Notiuni teoretice la Functia Exponentiala

2. Functia f:R→(0,+∞) , f(x)=ax ,a>0, a≠1 se numeste
functie exponentiala.

3. Pentru a=1 se obtine functia f:R→(0,+∞) , f(x)=1
care nu prezinta un interes special.

4. Functia exponentiala f:R→(0,+∞), f(x)= ax , a>0 ,
a≠1 verifica relatia functionala f(x+y)=f(x)*f(y),
x,yЄR.
Relatia face legatura intre adunarea numerelor reale si
inmultirea numerelor reale pozitive.

5. f(-x)= [f(x)]-1
f(-x)=a-x=1/ax=1/f(x)=[f(x)]-1
f(x-y)=f(x)/f(y)
f(x-y)=ax-y=ax/ay=f(x)/f(y)
f(nx)=[f(x)]n
f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n
f(x1+x2+…+xn)=f(x1)*f(x2)*…*f(xn)
I etapa de verificare:
II etapa de demonstratie:
p(k)→p(k+1)
p(k)=f(x1+x2+…+xk)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk)

6. p(k+1)=f(x1+x2+…+xk+1)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk+1)
f(x1+x2+…+xk+1)=f[(x1+x2+…+xk)+xk+1]
f(x1+x2+…+xk)*f(xk+1)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk)*f(xk+1)
din I si II =>p(n) adevarat , n≥2.
Compararea valorilor functiei
exponentiale cu 1
Fie f,g:R→(0,+∞), f(x)= f(x)=8x ,g(x)= (1/2)x .
Asociem acestor functii urmatoarele tabele de valori:

7. Lecturand tabelele de valori ale functiilor f si g se
observa ca:
a) Pentru x=0,f(0)=1 si g(0)=1;
b) Pentru x>0,f(x)>1 si g(x)<1;
c) Pentru x<0,f(x)<1 si g(x)>1.
In general, are loc urmatoarea proprietate de
comparare cu 1 a valorilor functiei exponentiale
f:R→(0,+∞), f(x)= ax , aЄ(0,1)∪(1,+∞):
x -∞ -2 -1 0 1/3 1/2 5/3 2 3 +∞
f(x) 0,015625 0,125 1 2 2√2 32 64 512
x -∞ -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
g(x) 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625

8. Daca 0<a<1, atunci f(x)<1 daca x>0;
f(x)>1 daca x<0.
Daca aЄ(0,+∞), atunci f(x)>1 daca x>0;
f(x)<1 daca x<0.
Studiul monotoniei functiei exponentiale
Din tabelele de valori ale functiilor exponentiale f(x)=8x si
g(x)=(1/2)x se observa ca valorile functiei f cresc daca x
creste, iar ale functiei g descresc cand x creste. Aceste
observatii particulare ne sugereaza tipul de monotonie
pentru cele doua functii exponentiale in functie de baza
puterii.

9. Fie f:R→(0,+∞), f(x)= ax ,aЄ(0,1) ∪(1,+∞). Atunci :
a)daca a>1,functia exponentiala este strict
crescatoare pe R;
-fie aЄ(1,+∞) si X1,x2 Є R, x1<x2. Sa aratam ca ax1<ax2.
Din relatia x1<x2, rezulta ca exista k Є (0,+∞) astfel
incat x2=x1+k. Se obtine succestiv: ax2-ax1=ax1+k-
ax1*(ak-1)>0,avand in vedere proprietatea
“proprietatea valorilor functilor functiei
exponential cu 1”. In concluzie f(x1)<f(x2) si f este
strict crescatoare pe R.
b)daca aЄ(0,1),functia exponentiala este strict
descrescatoare pe R.

10. Daca a<1 =>f(x)=ax ↑
Daca 0<a<1 => f(x)=ax ↓
Studiul injectivitatii si
surjectivitatii functiei
exponentiale
Functia exponentiala este strict monotona
,ceea ce implica injectivitatea acesteia.
Asadar din egalitatea ax =ay , aЄ(0,1)
∪(1,+∞) rezulta ca x=y.
Injectivitatea functiei exponentiale este utila
in cazut rezolvarii unor tipuri de ecuatii
exponentiale.

