetings and applying the PDCA cycle for organizational learning.
We all want to support the accomplishment of safe and trouble-free products and processes. Failure Mode and Effects Analysis has the potential to be a powerful reliability tool to reduce product design and manufacturing risk in a cost effective manner. With shorter product development times, tighter budgets and intense global competition, Design for Reliability tools such as FMEA must be applied correctly. Yet in practice, FMEA does not always achieve the expected results. Why is it that some companies have outstanding success in their FMEA application and others do not? What is the difference between well done and poorly done FMEAs? What are the essential elements of an effective FMEA process? These questions and more are answered in these three new short courses on FMEA.
This document discusses production preparation process (3P), a cross-functional team approach for designing lean production processes for new or modified production lines. The 3P methodology involves bringing together members from planning, production, quality, logistics, engineering, and suppliers to understand the designed production process using prototypes and mock-ups. This helps test assumptions before equipment is ordered and installed. Key benefits of 3P workshops include a smooth start of production without major issues, avoiding surprises after production starts, and early alignment of stakeholders.
This document provides an overview of Failure Mode and Effects Analysis (FMEA). FMEA is a systematic method used to evaluate potential failure modes in a design, process or service and their causes and effects. It involves analyzing potential failures, their likelihood and severity, and identifying actions to address potential failures with high risk priority numbers. The document defines key terms in FMEA like severity, occurrence, detection and risk priority number. It also outlines the FMEA process, including steps to identify potential failure modes, effects, causes, current controls and priority actions.
1) The document provides an overview of the development of the Toyota Production System (TPS) from 1902 to 2008, highlighting key events, innovations, and timelines. 2) It summarizes the evolution of TPS concepts from 1945-1965 and 1965-1985, including the introduction and refinement of just-in-time, kanban, standardized work, and other practices. 3) Early TPS training at Toyota included courses influenced by Training Within Industry as well as problem solving and quality control courses taught by Shingo.
By John Shook of Lean Enterprise Institute and David Brunt of Lean Enterprise Academy shown at the Lean Summit 2011 - Solving Business Problems on 10/11 November 2011
This document outlines a training for Litens Automotive on Design Failure Mode and Effects Analysis (DFMEA). The training covers DFMEA basics, consequences of poorly performed DFMEAs, identifying single points of failure, using design of experiments to optimize designs, and reviewing DFMEA examples. It emphasizes that critical dimensions must be derived from the DFMEA and that DFMEAs are important legal documents that demonstrate due diligence in design and product safety.
This document outlines an introductory training on the concept of poka-yoke, or mistake proofing. It is divided into 12 sessions that cover topics such as the paradigm shift to zero errors, introductions to poka-yoke principles and examples, process waste management, zero defect quality systems, the three qualifiers of poka-yoke (simple/inexpensive, 100% inspection, immediate feedback), examples of poka-yoke from daily life, poka-yoke systems, methods of implementing poka-yoke, and types of poka-yoke and human mistakes. The overall aim is to teach participants how to utilize mistake proofing approaches to prevent errors and reduce defects.
Some days ago, I found a discussion about the difference between Efficiency and Productivity.
I tried to answer in that forum from my understanding. In that discussion i called OEE as Productivity.
CADmantra Technologies Pvt. Ltd. is one of the best Cad training company in northern zone in India . which are provided many types of courses in cad field i.e AUTOCAD,SOLIDWORK,CATIA,CRE-O,Uniraphics-NX, CNC, REVIT, STAAD.Pro. And many courses
Contact: www.cadmantra.com
www.cadmantra.blogspot.com
www.cadmantra.wix.com
PFMEA, Risk Reduction and Effectiveness – Advance (AIAG FMEA #4 Edition)
Is your FMEA performing for you?
This is advance level of PFMEA, Have basic understanding fo Core IATF Tools before refering to this presentation.
17. ปญหาทางกลศาสตรของแข็ง(Solid-Mechanics)
Analysis of solids
Static Dynamics
Behavior of Solids
Linear Nonlinear
Material
Fracture
Geometric
Large Displacement
Instability
Plasticity
Viscoplasticity
Geometric
Classification of solids
Skeletal Systems
1D Elements
Plates and Shells
2D Elements
Solid Blocks
3D Elements
Trusses
Cables
Pipes
Plane Stress
Plane Strain
Axisymmetric
Plate Bending
Shells with flat elements
Shells with curved elements
Brick Elements
Tetrahedral Elements
General Elements
Elementary Advanced
Stress Stiffening
21. การสรางเอลิเมนต 1 มิติ (1D element or Line element)
วิธีการสรางเอลิเมนต 1 มิติโดย
1. Direct stiffness method (เราจะใชอันนี้)
2. Weighted residual method
3. Minimum potential energy method (เราจะใชอันนี้)
4. Variational method
22. การสรางเอลิเมนต 1 มิติโดยวิธี Direct stiffness
‰ วิธีการสรางเอลิเมนต 1 มิติ (Spring element or bar element)
รูปขางลางแสดงสปริงในพิกัดสามมิติ
ˆˆˆ
xyz Global coordinate system
xyz Local coordinate system
−
−
27. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด(ตอ)
จากนั้นทําการแทนคาเงื่อนไขดังกลาวลงในสมการที่ (2) จะได
1 1
2 2 1
ˆ
ˆ ˆ
( 0) (3)
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) (4)
x
x x
u x d a
u x L d a L d
= = =
= = = +
หรือได a2 ดังนี้
2 1
2
ˆ ˆ
(5)
x x
d d
a
L
−
=
นํากลับไปแทนในสมการที่ (2) ได
[ ]
2 1
1
1 1
1 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
1 (6)
ˆ ˆ
x x
x
x x
x x
d d
u x x d
L
d d
x
x N N
L d d
⎛ ⎞
−
= +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎡ ⎤
= − =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
30. ขั้นตอนที่ 4 การพิสูจนหา Element stiffness matrix
จากรูปแรงที่โนด 1 และ 2
1 2
ˆ ˆ (9)
x x
f T f T
= − =
จากสมการที่ (8) และ (9) เราสรุปได
1 2 1
2 2 1
ˆ ˆ ˆ
( ) (10)
ˆ ˆ ˆ
( ) (11)
x x x
x x x
T f k d d
T f k d d
= − = −
= = −
เราสามารถเขียนสมการ (10) และ (11) ในรูปเมตริกดังนี้
1 1
2 2
ˆ ˆ
(12)
ˆ ˆ
x x
x x
f d
k k
k k
f d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
−
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local stiffness matrix หรือ Element stiffness matrix
33. ตัวอยาง
(1)
1 1 1 1
(1)
1 1 3
3
ˆ
( )
ˆ
x x
x
x
f k k d
a
k k d
f
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
(2)
3 2 2 3
(2)
2 2 2
2
ˆ
( )
ˆ
x x
x
x
f k k d
b
k k d
f
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
เอลิเมนต 1
เอลิเมนต 2
Compatibility conditions
(1) (2)
3 3 3 ( )
x x x
d d d c
= =
34. (1) (2)
3 3 3
(2)
2 2
(1)
1 1
( )
( )
( )
x x x
x x
x x
F f f d
F f e
F f f
= +
=
=
Free body diagram แสดง Nodal forces
นําคาสมการ (a) และ (b) ลงในสมการ (d), (e) และ (f) จะได
3 1 1 1 3 2 3 2 2
2 2 3 2 2
1 1 1 1 3
( ) ( )
( )
x x x x x
x x x
x x x
F k d k d k d k d
F k d k d g
F k d k d
= − + + −
= − +
= −
35. นําสมการ (g) มาเขียนเปนเมตริก
3 1 2 2 1 3
2 2 2 2
1 1 1 1
0 ( )
0
x x
x x
x x
F k k k k d
F k k d h
F k k d
+ − −
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
= −
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
−
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
0
0 ( )
x x
x x
x x
F k k d
F k k d i
F k k k k d
−
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
= −
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− − +
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
(13)
F K d
=
นําสมการ (h) มาเขียนใหมเปน
หรือ
F Global nodal force matrix
d Global nodal displacement matrix
K Total or global system stiffness matrix
=
=
=
36. การหา Global equations โดย Superposition
เราสามารถหาไดโดยใชหลักการของ Superposition ดังนี้
(1) (1)
1 1 1
(1) (1)
1 2 2 2
(1) (1)
3 3 3
1 0 1
0 0 0 ( )
1 0 1
x x x
x x x
x x x
d d f
k d d f j
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
− =
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− =
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
เอลิเมนต 1 จากสมการ (a) ในตัวอยางที่แลวสามารถเขียนใหมได
เอลิเมนต 2 จากสมการ (b) ในตัวอยางที่แลวสามารถเขียนใหมได
(2) (2)
1 1 1
(2) (2)
2 2 2 2
(2) (2)
3 3 3
0 0 0
0 1 1 ( )
0 1 1
x x x
x x x
x x x
d d f
k d d f k
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
=
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− =
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
0
0
37. จับสมการ (j) และ (k) บวกกัน และจากสมดุลแรงที่แตละโนด จากสมการ (d), (e)
และ (f) ในตัวอยางที่แลว เราจะได
(1)
1 1 1 1
(2)
1 2 2 2 2 2
(1) (2)
3 3 3 3 3
1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 ( )
1 0 1 0 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x
d d f F
k d k d f F l
d d f f F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
−
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ − = + =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรือเขียนไดเหมือนสมการ (i)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
0
0 ( )
x x
x x
x x
F k k d
F k k d i
F k k k k d
−
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
= −
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− − +
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
(13)
F K d
=
หรือ
41. จากนั้นจับ Element stiffness matrix บวกกัน
(1) (2) (3)
1000 0 1000 0
0 3000 0 3000
1000 0 1000 2000 2000
0 3000 2000 2000 3000
1000 0 1000 0
0 3000 0 3000
1000 0 3000 2000
0 3000 2000 5000
K k k k
= + +
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− + −
⎢ ⎥
− − +
⎣ ⎦
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
Global stiffness matrix
1 1
2 2
3 3
4 4
1000 0 1000 0
0 3000 0 3000
1000 0 3000 2000
0 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F d
F d
F d
F d
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
−
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
− −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
− −
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
42. กําหนดสภาวะขอบและภาระที่กระทําที่โนด 3 และ 4 จะไดสมการ
1 1
2 2
3 3
4 4
0
1000 0 1000 0
0
0 3000 0 3000
0 1000 0 3000 2000
5000 0 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F d
F d
F d
F d
=
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ =
−
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
= − −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= − −
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรือ
3
4
0 3000 2000
5000 2000 5000
x
x
d
d
− ⎧ ⎫
⎧ ⎫ ⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
แกสมการได
3 4
10 15
11 11
x x
d in d in
= =
นําคาที่ไดไปแทนในสมการเมตริกขางบนได
1 2
10,000 45,000
11 11
x x
F lb F lb
= − = −
43. การสรางเอลิเมนตเมตริกสําหรับบาร(Bar or rod)
‰ เราสามารถลอกเลียนแบบการสรางเอลิเมนตเมตริกสําหรับบารที่อยูภายใตแรง
ตามแนวแกนไดเชนเดียวกับกรณีสปริง โดยคาคงที่สปริงของบารคือ
(14)
AE
k
L
=
โดย A = พื้นที่หนาตัดของบาร L = ความยาวเดิมของบาร
E = Young’s modulus ของบาร
44. ดังนั้นเราจะสามารถสรุปไดวาสําหรับบารเอลิเมนต เอลิเมนตเมตริกของบารคือ
