Funcția exponențială f(x) = ax, cu a > 0 și a ≠ 1, prezintă proprietăți unice precum f(x+y) = f(x) * f(y) și este strict monotonă, fiind crescătoare pentru a > 1 și descrescătoare pentru 0 < a < 1. Funcția este injectivă și surinjectivă, ceea ce o face bijectivă, iar graficul său, cunoscut sub numele de curbă exponențială, are asimptote orizontale și este convex. Studiul funcției exponențiale include aplicații și demonstrații ale proprietăților sale matematice fundamentale.

2. Functia f:R→(0,+∞) , f(x)=ax ,a>0, a≠1 se numeste
functie exponentiala.

3. Pentru a=1 se obtine functia f:R→(0,+∞) , f(x)=1
care nu prezinta un interes special.

4. Functia exponentiala f:R→(0,+∞), f(x)= ax , a>0 ,
a≠1 verifica relatia functionala f(x+y)=f(x)*f(y),
x,yЄR.
Relatia face legatura intre adunarea numerelor reale si
inmultirea numerelor reale pozitive.

5. f(-x)= [f(x)]-1
f(-x)=a-x=1/ax=1/f(x)=[f(x)]-1
f(x-y)=f(x)/f(y)
f(x-y)=ax-y=ax/ay=f(x)/f(y)
f(nx)=[f(x)]n
f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n
f(x1+x2+…+xn)=f(x1)*f(x2)*…*f(xn)
I etapa de verificare:
II etapa de demonstratie:
p(k)→p(k+1)
p(k)=f(x1+x2+…+xk)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk)

6. p(k+1)=f(x1+x2+…+xk+1)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk+1)
f(x1+x2+…+xk+1)=f[(x1+x2+…+xk)+xk+1]
f(x1+x2+…+xk)*f(xk+1)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk)*f(xk+1)
din I si II =>p(n) adevarat , n≥2.
Compararea valorilor functiei
exponentiale cu 1
Fie f,g:R→(0,+∞), f(x)= f(x)=8x ,g(x)= (1/2)x .
Asociem acestor functii urmatoarele tabele de valori:

7. Lecturand tabelele de valori ale functiilor f si g se
observa ca:
a) Pentru x=0,f(0)=1 si g(0)=1;
b) Pentru x>0,f(x)>1 si g(x)<1;
c) Pentru x<0,f(x)<1 si g(x)>1.
In general, are loc urmatoarea proprietate de
comparare cu 1 a valorilor functiei exponentiale
f:R→(0,+∞), f(x)= ax , aЄ(0,1)∪(1,+∞):
x -∞ -2 -1 0 1/3 1/2 5/3 2 3 +∞
f(x) 0,015625 0,125 1 2 2√2 32 64 512
x -∞ -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
g(x) 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625

8. Daca 0<a<1, atunci f(x)<1 daca x>0;
f(x)>1 daca x<0.
Daca aЄ(0,+∞), atunci f(x)>1 daca x>0;
f(x)<1 daca x<0.
Studiul monotoniei functiei exponentiale
Din tabelele de valori ale functiilor exponentiale f(x)=8x si
g(x)=(1/2)x se observa ca valorile functiei f cresc daca x
creste, iar ale functiei g descresc cand x creste. Aceste
observatii particulare ne sugereaza tipul de monotonie
pentru cele doua functii exponentiale in functie de baza
puterii.

9. Fie f:R→(0,+∞), f(x)= ax ,aЄ(0,1) ∪(1,+∞). Atunci :
a)daca a>1,functia exponentiala este strict
crescatoare pe R;
-fie aЄ(1,+∞) si X1,x2 Є R, x1<x2. Sa aratam ca ax1<ax2.
Din relatia x1<x2, rezulta ca exista k Є (0,+∞) astfel
incat x2=x1+k. Se obtine succestiv: ax2-ax1=ax1+k-
ax1*(ak-1)>0,avand in vedere proprietatea
“proprietatea valorilor functilor functiei
exponential cu 1”. In concluzie f(x1)<f(x2) si f este
strict crescatoare pe R.
b)daca aЄ(0,1),functia exponentiala este strict
descrescatoare pe R.

