文档讨论了信息编码与错误检测的基本原理，包含生成矩阵和校验矩阵的定义及其作用。介绍了几种编码方式如汉明码和循环码的生成和编码过程，并涉及相关的代数概念，包括群、环和域。最后，提供了关于同余和剩余类的数学背景，以及循环群的定义及其性质。

1. 关于仿真程序的几个问题

2. 产生信息序列 编码 通过信道 译码 与信息序列比较，判断是否有错 计算误比特率 中止 Yes 实际系统中， 采用检错码判断

3. 复习课（一） —— 几种编码方式

4. 几个概念 生成矩阵 G 和校验矩阵 H 典型校验矩阵是什么含义？ G 的每一行的物理含义是什么？ H 的每一行的物理含义是什么？每一列的物理含义是什么？ 错误图样 E 伴随式 S

5. G 的每一行代表一个码字，且生成矩阵各行之间是线性独立的。 H 的每一行决定了一个码字中各码元之间的约束关系。所有码字都必须满足 H 给出的 n - k 个线性方程。 H 的每一列实际是某一错误图样对应的伴随式，该错误图样中只有该列对应位置为 1, 其他位置均为零。 伴随式实际是由 H 中各列的线性组合构成的。

6. 几个特殊码类的 生成矩阵和校验矩阵 汉明码 [2 m -1 , 2 m -1- m ,3] 了解汉明码的参数和纠错能力 循环码 g ( x ) h ( x ) =x n -1 给定码长和信息位长度，会求生成多项式和校验多项式；会求生成矩阵和校验矩阵；会画编码电路。

7. 循环码的编码原理 (1) 基本步骤 ([ n , k ]) 1 、分解多项式 x n -1= g ( x ) h ( x ) 2 、选择其中的 n - k 次多项式 g ( x ) 为生成多项式 3 、由 g ( x ) 可得到 k 个多项式 g ( x ), xg ( x ),… x k- 1 g ( x ) 4 、取上述 k 个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵 5 、取 h ( x ) 的互反多项式 h *( x ), 取 h *( x ), xh *( x ),… x n-k -1 h *( x ) 的系数即可构成相应的校验矩阵

8. 循环码的编码原理 (2) 可选择 k 个线性无关的信息组 (1,0,0,…,0) x k -1 ， (0,1,0,0,…0) x k -2 , … (0,0,0,…,0,1) 1

9. 表示 r i ( x ) 的系数

11. n - k 级编码器 基本原理：利用生成多项式 g (x) 若要求编成非系统码形式，则利用乘法电路 若要求编成系统码形式，则利用除法电路

12. g 0 g 1 g 2 g n-k -2 b 1 g n-k -1 b 1 g n-k 输出 C ( x ) 输入 m ( x ) m 0 , m 1 ,… m k 乘 g ( x ) 运算电路 m k -1 g n-k -1 m k -1 g n-k 输入 m (x) 是信息序列， g (x) 为生成多项式 m k -1 g 0 m k -1 g 1

13. 输入 m ( x ) m 0 , m 1 ,… m k- 1 g n-k -1 -g 0 -g n -k-1 -g n -k-2 乘 x n-k 除 g ( x ) 运算电路 -g 1 -g 2 门 1

14. 循环码 k 级编码电路 -h 0 -h 1 -h 2 -h k -2 b 1 -h k -1 输入信息 门 c n -1 c n -2 c n - k -1 c n - k

15. Ex1 GF(2) 上， x 7 -1=( x +1)( x 3 + x +1)( x 3 + x 2 +1) 试画一个 [7,4] 循环码的编码电路。

16. 几个特殊码类的 生成矩阵和校验矩阵 卷积码 ( n 0 , k 0 , m ) G , G ( D ) 根据编码电路会求 G 和 G ( D ) ； 由 G 会求 G ( D ) ； 由 G ( D ) 会求 G ； 由 G 和 G ( D ) 会画编码电路； G 以子码为单位描述卷积码 G (D) 以子码中的单个码元为单位描述卷积码

17. 生成矩阵和生成多项式矩阵 (P380) (3,1,2) 卷积编码器 m i p i 2 p i 1

18. 生成矩阵 G 基本生成矩阵 是信息序列 (100000……) 送入编码器时对应 的输出子码

19. 生成多项式矩阵 基本生成矩阵 子生成元

20. 生成矩阵和生成多项式矩阵 (P380) (3,2,2) 卷积编码器 M i (1) M i (2) c i (2) c i (1) c i (3)

21. 生成矩阵 G

22. 基本生成矩阵 子生成元 生成矩阵中的第一行是信息序列 (10,00,00,……) 对应的输出 生成矩阵中的第二行是信息序列 (01,00,00,……) 对应的输出