1 1
ˆ (15)
1 1
AE
k
L
−
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
ความเคนภายในเอลิเมนตหาไดจากสมการความสัมพันธ
[ ]
2 1
1
2
ˆ ˆ
( )
ˆ
1 1 (16)
ˆ
x x
x
x
E
E E d d
L L
d
E
L d
δ
σ = ε = = −
⎧ ⎫
⎪ ⎪
= − ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Note: ดังนั้นจะเห็นวาความเคนตามแนวแกนภายในเอลิเมนตนั้นๆหรือ
ภายในแทงบารจะมีคาคงที่ตลอดทั่วทั้งเอลิเมนต
45. ตัวอยางปญหาของบารเอลิเมนต
ระบบโครงสรางบารดังรูป
จงหา (1) Global stiffness matrix
(2) การกระจัดที่โนด 2 และ 3
(3) แรงปฎิกิริยาที่โนด 1 และ 4
(4) ความเคนภายในแตละเอลิเมนต
ถากําหนดใหแรงกระทําที่โนด 2 ในทิศทางแกน x เทากับ 3000 lb
ความยาวของแตละเอลิเมนตเทากับ 30 in
E = 30 x 106 psi และ A = 1 in2 สําหรับเอลิเมนต 1 และ 2
E = 15 x 106 psi และ A = 2 in2 สําหรับเอลิเมนต 3
53. Plane truss element (2 มิติ)
‰ เราสามารถพัฒนา Truss element แบบ 2 มิติไดโดยเอาผลจากการพัฒนา Bar
element เพียงแตแรงและการกระจัดของแตละโนดใน Truss element จะมีคาตาม
แนวแกน x และ y ดวยดังนั้น รูปขางลางคือตัวอยางของ Plane truss system
54. 2 Node truss element
เราสามารถแสดงความสัมพันธของ Nodal forces กับ Nodal displacements ที่
อางอิงกับ Global coordinate system ไดดังสมการ
x
y 2 2
,
x x
f d
θ
1 1
,
y y
f d
1 1
,
x x
f d
2 2
,
y y
f d
f k d
=
1
2
55. In global coordinate system, the vector of nodal displacements
and loads
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
f
f
f
f
f
;
d
d
d
d
d
Our objective is to obtain a relation of the form
1
4
4
4
1
4
d
k
f
×
×
×
=
Where k is the 4x4 element stiffness matrix in global coordinate
system
56. The key is to look at the local coordinates
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
2x
1x
2x
1x
d̂
d̂
k
k
-
k
-
k
f̂
f̂
L
EA
k =
Rewrite as
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d̂
d̂
d̂
d̂
0
0
0
0
0
k
0
k
-
0
0
0
0
0
k
-
0
k
f̂
f̂
f̂
f̂
x̂
ŷ
θ
1x
1x f̂
,
d̂
2x
2x f̂
,
d̂
x
y
1y 1y
ˆ ˆ
d ,f 0
=
2y 2y
ˆ ˆ
d ,f 0
=
d̂
k̂
f̂ =
57. NOTES
1. Assume that there is no stiffness in the local y direction.
2. If you consider the displacement at a point along the local x
direction as a vector, then the components of that vector along the
global x and y directions are the global x and y displacements.
3. The expanded stiffness matrix in the local coordinates is
symmetric and singular.
^
58. NOTES
5. In local coordinates we have
But or goal is to obtain the following relationship
Hence, need a relationship between and
and between and
1
4
4
4
1
4
d
k
f
×
×
×
=
1
4
4
4
1
4
d̂
k̂
f̂
×
×
×
=
d̂ d
f̂ f
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d̂
d̂
d̂
d̂
d̂
d
d
d
d
d
Need to understand
how the components
of a vector change
with coordinate
transformation
1x
d
1y
d
1x
d̂
θ
1y
d̂
2x
d
2y
d
2x
d̂
θ
2y
d̂
59. Transformation of a vector in two dimensions
θ
x̂
ŷ
y
v̂
x
v cos θ
x
y
v
x
v̂
x
v
y
v
y
v sin θ
θ
y
v cos θ
x
v sin θ
x x y
y x y
v̂ v cos θ v sin θ
v̂ v sin θ v cos θ
= +
= − +
The vector v has components (vx, vy) in the global coordinate system
and (vx, vy) in the local coordinate system. From geometry
^ ^
Angle θ is
measured positive
in the counter
clockwise direction
from the +x axis)
60. x x
y y
v̂ v
cos θ sin θ
v̂ v
sin θ cos θ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
In matrix form
Or
x x
y y
v̂ v
v̂ v
C S
S C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
where
cos
sin
C
S
θ
θ
=
=
Transformation matrix for a single vector in 2D
*
T
C S
S C
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
*
v̂ T v
=
x x
y y
v̂ v
v̂ and v
v̂ v
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
relates
where are components of the same
vector in local and global
coordinates, respectively.
Direction cosines
61. Relationship between and for the truss element
d̂ d
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
1y
1x
*
1y
1x
d
d
T
d̂
d̂
At node 1
At node 2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
2y
2x
*
2y
2x
d
d
T
d̂
d̂
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x
2x
2y
2y
T d
d̂
d̂ d
0 0
d̂ d
0 0
ˆ 0 0 d
d
0 0 d
d̂
C S
S C
C S
S C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭ 144
4
2444
3
d
T
d̂ =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
×
*
*
4
4 T
0
0
T
T
1x
d
1y
d
1x
d̂
θ
1y
d̂
2x
d
2y
d
2x
d̂
θ
2y
d̂
62. Relationship between and for the truss element
f̂ f
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
1y
1x
*
1y
1x
f
f
T
f̂
f̂
At node 1
At node 2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
2y
2x
*
2y
2x
f
f
T
f̂
f̂
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x
2x
2y
2y
T f
f̂
f̂ f
0 0
f̂ f
0 0
ˆ 0 0 f
f
0 0 f
f̂
C S
S C
C S
S C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭ 144
4
2444
3
f
T
f̂ =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
×
*
*
4
4 T
0
0
T
T
1x
f
1y
f
1x
f̂
θ
1y
f̂
2x
f
2y
f
2x
f̂
θ
2y
f̂
63. Important property of the transformation matrix T
The transformation matrix is orthogonal, i.e. its inverse is its
transpose
T
T
T
1
=
−
Use the property that C2+S2=1
64. Putting all the pieces together
( )d
T
k̂
T
f
d
T
k̂
f
T
d̂
k̂
f̂
k
1
4
3
4
2
1
−
=
⇒
=
⇒
=
x̂
ŷ
θ
1x
1x f̂
,
d̂
2x
2x f̂
,
d̂
x
y
1y
1y f̂
,
d̂
2y
2y f̂
,
d̂
f
T
f̂ =
d
T
d̂ =
The desired relationship is
1
4
4
4
1
4
d
k
f
×
×
×
=
Where
4
4
4
4
4
4
4
4
T
k̂
T
k
×
×
×
×
=
T is the element stiffness matrix in the
global coordinate system
65. 0 0
0 0
T
0 0
0 0
C S
S C
C S
S C
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
0
0
k
0
k
-
0
0
0
0
0
k
-
0
k
k̂
2 2
2 2
2 2
2 2
EA
ˆ
k T kT
L
T
C CS C CS
CS S CS S
C CS C CS
CS S CS S
⎡ ⎤
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
66. Computation of the direction cosines
L
1
2
θ
(x1,y1)
(x2,y2)
2 1
2 1
cos
sin
x x
C
L
y y
S
L
θ
θ
−
= =
−
= =
What happens if I reverse the node numbers?
