本文件探讨了如何利用数学思维进行 Python 编程，强调在编码前需明确思路并进行数学推导。通过逐步简化复杂问题，以及通过讨论和实践来增强编程能力，提升写程序的技巧。文中还提供了关于三角数字塔、山水图案和行道树的具体编程示例与解题过程。

1. 第 三 講
用 數 學 寫 程 式
python 程式設計
python 簡要講義
國立中央大學數學系 吳維漢

2. 學好程式的關鍵 : 善用數學推導
2
 先想清楚再動手撰寫
 利用數學思維於紙筆上推導
 將複雜問題簡化成系列的漸進式題組，然後逐步克服
 與人討論可破除思考盲點，但程式仍需自己完成
 寫程式通常會出錯，很少有一路順利完成程式
 留意解譯器產生的錯誤訊息
 看懂他人程式後，冷卻後重頭撰寫
 試著變化已完成的程式問題，再次練習
 多多找尋題目挑戰自己
 精神不濟時避免練習程式，徒然浪費時間
 學好程設就要經常練習，別無他法
 https://stackoverflow.com/
3 用數學寫程式

3. 三角數字塔 (一)
33 用數學寫程式

4. 三角數字塔 (二)
43 用數學寫程式
while True :
n = int( input("> ") )
# 大縱向
for s in range(n) :
# 小縱向
for i in range(n) :
print( " "*((n-1-s)*n) , end="" )
# 大橫向
for t in range(s+1) :
print( " "*(n-1-i)+str(i+1)*(2*i+1)+
" "*(n-1-i) , end="" )
print()
print()
當程式問題有些複雜，找不出清楚的規律，此時可將問題簡化到可完成的小問題，
然後由此小問題逐步加入條件，循序漸進完成程式設計。

5. 三角數字塔 (三)
53 用數學寫程式
 分解步驟：
1.列印一個數字三角形，但將三角形當成矩形列印，也就是包含
數字前後的空格，先以橫線替代，以下 n = 4 為例：
2.列印一排數字矩形：
---1---
--222--
-33333-
4444444
---1--- ---1--- ---1--- ---1---
--222-- --222-- --222-- --222--
-33333- -33333- -33333- -33333-
4444444 4444444 4444444 4444444

6. 三角數字塔 (四)
63 用數學寫程式
3.列印 n 排數量遞增的數字矩形：
---1---
--222--
-33333-
4444444
---1--- ---1---
--222-- --222--
-33333- -33333-
4444444 4444444
---1--- ---1--- ---1---
--222-- --222-- --222--
-33333- -33333- -33333-
4444444 4444444 4444444
---1--- ---1--- ---1--- ---1---
--222-- --222-- --222-- --222--
-33333- -33333- -33333- -33333-
4444444 4444444 4444444 4444444
4.在每排數字矩形之前增加若干個空格，
以星號替代。
************---1---
************--222--
************-33333-
************4444444
********---1--- ---1---
********--222-- --222--
********-33333- -33333-
********4444444 4444444
****---1--- ---1--- ---1---
****--222-- --222-- --222--
****-33333- -33333- -33333-
****4444444 4444444 4444444
---1--- ---1--- ---1--- ---1---
--222-- --222-- --222-- --222--
-33333- -33333- -33333- -33333-
4444444 4444444 4444444 4444444

7. 山水圖案 (一)
73 用數學寫程式

8. 山水圖案 (二)
83 用數學寫程式
while True :
n = int( input("> ") )
# 山
for i in range(n) :
for j in range(-n+1,n) :
s = abs(j) # 山高至頂端距離
h = n - s # 山高
w = 2 * ( n - abs(j) ) # 山寬
t = i - s # 山頂往下距離
if i < s :
print( " "*w , end="" )
else :
print( " "*(n-1-i)+"/"+"*"*(2*t)+""+
" "*(n-1-i) , end="" )
print()

9. 山水圖案 (三)
93 用數學寫程式
# 水
for i in range(2) :
for j in range(-n+1,n) :
w = 2*(n-abs(j))
print( "~"*w , end="" )
print()
print()

10. 山水圖案 (四)
103 用數學寫程式
 分解步驟：
1. 用矩形方式產生高度為 n 的山，即同時列印山的前後空格，
先以橫線替代。
2. 若 s 為山高到頂端距離，輸入 s，以矩形方式印出此山，
此矩形包含山高到頂端。以下為山高 n = 6 時， s 分別
為 1 與 2 的圖形。
-----/-----
----/**----
---/****---
--/******--
-/********-
/**********
> 1 > 2
---------- --------
----/---- --------
---/**--- ---/---
--/****-- --/**--
-/******- -/****-
/******** /******

11. 山水圖案 (五)
113 用數學寫程式
3. 讓 s 由 0 1 2 依次變化，橫向印出三座山，相鄰兩山的空格暫以
不同符號替代，以資區分。
4. 設定 j 迴圈為 for j in range(-n+1,n) ，取其絕對值為 s，
仿上題印出所有的山，再加上兩排 ~ 底線即可完成程式。
-----/-----++++++++++--------
----/**----++++/++++--------
---/****---+++/**+++---/---
--/******--++/****++--/**--
-/********-+/******+-/****-
/**********/********/******

12. 行道樹 (一)
123 用數學寫程式

13. 行道樹 (二)
133 用數學寫程式
while True :
n = int( input("> ") )
a = 3 * n + 2
for i in range(a) :
for j in range(-n+1,n) :
s = abs(j) # 樹與中間樹單位距離
f = n - s # 樹幹高
h = 2 * n + 1 - 2 * s # 樹身高
w = 4 * ( n - s ) + 1 # 樹身底寬
d = 3 * s # 樹稍與頂部距離
if i < d :
print( " "*w , end=" " )
elif i < d+h :
print( " "*(d+h-i-1)+"*"*(2*(i-d)+1)+" "*(d+h-i-1) , end=" " )
elif i < d+h+f :
print( " "*(2*(n-s))+"|"+" "*(2*(n-s)) , end=" " )
else :
print( "="*(2*(n-s))+"="+"="*(2*(n-s)) , end=("=" if j<n-1 else " ") )
print()
print()

14. 行道樹 (三)
143 用數學寫程式
 推導過程：
此題表面上看起來與數學無關，倒像一個刁難程式設計題目。但若將問題
看成數學題目，就是一個簡單數學問題。舉例來說：讓 n 代表由最左
邊最矮的樹到中間最高的樹的數量，同時再以中間樹為標準，緊鄰的左
右兩旁的樹與中間樹差距為 1，再兩旁則為 2，將此數設為 s，如下圖：

15. 行道樹 (四)
153 用數學寫程式
讓 f 函數代表樹幹長，h 函數為樹身高，w 函數為樹身底部寬，
d 函數為樹梢與頂部的距離，這些函數若分別以 n 與 s 表示各
為何？
當程式問題改成數學題目後，大概都可立即推導出：
f(n,s) = n - s
h(n,s) = 2 n + 1 - 2 s
w(n,s) = 4 ( n - s ) + 1
d(n,s) = 3 s

16. 行道樹 (五)
163 用數學寫程式
包圍每棵樹的矩形高 = f + h + d = n − s + 2n + 1 − 2s + 3s
= 3n + 1，再加上底部等號線就是 3n+2，也就是縱向迴圈執行次數。
函式推導出來後，轉換為程式就簡單了。
列印時每棵樹都被看成矩形，樹體以外的空格暫以橫線替代，由下圖可知
本題的撰寫方式如同上題一樣。
本題需要應用「數學思維」才能解決程式設計 !!
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