23. 生成多项式矩阵

24. Ex2 已知 (2,1,4) 码的子生成元为 1 求出该码的 G (D) 和 G  矩阵 2 画出该码的编码器 3 求出相应于信息序列 M=(11001) 的码序列 4 判断此码是否是系统码

25. Ex3 已知 (3,2,2) 码的子生成元为 1 画出该码的编码器 3 已知 M ( D )=[1+ D + D 3 ,1+ D 2 + D 3 ] ， 求出 C (1) ( D ) ， C (2) ( D ) 和 C (3) ( D ) ， 并写出 C ( D ) 2 写出 G (D)

26. 复习课 ( 二 ) —— 有关的代数知识

27. 要求掌握的几个数学概念 群、环、域 多项式剩余类环 循环群的概念

28. 一、同余和剩余类 (p23) 同余 ：若整数 a 和 b 被同一正整数 m 除时，有相同的余数，则称 a 、 b 关于模 m 同余，记为 剩余类 (Residue) ：给定正整数 m ，可将全体整数按余数相同进行分类，可获得 m 个剩余类，分别用

29. 二、群 (Group) 的定义 (p26) 设 G 是一个非空集合，并在 G 内定义了一种代数运算 “ 。 ”，若满足： 则称 G 构成一个群。若加法，恒等元用 0 表示， 若为乘法，恒等元称为单位元 1) 封闭性。对任意 ，恒有 2) 结合律。对任意 ，恒有 3) G 中存在一恒等元 e, 对任意 ，使 4) 对任意 ，存在 a 的逆元 ，使

30. 三、环 (Ring) 的定义 (p30) 非空集合 R 中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足： 1) 集合 R 在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律

31. 四、域 (Field) 的定义 (p31) 非空集合 F ，若 F 中定义了加和乘两种运算，且满足： 1) F 关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为 0 2) F 中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为 1 3) 加法和乘法之间满足分配律

32. 五、多项式剩余类环

33. 定义 ： 以一个 F p 上的多项式 f ( x )= f n x n + f n -1 x n -1 +…+ f 1 x+f 0 为模的剩余类全体构成一个 多项式剩余类环 F p 上的所有次数小于 n -1 的多项式构成 n 次多项式的剩余类全体 剩余类之间的加法和乘法运算规则

34. Examples 1 、 GF(2) 上的多项式 f ( x )= x 2 +1 的剩余类全体为： 2 、 GF(2) 上的多项式 f ( x )= x 2 + x +1 的剩余类全体为： 对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环，后者构成域 结论：若 n 次首一多项式 f ( x ) 在域 F p 上既约，则 f ( x ) 的剩余类环构成 一个有 p n 个元素的有限域

35. 六、循环群的定义 (p113)

36. 定义： 由一个单独元素的所有 幂次 所构成的群称为循环群，该元素为循环群的生成元 注： 1 、幂次的含义与在群上所定义的运算有关。若定义加法运算，幂运算为连加运算；若定义乘法运算，则幂运算为连乘。 2 、循环群的生成元不止一个。 2 、凡是循环群必是可换群。

37. Ex4: 模 4 剩余类全体关于加法运算构成循环群，生成元为 1 和 3 。 模 5 全体非零剩余类关于乘法构成循环群，生成元为 2 和 3

38. 有限循环群和无限循环群 若元素 a 的所有幂次均不相同 ( 无限循环群 ) 存在整数 h 和 k ，使得 a k = a h ，则有 a 生成的循环群中元素个数有限 ( 有限循环群 ) 循环群元素的级 若 a k = a h ， 则有 a h - k = e ， 定义使 a n = e 的最小正整数为有限循环群元素 a 的 级 。

39. 有限循环群的几个特点 1 、若元素 a 的级为 n ，则 a 0 = e , a , a 2 ,…a n -1 均互不相同 2 、若 a 为 n 级元素，则 a 的一切幂次生成的元素都在群 G ( a ) 中 3 、凡是循环群必是可换群 4 、可换群 G 中的每一个元素 a 都能生成一个循环群。若 a 为有限级，则生成有限循环群， a 的级即为循环群中元素的个数 ( 循环群的阶 )

40. Ex5 设 GF(2) 上的多项式 x 2 + x +1 试写出模该多项式的剩余类全体 在模多项式的加法和乘法运算下构造加法 和乘法运算表 3) 上述剩余类全体在所定义的运算下是否构 成域？ 4) 若构成域，所有非零元素在上述定义的乘 法运算下是否构成循环群？若是，该循环群的 生成元是什么？单位元是什么？每个元素的级 是多少？