L
2
1
θ
(x1,y1)
(x2,y2)
1 2
1 2
' cos
' sin
x x
C C
L
y y
S S
L
θ
θ
−
= = = −
−
= = = −
Question: Does the stiffness matrix change?
69. [ ]
[ ]
[ ]
1x
1y
2x
2y
0 0
0 0
1
ε 1 0 1 0 d
0 0
L
0 0
1
d
L
d
d
1
d
L
d
C S
S C
C S
S C
C S C S
C S C S
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
= − −
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= − − ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
70. Computation of element stresses stress and tension
( ) [ ]
2x 1x
E E
ˆ ˆ
Eε d d d
L L
C S C S
σ = = − = − −
[ ]
EA
T EAε d
L
C S C S
= = − −
Recall that the element stress is
Recall that the element tension is
71. Steps in solving a problem
Step 1: Write down the node-element connectivity table
linking local and global nodes; also form the table of
direction cosines (C, S)
Step 2: Write down the stiffness matrix of each element in
global coordinate system with global numbering
Step 3: Assemble the element stiffness matrices to form the
global stiffness matrix for the entire structure using the
node element connectivity table
Step 4: Incorporate appropriate boundary conditions
Step 5: Solve resulting set of reduced equations for the unknown
displacements
Step 6: Compute the unknown nodal forces
72. การโกง(Buckling)ใน Bar หรือ Truss
‰ ถึงแมความเคนในบารหรือTruss มีคาต่ํากวาความเคนคราก ชิ้นสวนของ
โครงสรางแบบนี้สามารถเสียหายไดจากการโกงซึ่งเราสามารถหาคาความเคนที่ทํา
ใหเกิดการโกงได จากสูตร
2
2
AL
EI
A
Pcrb
crb
π
σ =
=
com
crb
P
where
A
σ σ σ
> =
การโกงเกิดขึ้นเมื่อ
ความเคนอัดในเอลิเมนต
73. Example 1
P1
P2
1
2
3
x
y
El#1
El#2
The length of bars 12 and 23 are equal (L)
E: Young’s modulus
A: Cross sectional area of each bar
Solve for
(1) d2x and d2y
(2) Stresses in each bar
Solution
Step 1: Node element connectivity table
3
2
2
2
Node 2
1
1
Node 1
ELEMENT
45o
74. Table of nodal coordinates
Lsin45
Lcos45
2
2Lsin45
0
y
0
3
0
1
x
Node
Table of direction cosines
-cos45
cos45
sin45
L
2
sin45
L
1
Length
ELEMENT 2 1
x x
C
length
−
= 2 1
y y
S
length
−
=
75. Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates
with global numbering
2 2
2 2
(1)
2 2
2 2
EA
k
L
C CS C CS
CS S CS S
C CS C CS
CS S CS S
⎡ ⎤
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2x
d1x d1y d2y
d1y
d2y
1 1 1 1
1 1 1 1
EA
1 1 1 1
2L
1 1 1 1
− −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
77. 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
1 1 2 0 1 1
EA
K
1 1 0 2 1 1
2L
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
− −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− − −
= ⎢ ⎥
− − −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
Step 3: Assemble the global stiffness matrix
The final set of equations is Kd F
=
78. Step 4: Incorporate boundary conditions
2
2
0
0
0
0
x
y
d
d
d
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Hence reduced set of equations to solve for unknown
displacements at node 2
2 1
2 2
2 0
0 2
2
x
y
d P
E A
d P
L
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎩ ⎭
79. Step 5: Solve for unknown displacements
1
2
2 2
x
y
P L
d E A
d P L
E A
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Step 6: Obtain stresses in the elements
For element #1: 1
1
(1)
2
2
1 2
2 2
E 1 1 1 1
L 2 2 2 2
E
( )
2L 2
x
y
x
y
x y
d
d
d
d
P P
d d
A
σ
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎡ ⎤⎪ ⎪
= − − ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
+
= + =
0
0
80. For element #2: 2
2
(2)
3
3
1 2
2 2
E 1 1 1 1
L 2 2 2 2
E
( )
2L 2
x
y
x
y
x y
d
d
d
d
P P
d d
A
σ
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎡ ⎤⎪ ⎪
= − − ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
−
= − =
0
0
81. ตัวอยาง Plane truss
F = 1000 N F = 1000 N
1 2
3
4
1
2
3
4 5
1 2
3
4
1
2
3
4 5
(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)
(5) (5)
(1) (2) (3) (4) (5)
200 2
10 2
10, 10 2
E A E A E A E A
E A
L L L L L
= = = =
=
= = = = =
กําหนด
83. Problem 3: For the plane truss
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
P=1000 kN,
L=length of elements 1 and 2 = 1m
E=210 GPa
A = 6×10-4m2 for elements 1 and 2
= 6 ×10-4 m2 for element 3
2
Determine the unknown displacements
and reaction forces.
Solution
Step 1: Node element connectivity table
3
2
2
3
1
3
2
Node 2
1
1
Node 1
ELEMENT
84. Table of nodal coordinates
L
0
2
L
0
y
L
3
0
1
x
Node
Table of direction cosines
0
1
L
2
0
L
3
1
L
1
Length
ELEMENT 2 1
x x
C
length
−
= 2 1
y y
S
length
−
=
2 1/ 2 1/ 2
85. Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates
with global numbering
2 2
2 2
(1)
2 2
2 2
EA
k
L
C CS C CS
CS S CS S
C CS C CS
CS S CS S
⎡ ⎤
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2x
d1x d1y d2y
d1y
d2y
9 -4
0 0 0 0
0 1 0 1
(210 10 )(6 10 )
0 0 0 0
1
0 1 0 1
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
× × ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
88. Step 4: Incorporate boundary conditions
2
3
3
0
0
0
x
x
y
d
d
d
d
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$
x
$
y
Also, $3 0
y
d =
How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y)
coordinates?
in the local coordinate system of element 3
89. 1
1
2
3
3
x
y
y
x
y
F
F
P
F
F
F
F
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$
x
$
y
Also, 3
ˆ 0
x
F =
How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y)
coordinates?