11. Referitor la surjectivitatea functiei exponentiale afirmam ca
functia exponentiala este surjectiva ,fara a demonstra
aseasta. In concluzie retinem ca functia exponentiala este
bijectiva.
Graficul functiei
Reprezentarea geometrica a graficului functiei
exponentiale se numeste curba exponentiala.
f(x)= ax intersecteaza axa ordonatelor in punctul de
coordonate (0,1) si nu intersecteaza axa absciselor.
Graficul functiei exponentiale este o curba convexa.
Axa Ox este asimptota la graficul functiei spre -∞
daca a>1 , si la +∞ daca a<1 [aЄ(0,1)].

12. Cazul a>1
 f(x)= ax >0, xЄR ; curba exponentiala este situata deasupra
axei Ox.
Pentru x=0,f(0)=1; pentru x<0,f(x)<1; pentru x>0,f(x)>1.
Functia exponentiala este strict crescatoare pe R.
Functia exponentiala este bijectiva (injectiva si surjectiva),deci
orice paralela dusa la axa Ox dusa prin punctele codomeniului
intersecteaza curba exponentiala intr-un singur punct.
Axa Ox este asimptota orizontala spre +∞.

13. Cazul 0<a<1
f(x)= ax >0, xЄR ; curba exponentiala este situata
deasupra axei Ox.
Pentru x=0,f(0)=1;pentru x<0,f(x)>1; pentru x>0,f(x)<1.
Functia exponentiala este strictdescrescatoare pe R.
Functia exponentiala este bijectiva (injectiva si
surjectiva),deci orice paralela dusa la axa Ox dusa prin
punctele codomeniului intersecteaza curba exponentiala
intr-un singur punct.
Axa Ox este asimptota orizontala spre +∞.
Convexitatea si concavitatea
functiei exponentiale

14. Graficul functiei exponentiale are forma convexa.
Acest fapt se poate aproba usor in cazul general studiind
valabilitatea inegalitatii lui Jensen:
f[(x+y)/2≤{[f(x)+f(y)]/2}, x,y Є R.
Avem {[f(x)+f(y)]/2} – f[(x+y)/2]=[(ax+ay)/2-a(x+y)/2=(ax+ay-
2√ax+ay)/2=1/2
(√ax-√ay)2≥0, x,y Є R si astfel inegalitatea
f[(x+y)/2≤{[f(x)+f(y)]/2}, x,y Є R ,are loc.
In concluzie functia exponential este convexa.

15. Aplicatii
3) (1/3)7 (1/3)-7
f(x)=(1/3)x
7>-7 => f(7)<f(-7) => (1/3)7<(1/3)-7
2) 25/2 23/5
f(x)=2x crescatoare
5/2 > 3/5 => f(5/2)>f(3/5) => 25/2 > 23/5
3) (3/7)-2/3 (√3)1/2 1
f(x)=(3/7)x descrescatoare -2/3<0 => f(-2/3)>1
f(x)=(√3)x crescatoare 1/2>0 => f(1/2)>1 => √31/2>1
4) 22a-1 2a+2 a ЄR
f(x)=2x crescatoare
2a-1<a+2 => a<3 => f(2a-1)<f(a+2) =>22a-1 < 2a+2

16. 5) (1/2)5a-1 23-2a
(1/2)5a-1 = 21-5a
f(x)=2x crescatoare
1-5a<3-2a
-2<3a => a>-2/3
Daca a>-2/3 => 1-5a<3-2a => f(1-5a)<f(3-2a)=> 21-5a<23-2a
Daca a<-2/3 => 21-5a>23-2a
6) f:R→R, f(x)=15x-3*5x-3x+10
I injectivitate:
X1,x2 apartin R , f(X1)=f(x2)=> X1= x2
f(0)=1-3-1+10=7
f(1)=15-15-3+10
=>f nu este injectiva
=>f nu e bijectiva.

17. Surse de inspiratie:
-manual
-caiet
-internet