The document contains 15 multiple choice questions from an IME 2018 exam. The questions cover topics such as determinants, functions, systems of equations, geometry, complex numbers, polynomials, trigonometry, and number representations in different bases. A key is provided with the correct answer for each question labeled A through E.

1. IME 2018 - FECHADA
1
01. (Ime 2018) Sejam 1 2 3
x , x , x e 4
x os quatro primeiros termos de uma P.A. com 1
x x
= e razão r, com 𝑥𝑥, 𝑟𝑟 ∈ ℝ. O
determinante de
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
 
 
 
 
 
 
é
a) 0
b) 4
x r
⋅
c) 4 3
x r
⋅
d) 4
x r
⋅
e) 3
x r
⋅
02. (Ime 2018) Seja f(x) uma função definida nos conjunto dos números reais, de forma que f(1) 5
= e para qualquer x
pertencente aos números reais f(x 4) f(x) 4
+ ≥ + e f(x 1) f(x) 1.
+ ≤ + Se g(x) f(x) 2 x,
= + − o valor de g(2017) é
a) 2
b) 6
c) 13
d) 2.021
e) 2.023
03. (Ime 2018) Considere as alternativas:
I. O inverso de um irracional é sempre irracional.
II. Seja a função f : A B
→ e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X Y) f(X) f(Y).
∩ = ∩
III. Seja a função f : A B
→ e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X Y) f(X) f(Y).
∪ = ∪
IV. Dados dois conjuntos A e B não vazios, então A B A
∩ = se, e somente se, B A.
⊂
Obs.: f(Z) é a imagem de f no domínio Z.
São corretas
a) I, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I e IV, apenas.
e) II e III, apenas.

2. IME 2018 - FECHADA
2
04. (Ime 2018) Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua
área total é de 2
28 cm . Calcule o valor da diagonal do referido prisma.
a) 17 cm
b) 19 cm
c) 21 cm
d) 2 7 cm
e) 29 cm
05. (Ime 2018) Seja o seguinte sistema de equações, em que s é um número real:
1 2 3
1 2 3
1 2
x x sx 0
2x x x 1
sx 2x 0
+ − =


− + + =

 − =

. Escolha uma faixa
de valores de s em que as soluções do sistema são todas negativas.
a) s 2
< −
b) 2 s 0
− < <
c) 0 s 1
< <
d) 1 s 2
< <
e) s 2
>
06. (Ime 2018) João e Maria nasceram no século XX, em anos distintos. A probabilidade da soma dos anos em que
nasceram ser 3.875 é
a) 2 99
b) 19 2.475
c) 37 4.950
d) 19 825
e) 19 485

3. IME 2018 - FECHADA
3
07. (Ime 2018) Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20 3. Considere
uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As
parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na origem, têm as
seguintes equações
a) 2 35
y 2 x
7
= ±
b) 2 5
y 4 x
7
= ±
c) 2 5
y 6 x
7
= ±
d) 2 35
y 6 x
7
= ±
e) 2 35
y 8 x
63
= ±
08. (Ime 2018) Seja um heptágono regular de lado  cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a qual
das expressões?
a)
d
d
⋅
−


b)
2
d
d − 
c)
d
d
⋅
+


d)
2
d +


e)
3 d
2
⋅
09. (Ime 2018) Seja a função 𝐻𝐻: ℂ → ℂ definida por
3 2
3 2 1 0
2
2 1 0
a s a s a s a
H(s)
b s b s a
+ + +
=
+ +
, com j
a e k
b reais, para j 0,1, 2, 3
= e
k 0,1, 2.
= Seja a função 𝑓𝑓: ℝ → ℝ em que f(w) é a parte real de H(iw) em que i 1
= − é a unidade imaginária e 𝑤𝑤 ∈ ℝ.
A afirmação correta a respeito de f(w) é
a) f(w) é uma função impar.
b) f(w) é uma função par.
c) f(w) é sempre negativa.
d) f(w) é sempre positiva.
e) f(w) é uma função periódica.

4. IME 2018 - FECHADA
4
10. (Ime 2018) Determine o valor de a na expressão abaixo, sabendo-se que 0 a 1,
< <
colog 256
65
(2 )
(a )
log 256
4
(a )
2
(a )
colog 256
a
1
log 256 Im {Z}
16
=

, onde Z é um número complexo que satisfaz a equação:
4.033 2 2.017
2 Z 2 Z 1 0.
− + =
Obs.: Im(Z) é a parte imaginária do número complexo Z.
a)
1
4
b)
1
8
c)
1
16
d)
1
32
e)
1
64
11. (Ime 2018) Seja P(x) o polinômio de menor grau que passa pelos pontos A(2, 4 3 3),
− + B(1, 3 2 2),
− C( 2, 3) e
D( 3, 2). O resto da divisão de P(x) por (x 3)
− é
a) 8 3 5 2 6
− −
b) 6 3 4 2 1
− −
c) 9 3 8 2 2
− −
d) 4 3 10 2 3
− −
e) 4 3 2 6
− −
12. (Ime 2018) A menor raiz real positiva da equação
3 2
arctg x tg arcsen
5 x 2
π
 
 
 
⋅ =
 
 
  +
 
 
 
encontra-se no intervalo
a) (0,1]
b) (1
, 2]
c) (2, 3]
d) (3, 4]
e) (4, 5]

5. IME 2018 - FECHADA
5
13. (Ime 2018) Se X e Y são números naturais tais que 2 2
X Y 2017,
− = o valor de 2 2
X Y
+ é
a) 2008010
b) 2012061
c) 2034145
d) 2044145
e) 2052061
14. (Ime 2018) A soma dos algarismos de X com a soma dos quadrados dos algarismos de X é igual a X. Sabe-se que X
é um número natural positivo. O menor X possível está no intervalo
a) (0, 25]
b) (25, 50]
c) (50, 75]
d) (75,100]
e) (100,125]
15. (Ime 2018) Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1.041 e na
base x 1
− é 1.431, então a sua representação na base binária é
a) 10001111
b) 11011011
c) 11100111
d) 11011110
e) 11110001

6. IME 2018 - FECHADA
6
GABARITO
1 - E 2 - B 3 - B 4 - C 5 - D
6 - C 7 - E 8 - A 9 - B 10 - A
11 - A 12 - D 13 - C 14 - D 15 - E