in the local coordinate system of element 3
90. 3 3
3
3
ˆ 1
,
ˆ 2
x x
y
y
d d
C S
C S
d
S C
d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
= = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Using coordinate transformations
$
$
( )
( )
3 3
3 3
3
3
3 3
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y
x x
y
y
y x
d d
d
d
d
d d d
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
+
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⇒ = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎩ ⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ − −
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
$3 0
y
d =
$ ( )
3 3 3
3 3
1
0
2
0
y y x
y x
d d d
d d
⇒ = − =
⇒ − = Eq (2)
(Multi-point constraint)
91. 3 3
3
3
ˆ 1
,
ˆ 2
x x
y
y
F F
C S
C S
F
S C
F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
= = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Similarly for the forces at node 3
( )
( )
3 3
3 3
3
3
3 3
1 1 1
ˆ 2 2 2
ˆ 1 1 1
2 2 2
x y
x x
y
y
y x
F F
F F
F
F F F
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
+
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⇒ = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎩ ⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ − −
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
( )
3 3 3
3 3
1
ˆ 0
2
0
x y x
y x
F F F
F F
⇒ = + =
⇒ + = Eq (3)
3
ˆ 0
x
F =
92. Therefore we need to solve the following equations simultaneously
Kd F
= Eq(1)
3 3 0
y x
d d
− = Eq(2)
3 3 0
y x
F F
+ = Eq(3)
Incorporate boundary conditions and reduce Eq(1) to
2
5
3 3
3 3
1 1 0
1 2 6 0 1 0 1 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
x
x x
y y
d P
d F
d F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
−
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
× − =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
93. Write these equations out explicitly
5
2 3
5
2 3 3 3
5
3 3 3
1 2 6 0 1 0 ( )
1 2 6 0 1 0 ( 1 .5 0 .5 )
1 2 6 0 1 0 (0 .5 0 .5 )
x x
x x y x
x y y
d d P
d d d F
d d F
× − =
× − + + =
× + =
Eq(4)
Eq(5)
Eq(6)
Add Eq (5) and (6)
5
2 3 3 3 3
1 2 6 0 1 0 ( 2 ) 0
x x y x y
d d d F F
× − + + = + = using Eq(3)
5
2 3
1 2 6 0 1 0 ( 3 ) 0
x x
d d
⇒ × − + = using Eq(2)
2 3
3
x x
d d
⇒ = Eq(7)
Plug this into Eq(4)
5
3 3
5 6
3
1 2 6 0 1 0 (3 )
2 5 2 0 1 0 1 0
x x
x
d d P
d
⇒ × − =
⇒ × =
94. 3
2 3
0 .0 0 3 9 6 8
3 0 .0 1 1 9
x
x x
d m
d d m
⇒ =
= =
Compute the reaction forces
1
1 2
5
2 3
3 3
3
0 0 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
1 2 6 0 1 0 0 0 0
1 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
5 0 0
5 0 0
0
5 0 0
5 0 0
x
y x
y x
x y
y
F
F d
F d
F d
F
kN
− −
⎧ ⎫ ⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫
− −
⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢ ⎥
= ×
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
− ⎩ ⎭
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎣ ⎦
⎩ ⎭
−
⎧ ⎫
⎪ ⎪
−
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
−
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
101. Beam Theory (ตอ)
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
ˆ ˆ
1 ˆ
,
ˆ ˆ
Substitute into (2) then (1)
ˆ
ˆ
( ) (3)
ˆ ˆ
ˆ
Nodal force only 0 (4)
ˆ ˆ
M d v dv
EI dx dx
M
d d v
EI w x
dx dx
d d v
EI
dx dx
κ φ
ρ
= = = =
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
พิจารณาสมดุลโมเมนตรอบจุด 2
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
0; ( ) 0 or
2
(2)
ˆ
dx
M Vdx dM w x dx
dM
V
dx
⎛ ⎞
∑ = − + + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
Beam curvature
102. Simple beam element (ตอ)
{ } { }
ˆ ˆ ˆ
f k d
⎡ ⎤
=
⎣ ⎦
‰ หาความสัมพันธของ Local nodal matrix และ Local nodal displacement matrix
หรือ
1
1
2 2
1 1
3
2 2
2 2
2 2
ˆ
ˆ 12 6 12 6
ˆ
ˆ 6 4 6 2
ˆ ˆ
12 6 12 6
6 2 6 4 ˆ
ˆ
y
y
y y
d
f L L
m L L L L
EI
L L
L
f d
L L L L
m
φ
φ
⎧ ⎫
⎧ ⎫ −
⎡ ⎤
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
− ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
− − −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local element stiffness matrix
Local element equation
104. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด
เปนขั้นตอนการกําหนดเลือกฟงกชันทางคณิตศาสตรเพื่อจะนํามาอธิบายการเสียรูป
ของคาน ซึ่งฟงกชันนี้จะถือวาเปนคาประมาณ(Approximate solution) ฟงกชันที่
เลือกใชสวนใหญเปนฟงกชันโพลีโนเมียล
3 2
1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) (1)
v x a x a x a x a
= + + +
โดย a1 a2 a3 และ a4 คือคาคงที่และจะหาไดจากเงื่อนไขดังนี้
1 4
1 3
3 2
2 1 2 3 4
2
2 1 2 3
ˆ
ˆ ˆ
( 0) (2.1)
ˆ ˆ
( 0) ˆ (2.2)
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
( ) (2.3)
ˆ ˆ
( ) ˆ 3 2 (2.4)
ˆ
y
y
v x d a
dv x
a
dx
v x L d a L a L a L a
dv x L
a L a L a
dx
= = =
=
= φ =
= = = + + +
=
= φ = + +
105. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด(ตอ)
จากนั้นทําการแกสมการดังกลาว (2.1-2.4) จะได a1 a2 a3 และ a4
จากนั้นนําไปแทนในสมการที่ 1 ได
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2 1 2
3 2
2
1 2 1 2 1 1
3 2
2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( )
3 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 (3)
y y
y y y
v x d d x
L L
d d x x d
L L
⎡ ⎤
