מספר טבעי הואמספר שלם וחיובי , לדוגמא : 0,1,2,3,4,5,6,…,10,…,13,…,52,…,1007,…,1098765,… המספרים הטבעיים נקראים כך על שום פשטותם ומשום שקל לזהות אותם בטבע . הם מלווים את האדם מקדמת דנא ומשמשים אותו אבטיח אחד שני אבטיחים שלושה אבטיחים לספירה : ולסידור : על ציר המספרים , המספרים הטבעיים נראים כך : 1 2 3 0 המספרים הטבעיים (N) ראשון שני שלישי רביעי חמישי
3.
ואולם , כיצד נוכל לפתור משוואה מהצורה הבאה עם מספרים טבעיים בלבד ? אע " פ שהאדם משתמש במספרים הטבעיים כבר אלפי שנים , הרי שניסוח אקסיומטי שלהם ניתן רק בשנת 1899 ע " י המתמטיקאי ג ' וזפה פאנו במה שנקרא : " האקסיומות של פאנו " ( Peano’s axioms ). הידעת ? רק במאה השישית קיבל המספר 0 סימן מיוחד . זה קרה בהודו ועברו עוד חמש מאות שנים עד שהגיע לאירופה והתקבל כמספר טבעי מן המניין . בעזרת המספרים הטבעיים ניתן לפתור משוואות כמו : המספרים הטבעיים (N) - המשך Peano, Giuseppe (1858-1932)
4.
מספר שלם יכוללהיות חיובי ויכול להיות שלילי , לדוגמא : … ,-80078456,-1052,-2,-1,0,1,2,3,…,1007,…,1098765,… ניתן לראות שקבוצת המספרים השלמים מכילה את קבוצת המספרים הטבעיים ומרחיבה אותם : על ציר המספרים , המספרים השלמים נראים כך : אך כיצד נוכל לפתור משוואה מהצורה הבאה עם מספרים שלמים בלבד ? כעת , משנמצאים בידינו כל המספרים השלמים , נוכל לפתור את המשוואה הבאה בקלות : המספרים השלמים (Z) N Z 1 2 0 -1 -2 ?
5.
מספר רציונאלי מוגדרכמנה של שני מספרים שלמים ( ): ניתן לראות שקבוצת המספרים הרציונאליים מכילה את קבוצת המספרים השלמים ומרחיבה אותם : הנה מספר דוגמאות של מספרים רציונאליים על ציר המספרים : כעת , משנמצאים בידינו כל המספרים הרציונאליים , נוכל לפתור את המשוואה הבאה בקלות : סוף?? המספרים הרציונאלים (Q) N Z Q 1 2 0 -1 -2 … , ,…, ,…, ,…, ,…, ,…, ,…, ,…, ,…
6.
איך זה קשור? ובכן , מסתבר ש - אינו מספר רציונאלי . זאת אומרת שלא ניתן לבטא את כחלוקה של שני מספרים שלמים . הטענה הזו אינה מובנת מאליה והיא דורשת הוכחה . בשקף הבא נוכיח את הטענה . אבל , מתברר שישנם מספרים שאינם רציונאליים . לדוגמא , נסתכל על משולש ישר זווית ושווה שוקיים באורך 1: במבט ראשון , נראה שהמספרים הרציונאליים מכילים את כל המספרים שיש . קשה להעלות על הדעת מספר שאינו שייך למספרים הרציונאליים . 1 1 X = ? לפי משפט פיתגורס , אורך היתר , X , נתון על ידי : מספרים ממשיים (R) - מה, לא סיימנו? X 2 = 1 2 + 1 2 = 2 X =
7.
בנוסף , נניח ש - n ו - m הם מספרים זרים , כלומר שלא ניתן לצמצם אותם ( אחרת , נצמצם אותם ). נניח בשלילה ש - הוא מספר רציונאלי , שניתן לתאר אותו כחלוקה של שני מספרים שלמים m ו - n : אם נעלה את שני צידי המשוואה בריבוע , נקבל ש - m 2 הוא מספר זוגי : אבל אם m 2 מספר זוגי הרי שגם m הוא מספר זוגי (ראו הוכחה כאן) ולכן : m זוגי כלומר , קיבלנו שגם n 2 הוא זוגי ! ושוב לפי אותה הוכחה שלעיל , אם n 2 הוא זוגי , הרי שגם n עצמו הוא זוגי ולכן ניתן לייצג אותו כך : לסיכום , קיבלנו שגם m וגם n חייבים להיות מספרים זוגיים , כלומר : אינו מספר רציונאלי - המשך הוכחה:
8.