10. Daca a<1 =>f(x)=ax ↑
Daca 0<a<1 => f(x)=ax ↓
Studiul injectivitatii si
surjectivitatii functiei
exponentiale
Functia exponentiala este strict monotona
,ceea ce implica injectivitatea acesteia.
Asadar din egalitatea ax =ay , aЄ(0,1)
∪(1,+∞) rezulta ca x=y.
Injectivitatea functiei exponentiale este utila
in cazut rezolvarii unor tipuri de ecuatii
exponentiale.

11. Referitor la surjectivitatea functiei exponentiale afirmam ca
functia exponentiala este surjectiva ,fara a demonstra
aseasta. In concluzie retinem ca functia exponentiala este
bijectiva.
Graficul functiei
Reprezentarea geometrica a graficului functiei
exponentiale se numeste curba exponentiala.
f(x)= ax intersecteaza axa ordonatelor in punctul de
coordonate (0,1) si nu intersecteaza axa absciselor.
Graficul functiei exponentiale este o curba convexa.
Axa Ox este asimptota la graficul functiei spre -∞
daca a>1 , si la +∞ daca a<1 [aЄ(0,1)].

12. Cazul a>1
 f(x)= ax >0, xЄR ; curba exponentiala este situata deasupra
axei Ox.
Pentru x=0,f(0)=1; pentru x<0,f(x)<1; pentru x>0,f(x)>1.
Functia exponentiala este strict crescatoare pe R.
Functia exponentiala este bijectiva (injectiva si surjectiva),deci
orice paralela dusa la axa Ox dusa prin punctele codomeniului
intersecteaza curba exponentiala intr-un singur punct.
Axa Ox este asimptota orizontala spre +∞.

13. Cazul 0<a<1
f(x)= ax >0, xЄR ; curba exponentiala este situata
deasupra axei Ox.
Pentru x=0,f(0)=1;pentru x<0,f(x)>1; pentru x>0,f(x)<1.
Functia exponentiala este strictdescrescatoare pe R.
Functia exponentiala este bijectiva (injectiva si
surjectiva),deci orice paralela dusa la axa Ox dusa prin
punctele codomeniului intersecteaza curba exponentiala
intr-un singur punct.
Axa Ox este asimptota orizontala spre +∞.
Convexitatea si concavitatea
functiei exponentiale

14. Graficul functiei exponentiale are forma convexa.
Acest fapt se poate aproba usor in cazul general studiind
valabilitatea inegalitatii lui Jensen:
f[(x+y)/2≤{[f(x)+f(y)]/2}, x,y Є R.
Avem {[f(x)+f(y)]/2} – f[(x+y)/2]=[(ax+ay)/2-a(x+y)/2=(ax+ay-
2√ax+ay)/2=1/2
(√ax-√ay)2≥0, x,y Є R si astfel inegalitatea
f[(x+y)/2≤{[f(x)+f(y)]/2}, x,y Є R ,are loc.
In concluzie functia exponential este convexa.

15. Aplicatii
3) (1/3)7 (1/3)-7
f(x)=(1/3)x
7>-7 => f(7)<f(-7) => (1/3)7<(1/3)-7
2) 25/2 23/5
f(x)=2x crescatoare
5/2 > 3/5 => f(5/2)>f(3/5) => 25/2 > 23/5
3) (3/7)-2/3 (√3)1/2 1
f(x)=(3/7)x descrescatoare -2/3<0 => f(-2/3)>1
f(x)=(√3)x crescatoare 1/2>0 => f(1/2)>1 => √31/2>1
4) 22a-1 2a+2 a ЄR
f(x)=2x crescatoare
2a-1<a+2 => a<3 => f(2a-1)<f(a+2) =>22a-1 < 2a+2

16. 5) (1/2)5a-1 23-2a
(1/2)5a-1 = 21-5a
f(x)=2x crescatoare
1-5a<3-2a
-2<3a => a>-2/3
Daca a>-2/3 => 1-5a<3-2a => f(1-5a)<f(3-2a)=> 21-5a<23-2a
Daca a<-2/3 => 21-5a>23-2a
6) f:R→R, f(x)=15x-3*5x-3x+10
I injectivitate:
X1,x2 apartin R , f(X1)=f(x2)=> X1= x2
f(0)=1-3-1+10=7
f(1)=15-15-3+10
=>f nu este injectiva
=>f nu e bijectiva.

17. Surse de inspiratie:
-manual
-caiet
-internet