= − + φ + φ +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
− − − φ + φ + φ +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
หรือเขียนเปนเมตริกได
{ }
1
1
1 2 3 4
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
( ) [ ] [ ] (4)
ˆ
ˆ
y
y
d
v x N d N N N N
d
⎧ ⎫
⎪ ⎪
φ
⎪ ⎪
= = ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
φ
⎩ ⎭
106. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด(ตอ)
โดย N1 N2 N3 และ N4 คือ shape function และมีคาดังนี้
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 3 2 2 3
1 2
3 3
3 2 3 2 2
3 4
3 3
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 3 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
2 3
N x x L L N x L x L xL
L L
N x x L N x L x L
L L
= − + = − +
= − + = −
108. ขั้นตอนที่ 4 การพิสูจนหา Element stiffness matrix
จากรูปที่โนด 1 และ 2 และจากสมการ
2 3
2 3
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
( ) (8)
ˆ ˆ
d v d v
m x EI V EI
dx dx
= =
จะเขียนเปนสมการไดดังนี้
( )
( )
( )
3
1 1 1 2 2
3 3
2
2 2
1 1 1 2 2
2 3
3
2 1 1 2 2
3 3
2
2 1
2 3
ˆ(0)
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 12 6 12 6 ( )
ˆ
ˆ(0) ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ 6 4 6 2 ( )
ˆ
ˆ( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 12 6 12 6 ( )
ˆ
ˆ( ) ˆ
ˆ ˆ 6 2
ˆ
y y y
y y
y y y
y
d v EI
f V EI d L d L a
dx L
d v EI
m m EI Ld L Ld L b
dx L
d v L EI
f V EI d L d L c
dx L
d v L EI
m m EI Ld
dx L
= = = + φ − + φ
= − = = + φ − + φ
= − = − = − − φ + − φ
= = = +
( )
2 2
1 2 2
ˆ
ˆ ˆ
6 4 ( )
y
L Ld L d
φ − + φ
109. ขั้นตอนที่ 4 การพิสูจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
จัดรูปสมการ (a), (b), (c) และ (d) ใหมเขียนเปนสมการได
1
1
2 2
1 1
3
2 2
2 2
2 2
ˆ
ˆ 12 6 12 6
ˆ
ˆ 6 4 6 2
(9)
ˆ ˆ
12 6 12 6
6 2 6 4 ˆ
ˆ
y
y
y y
d
f L L
m L L L L
EI
L L
L
f d
L L L L
m
φ
φ
⎧ ⎫
⎧ ⎫ −
⎡ ⎤
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
− ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
− − −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
123. งานที่ไดจากภาระทั้งสองเขียนเปนสมการได
0
1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ( )
L
distributed
discrete y y y y
W w x v x dx a
W m m f d f d b
φ φ
=
= + + +
∫
หรือสมการ (a) = (b)
1 1 2 2 1 1 2 2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
L
y y y y
w x v x dx m m f d f d c
φ φ
= + + +
∫
124. แทนคา
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2 1 2
3 2
2
1 2 1 2 1 1
3 2
ˆ
( )
2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( )
3 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
2
y y
y y y
w x w
v x d d x
L L
d d x x d
L L
φ φ
φ φ φ
= −
⎡ ⎤
= − + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
− − − + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ลงไปในสมการ (c) และทําการอินทิเกรทได
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 2 1 2 2 1 1 2
2
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
2 4 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( )
2
y y y y
y y y y y
Lw L w L w
d d Lw d d
L w
d wL m m f d f d d
φ φ φ φ
φ φ φ
− − − + − − + +
⎛ ⎞
− − = + + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
125. เมื่อตองหาคา
2 2 2
2
1
2
ˆ
4 3 2 12
L w L wL
m L w w
⎛ ⎞
= − − + = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
ˆ (1)
m
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1, 0, 0, 0
1 2 y y
d d
= = = =
φ φ
แทนลงไปในสมการ (d)ได
กําหนดคา
เชนเดียวกันถาตองหาคา
กําหนดคา
แทนลงไปในสมการ (d)ได
2
ˆ (1)
m
2 2 2
2
ˆ
4 2 12
L w L w wL
m
⎛ ⎞
= − − =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0, 1, 0, 0
1 2 y y
d d
φ φ
= = = =
126. ดังนั้นถาใชวิธีการเดียวกัน จะสามารถหาไดวา
1 1 2 2 1
2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( 0, 1)
2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( 0, 1)
2 2
y y y
y y y
Lw Lw
f Lw Lw d d
Lw Lw
f Lw d d
φ φ
φ φ
= − + − = − = = = =
= − = = = = =
ดังนั้นสรุปไดวา
2
wL
−
2
wL
2
12
wL
−
2
12
wL
129. วิธีการแกปญหา ของปญหาที่มีแรงกระจาย ทําไดโดยเปลี่ยนแรงกระจายให
เปนแรงกระทําที่โนด ดังนั้นจะถือวาแรงที่เปลี่ยนรูปแลวก็คือภาระกระทําที่
โนดนั้นๆ นั่นเอง หรือเขียนเปนสมการได
0
F Kd F
= −
แรงกระจายที่เปลี่ยนรูปเปนแรงกระทําที่โนดแลวหรือ Equivalent nodal forces
Global equation
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
f k d f
= − Element equation
แรงกระจายที่เปลี่ยนรูปเปนแรงกระทําที่โนดแลว บนเอลิเมนตใดๆ
131. วิธีทํา ทําการแบงเอลิเมนตออกเปนสองเอลิเมนต จากนั้นหาเอลิเมนตเมตริก
และประกอบเขาดวยกัน เพื่อใหไดสมการของโครงสรางรวมหรือ Global
equation โดยแรงกระทําที่โนดของประกอบไปดวยแรงและโมเมนตภายนอก
ที่ใหมารวมกับแรงและโมเมนตที่ไดจากการเปลี่ยนแรงกระจาย
หาเอลิเมนตเมตริกได
2 2
(1) (2)
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L L
L L L L
EI
k k
L L
L
L L L L
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥
− − −
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
132. 2 2
(1) (2)
2 2 2 2
3
2 2
2 2
2 2 2
3
12 6 12 6 0 0
6 4 6 2 0 0
12 6 12 12 6 6 12 6
6 2 6 6 4 4 6 2
0 0 12 6 12 6
0 0 6 2 6 4
12 6 12 6 0 0
6 4 6 2 0 0
12 6 24 0 12 6
6 2 0 8 6 2
0 0 12 6 12 6
L L
L L L L
L L L L
EI
K k k
L L L L L L L L
L
L L
L L L L
L L
L L L L
L L
EI
L L L L L
L
L L
