1. ‫שאלון 608 שאלה 2, בגרות חורף תשע"ג‬
‫א. )1(. קל מאוד לראות שהצד השמאלי גדול מהצד הימני כמעט תמיד. נניח 3 = ‪ ,n‬אז‬
‫הביטוי יקבל את הצורה:‬
‫2)3 + 2 + 1( < 23 + 22 + 21‬
‫אך אם 1 = ‪ n‬אז שני הצדדים שווים כי:‬
‫2)1( = 21‬
‫ולכן התשובה היא:‬
‫2)‪12 + 22 + 32 + ... + n2 ≤ (1 + 2 + 3 + ... + n‬‬ ‫)1(‬
‫)2(. נבדוק את נכונות הטענה עבור 1 = ‪:n‬‬
‫2)1( ≤ 21‬
‫1 = 1 ולכן הטענה נכונה עבור 1 = ‪.n‬‬
‫נניח את נכונות הטענה עבור ‪ n = k‬כאשר ‪ k‬הוא מספר טבעי מסויים:‬
‫2)‪12 + 22 + 32 + ... + k 2 ≤ (1 + 2 + 3 + ... + k‬‬
‫נשים לב שהביטוי בצד הימני של אי השיוויון )ללא החזקה הריבועית( הוא סכום של סדרה‬
‫חשבונית בעלת ‪ k‬איברים שבה הפרש הסדרה הוא 1+ ולכן ניתן להגיד שמתקיים:‬ ‫סכום של סדרה חשבנית:‬
‫‪.[2a1 + (n − 1)d] n‬‬
‫2‬
‫2) ‪12 + 22 + 32 + ... + k 2 ≤ ( (1+k)k‬‬
‫2‬
‫לאחר העלאה בריבוע נקבל:‬
‫2‬ ‫2‬
‫‪(1+k) ·k‬‬
‫≤ 2 ‪12 + 22 + 32 + ... + k‬‬ ‫4‬
‫נבדוק עבור 1 + ‪:n = k‬‬
‫2))1 + ‪12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1)2 ≤ (1 + 2 + 3 + ... + k + (k‬‬ ‫)2(‬
‫בצד השמאלי קיבלנו:‬
‫2)1 + ‪L; 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k‬‬
‫לפי הנחת האינדוקציה נציב במקום החלק 2 ‪ 12 + 22 + 32 + ... + k‬ביטוי השווה או גדול‬
‫ולכן נקבל:‬
‫2‪(1+k)2 ·k‬‬
‫;‪L‬‬ ‫4‬ ‫2)1 + ‪+ (k‬‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

2. ‫שאלון 608 שאלה 2, בגרות חורף תשע"ג‬
‫לאחר שנפשט את הביטוי נקבל:‬
‫2‪k‬‬
‫+ 1( · 2)1 + ‪L; (k‬‬ ‫) 4‬
‫הצד הימני של משוואה )2(:‬
‫2))1 + ‪R; (1 + 2 + 3 + ... + k + (k‬‬
‫הביטוי בסוגריים הוא סדרה חשבונית שבה ההפרש הוא 1 ולכן לפי סכום סדרה חשבונית‬
‫נוכל להגיד:‬
‫2 1+‪k‬‬
‫· ]1 · )1 − 1 + ‪R; ([2 · 1 + (k‬‬ ‫) 2‬
‫ולאחר סידור הביטוי נקבל:‬
‫2) )1+‪R; ( (k+2)(k‬‬
‫2‬
‫ולכן את משוואה )2( ניתן לרשום כך:‬
‫2‪k‬‬ ‫2 )1 + ‪(k + 2)(k‬‬
‫+ 1( · 2)1 + ‪(k‬‬ ‫(≤)‬ ‫)‬ ‫)3(‬
‫4‬ ‫2‬
‫נפתור את הא"ש:‬
‫2‪k‬‬
‫+ 1(4‬ ‫) 4‬ ‫2)2 + ‪≤ (k‬‬
‫4 + ‪4 + k 2 ≤ k 2 + 4k‬‬
‫‪0 < 4k‬‬
‫קיבלנו פסוק אמת. הוכחנו שהטענה נכונה עבור 1 = ‪ ,n‬הנחנו שהטענה נכונה עבור ‪n = k‬‬
‫)‪ k‬מספר טבעי( והוכחנו את נכונות הטענה עבור 1 + ‪ n = k‬ולכן לפי אקסיומת‬
‫האינדוקציה הטענה נכונה עבור כל ‪ n‬טבעי.‬
‫ב. נתונה סדרה חשבונית:‬
‫)6 + ‪58, 62, 66, ..., (4n‬‬
‫קל לראות שהפרש הסדרה הוא 4 = ‪ d‬האיבר הראשון הוא 85 = 1‪ a‬והאיבר האחרון הוא‬
‫6 + ‪ .an = 4n‬נתון שהסדרה מתחילה מהאיבר ה ־ 31, ז"א שכאשר 31 = ‪ n‬ישנו איבר‬
‫יחיד, כאשר 41 = ‪ n‬ישנם שני איברים, כאשר 51 = ‪ n‬ישנם שלושה איברים וכאשר ‪n = n‬‬
‫ישנם 21 − ‪ n‬איברים, לכן:‬
‫21−‪Sn−12 = [2 · 58 + (n − 12 − 1) · 4] n‬‬
‫2‬
‫)21 − ‪S = [116 + 4n − 52] n−12 = [32 + 2n](n‬‬
‫2‬
‫2‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