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Joi模擬予選2013 6番解説
- 2. 問題概要 • 0~N-1までの整数をK個並べて、その積をmod N でMと合同にする方法は何通りあるか • N<=10^12,K<=10^18
- 3. 想定TLE解法① • 素直にDP • DP[何個並べたか][いまの積は何か]をどんどん 更新していく • O(N^2K) • テストケース1のみが解けて20点が得られる
- 4. 想定TLE解法② • 行列累乗を使う • 知らない人は蟻本を見てください • O(N^3log K) • テストケース1と2が解け、40点が得られる
- 5. 想定TLE解法③ • 実は状態数が圧縮できる • 例えばmod 60の場合、先ほどの20点DPで、 DP[2][i]=DP[14][i]=DP[22][i]などとなるので、こ の状態が圧縮できる(これはDPの漸化式が等しい ことから明らか)
- 6. 想定TLE解法③ • では、どのようなときに状態数が圧縮できるか? • 「tとNの最大公約数が等しいようなもの」はす べてDPの漸化式が等しいので、同じ状態にでき る • よって、Nの約数の個数通りの状態のみが存在 する
- 7. 想定TLE解法③ • Nの約数の個数はどれくらいか? • N<=10^12なるNに対しては、4032個の約数を 持つ97772875200が最大 • Nの値に対してそれほど大きくならない
- 9. 想定解法 • 実は行列累乗をしなくてもよい • DP[p][q]:2^p個の整数を並べたときにその積を XとするとGCD(X,N)=qとなるような場合の数 • と定義すると、列のマージはO((要素数)^2)でで きるので、全体でO((Nの約数の個数)^2log K)で このDPテーブルが計算できる
- 10. 想定解法 • このDPテーブルが計算できれば、あとは適当に マージするだけ • これで100点がとれる • おめでとうございます
- 11. 注意すべきこと • Nの値は大きいので、オーバーフローに注意 • Nの約数同士を掛け算して状態遷移を求めるの もオーバーフローするので、掛ける数をa,bとす るとa,bがNの約数であることを利用し、 a*GCD(N/a,b)で求まる • そのほかにもオーバーフローポイントがたくさ んあります