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− − + − + −
= + = ⎢ ⎥
− + + −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
−
−
− − −
=
−
− −
2 2
0 0 6 2 6 4
L L L L
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ประกอบเอลิเมนตเมตริกเขาดวยกันได
137. Exact solution จากสมการของ Beam Theory และภาระที่กําหนดให
สามารถแกหาคําตอบไดดังนี้ (ดูหนา 188-189)
( )
4 3 2 2
2 2
1
( )
24 6 4
( )
2 2
( )
wx wLx wL x
y x
EI
wL wx
M x wLx
V x w L x
⎛ ⎞
−
= + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
= − +
= −
โดยกําหนดให
5 4
210 , 4 10 , 2.5 , 4 /
E GPa I m L m w kN m
−
= = × = =
142. ถาพิจารณาพื้นที่เล็กๆ ΔA (Normal vector ชี้ไปตามแนวแกน z )บนหนาตัด
ซึ่งมีแรงกระทํา ΔF ดังรูปเราสามารถแตกแรงนี้ออกเปนตามแกน x, y และ z
ตามลําดับ และนิยามคาดังนี้
0
0
0
lim
lim
lim
z
z
A
x
zx
A
y
zy
A
F
A
F
A
F
A
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
σ =
Δ
Δ
τ =
Δ
Δ
τ =
Δ
ความเคนตั้งฉาก ตามแนวแกน z
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน y
143. ในทํานองเดียวกัน ถาพิจารณาพื้นที่เล็กๆ ΔA (Normal vector ชี้ไปตามแนวแกน y
)บนหนาตัดซึ่งมีแรงกระทํา ΔF ดังรูปเราสามารถแตกแรงนี้ออกเปนตามแกน x, y
และ z ตามลําดับ และนิยามคาดังนี้
ความเคนตั้งฉาก ตามแนวแกน y
0
0
0
lim
lim
lim
y
y
A
x
yx
A
z
yz
A
F
A
F
A
F
A
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
σ =
Δ
Δ
τ =
Δ
Δ
τ =
Δ
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน z
144. และในทํานองเดียวกัน ถาพิจารณาพื้นที่เล็กๆ ΔA (Normal vector ชี้ไปตาม
แนวแกน x )บนหนาตัดซึ่งมีแรงกระทํา ΔF ดังรูปเราสามารถแตกแรงนี้ออกเปน
ตามแกน x, y และ z ตามลําดับ และนิยามคาดังนี้
0
0
0
lim
lim
lim
x
x
A
y
xy
A
z
xz
A
F
A
F
A
F
A
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
σ =
Δ
Δ
τ =
Δ
Δ
τ =
Δ
ความเคนตั้งฉาก ตามแนวแกน x
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน y
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน z
145. ดังนั้นเรานิยามเท็นเซอรความเคน ณ จุดใดๆ โดยคาดังกลาวหรือเขียนเปน
{ }
, ,
x
y
x xy xz
z
yx y yz
yz
zx zy z
zx
xy
xy yx xz zx yz zy
σ
⎧ ⎫
⎪ ⎪
σ
⎪ ⎪
⎡ ⎤
σ τ τ
⎪ ⎪
σ
⎪ ⎪
⎢ ⎥
σ = τ σ τ = ⎨ ⎬
⎢ ⎥ τ
⎪ ⎪
⎢ ⎥
τ τ σ
⎣ ⎦ ⎪ ⎪
τ
⎪ ⎪
τ
⎪ ⎪
⎩ ⎭
τ = τ τ = τ τ = τ
ดังนั้นเท็นเซอรความเคนคือสถานะของความเคน(State of stress) ณ จุดใดๆ
ในวัตถุ ซึ่งเปนคาที่ตองอางอิงกับพิกัด xyz
Stress tensor
เมื่อ
147. x
y
A B
C
A’
B’
C’
v
u
dy
dx
dx
x
v
∂
∂
x
d
x
u
u
∂
∂
+
dy
y
u
∂
∂
dy
y
v
v
∂
∂
+
1 2 1 2
u
d x u d x u d x
A 'B ' A B u
x
A B d x x
v
d y v d y v d y
y
A 'C ' A C v
A C d y y
π
a n g le (C 'A 'B ') β β ta n β ta n β
2
v u
x
x
y
x y
y
ε
ε
ε
∂
⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ + − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ∂
∂
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= = =
∂
⎛ ⎞
⎛ ⎞
∂
+ + − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂
− ∂
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= = =
∂
= − = + ≈ +
∂ ∂
≈ +
∂ ∂
1
β
2
β
ตัวอยาง 2D
148. คาของเท็นเซอรความเคนและเท็นเซอรความเครียดมีความสัมพันธซึ่งอธิบาย
ไดดวย Constitutive matrix หรือ Stress/Strain matrix
{ } { }
[ ]
6 1 6 1
D
σ = ε
× ×
คาคงที่ที่จะนํามาใชในเมตริก [D] ขึ้นอยูวาวัตถุที่พิจารณามีคุณสมเปนแบบ
ไหนเชน Isotropic material หรือ orthotropic material หรือ Anisotropic
material
ขนาด 6 x 6 หรือ มีองคประกอบ 36 ตัว
ซึ่งไดจากคาคงที่ของวัสดุ
Generalized Hooke’s Law
150. ‰ orthotropic material ต.ย. เชน ไม ลามิเนตพลาสติก Rolled steel เปนตน มีคา
คุณสมบัติ 9 ตัวที่ตองหามา โดยสวนใหญจะเขียนดังนี้แทน
, ,
yz zy xy yx
zx xz
y z z x x y
E E E E E E
ν ν ν ν
ν ν
= = =
{ } { } { }
1
[ ] [ ]
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
[ ]
1
0 0 0 0 0
2
1
0 0 0 0 0
2
1
0 0 0 0 0
2
yx zx
x y z
xy zy
x y z
yz
xz
x y z
yz
zx
xy
D S
E E E
E E E
E E E
S
G
G
G
−
ε = σ = σ
ν
⎡ ⎤
ν
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
ν ν
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
ν
ν
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
เมื่อ
Compliance matrix
152. เมื่อทําการ Transform คาเท็นเซอรความเคนแลวหรือเลือกพิกัดอางอิงที่เหมาะสม
ไดแลว ณ ที่นี้คือพิกัด
{ } { }
0 0
0 0
0 0
x xy xz x x y x z I
yx y yz y x y y z II
zx zy z z x z y z III
I II III
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
σ τ τ σ τ τ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
′
σ = τ σ τ → σ = τ σ τ = σ
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
τ τ σ τ τ σ σ
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
σ > σ > σ
Principal stresses - ความเคนหลักสูงสุดหาไดจาก
x y z
′ ′ ′
3 2
1 2 3
1
2 2 2
2
2 2 2
3
( )( )( ) 0
where
2
I II III
x y z
x y y z x z xy xz yz
x y z xy xz yz x yz y xz z xy
− + − = − − − =
= + +
= + + − − −
= + − − −
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ
I I I
I
I
I
153. ความเคนหลักสูงสุดในระบบ 2 มิติ
‰ สามารคํานวณความเคนหลักจากสมการ
2
,
2 2
x y x y
I II xy
σ σ σ σ
σ σ τ
+ −
⎛ ⎞
= ± +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
‰ สถานะของความเคน
x xy
yx y
σ τ
τ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
สมการนี้คือสมการของวงกลม Mohr นั่นเอง
157. การลา(Fatigue)
This high tensile steel bolt failed under low stress high cycle conditions
with a fatigue crack running from 9 o'clock as shown by the beach
marks.