אבל זה סותראת ההנחה המקורית שלנו שאומרת שלא ניתן לצמצם את m ו - n . כל מה שנותר לנו לעשות עכשיו הוא לשים לב שאם גם m וגם n הם מספרים זוגיים , הרי שמראש ניתן היה לצמצם אותם בשתיים : מש " ל אינו מספר רציונאלי - המשך הוכחה: לסיכום , אם מניחים ש - הוא רציונאלי , מגיעים בהכרח לסתירה לכן לא ייתכן ש - רציונאלי .
9.
ראינו , אם כן , שכדי לבטא את אורך היתר במשולש ישר זווית , אנו זקוקים לעוד מספרים מלבד המספרים הרציונאליים . המספרים הממשיים הם אוסף כל המספרים ( הרציונאליים והאי - רציונאליים ) שבעזרתם ניתן לבטא כל אורך קטע . ניתן לראות שקבוצת המספרים הממשיים מכילה את קבוצת המספרים הרציונאליים ומרחיבה אותם : המספרים הממשיים ממלאים את כל ציר המספרים : כעת , משנמצאים בידינו כל המספרים הממשיים , נוכל לפתור את המשוואה הבאה בקלות : ואולם , כיצד נוכל לפתור משוואה מהצורה הבאה עם מספרים ממשיים בלבד ? המספרים ממשיים (R) Q R N Z 1 2 0 -1 -2
10.
הבה נדמיין שישנומספר דמיוני ( imaginary ) שכאשר מכפילים אותו בעצמו מקבלים (1- ( ונסמן אותו באות i אז נוכל לפתור את המשוואה : ניתן לראות שקבוצת המספרים המרוכבים מכילה את קבוצת המספרים הממשיים ומרחיבה אותם : את המרוכבים כבר לא ניתן לשים על ציר המספרים וכדי לתאר אותם אנו זקוקים ל מישור המספרים המרוכבים אשר מורכב מהציר ה ממשי והציר ה מדומה . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה a+b i כך ש - a ו - b הם מספרים ממשיים . בציור : הנקודה מסומנת על המישור המרוכב . המספרים המרוכבים (C) 2 1 -1 -2 i -i Q R N Z C
11.
ראינו שבעזרת המספריםהמרוכבים ניתן לפתור את המשוואה ( וגם למשל את המשוואה כדאי לנסות !). אך מה לגבי משוואה יותר מסובכת , נאמר האם ניאלץ להמציא עוד מספרים מסוג חדש ?! ובכן , מסתבר שכבר בסוף המאה ה -18 הוכיחו מתמטיקאים שהמספרים המרוכבים מספיקים לפתרון כל המשוואות מסוג זה . ליתר דיוק , הם הוכיחו שלכל פולינום ( סכום של חזקות של x עם מקדמים מרוכבים ) יש פיתרון מרוכב . למשפט הזה קוראים : המשפט היסודי של האלגברה תכונה זו של המספרים המרוכבים הופכת אותם לשימושיים בענפים רבים של מתמטיקה פיסיקה והנדסה . סוף דבר
12.
סוף לסרטונים ומצגותנוספים בנוסאים מדעיים הענסו לאתר צמ " ד אונליין – מאגר מדע http://www.weizmann.ac.il/zemed/net_activities.php
13.
אם m2 הוא מספר זוגי אז גם m הוא מספר זוגי – הוכחה : נניח בשלילה ש - m הוא מספר אי - זוגי , אז ניתן להציג את m כך : m=2k+1 ( k מספר שלם ) ולכן נקבל : (2k+1) 2 = (2k+1)(2k+1)=4k 2 +4k+1=4(k 2 +k)+1 = m 2 אבל זהו סכום של מספר זוגי ( כפולה של 4) ואחד , לכן זהו מספר אי - זוגי . לסיכום , קיבלנו שאם מניחים ש - m אי - זוגי מתחייב שגם m 2 הוא מספר אי - זוגי . זה עומד בסתירה להנחה שלנו , לפיה m 2 הוא מספר זוגי , לכן m חייב להיות זוגי . מש " ל זוגי m זוגי m 2 חזרה למצגת