Crack origin
158. การกัดกรอน(Corrosion)
The deep drawn brass cup on the right shows stress corrosion
cracking under the influence of the residual manufacturing
stresses and a mildly corrosive environment. The cup on the
left has been annealed before putting it into service which
solves the problem
160. การสึกหรอ(Wear)
Wear may be defined as damage to a solid
surface caused by the removal or displacement of
material by the mechanical action of a contacting
solid, liquid, or gas.
Abrasion of gear
tooth surface
162. Maximum Principal Stress Theory
ทฤษฎีกลาวไววา “การครากของวัสดุจะเกิดขึ้นเมื่อคาสมบูรณความเคนหลักมีคา
เทากับหรือมากกวาคาความเคนแรงดึงสูงสุด(uni-axial tensile yield strength)”
ทฤษฎีมักจะนําไปใชทํานายการเสียหายของวัสดุเปราะ
( , , )
I II III y
MAX σ σ σ σ
≥
163. Maximum Shear Stress Theory
‰มีชื่ออีกอยางหนึ่งวา “Tresca criterion” ซึ่งมาจากชื่อของนักวิทยาศาสตรชาว
ฝรั่งเศสที่ชื่อวา Henri Tresca ทฤษฎีกลาวไววา “การครากของวัสดุจะเกิดขึ้นเมื่อคา
ความเคนเฉือนสูงสุดมีคาเทากับหรือมากกวาคาความเคนเฉือนคราก (τy =
σy/2) ของวัสดุที่อยูภายใตแรงกระทําตามแนวแกนอยางเดียวแบะคาความเคน
เทากับความเคนแรงดึงสูงสุด ทฤษฎีมักจะนําไปใชทํานายการเสียหายของวัสดุ
เหนียว
( , , )
2 2 2 2
y
II III III I I II
y
MAX
σ
σ σ σ σ σ σ
τ
− − −
= =
, ,
2 2 2
II III III I I II
I II III
σ σ σ σ σ σ
τ τ τ
− − −
= = =
คาความเคนเฉือนหลักหาไดโดย
164. Distortion Energy Theory
‰ทฤษฎีนี้สมมุติใหพลังงานความเครียดรวมสามารถแบงออกเปนสองสวนคือ
volumetric (hydrostatic) strain energy และ shape (distortion or shear) strain
energy ดังนั้นพลังงานที่ทําใหเกิดการครากจะมาจากสวนหลัง ทฤษฎีจึงกลาวไววา
“การครากจะเกิดขึ้นเมื่อ distortion energy มีคามากกวาความเคนแรงดึงสูงสุด”
ทฤษฎีนี้เปนที่รูจักกันดีในนาม Von Mises criterion และสามารถแสดงเปนสมการ
ไดดังนี้
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )
2
I II II III III I y
σ σ σ σ σ σ σ
⎡ ⎤
− + − + − =
⎣ ⎦
หรือ
2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) 6( )
2
x y y z z x xy yz zx y
σ σ σ σ σ σ τ τ τ σ
⎡ ⎤
− + − + − + + + =
⎣ ⎦
1/2
2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) 6( )
2
von x y y z z x xy yz zx
σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ
⎡ ⎤
= − + − + − + + +
⎣ ⎦
Von Mises stress
165. Examples of Calculation
Example: A three dimensional state of stress is as follows:
100 80 0
80 60 0
0 0 40
ij MPa
σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Solution: Substitute in the principal stress equation, we get
1
2
2
2
3
100 60 40 80
100 ( 60) ( 60) 40 100 40 80 10,800
100 ( 60) 40 40 80 496,000
I
I
I
= − + =
= × − + − × + × − = −
= × − × − × =
Find the principal stresses?
167. Examples of Failure Calculation
Question From previous example, if the material has tensile
yield strength equal to 100 MPa, determine that the plastic
deformation has already occurred or not. Use the
following criterions,
1. Maximum principal stress theory
2. Maximum shear stress theory
3. Distortion energy theory
Solution : 1) Maximum principal stress theory
1 2 3
( 133.1 , 93.1 , 40 ) 133.1 100
σ σ σ
= = − = = >
MAX
Therefore, yielding has occurred.
169. Examples of Failure Calculation (cont.)
Solution : 3) Distortion energy theory
Therefore, yielding has occurred.
2
2 2 2 2
1
(133.1 ( 93.1)) (( 93.1) 40) (40 133.1)
2
196.91 100
σ
σ
⎡ ⎤
− − + − − + − =
⎣ ⎦
= >
e
e
170. Tutorial
Problem The round bar is subjected to a force and torque, as
shown below. Determine
1) State of stress at any point within a body
2) Principal normal stresses
171. Tutorial (cont.)
σxx = F/A
τxy = Tr/J, J (Circular Shaft) = πr4/2, r = outside radius of a
solid shaft, shear is maximum at outside radius
• If solid shaft material is AISI 1030, determine that is it failed
by yielding or not?