1. ‫על־יסודיים‬ ‫ספר‬ ‫לבתי‬ ‫בגרות‬ .‫א‬ :‫הבחינה‬ ‫סוג‬ ‫ישראל‬ ‫מדינת‬
‫אקסטרניים‬ ‫לנבחנים‬ ‫בגרות‬ .‫ב‬ ‫החינוך‬ ‫משרד‬
2013 ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ :‫הבחינה‬ ‫מועד‬
314 ,035804 :‫השאלון‬ ‫מספר‬
‫הבגרות‬ ‫בחינת‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫הצעת‬
‫ה‬‫ק‬‫י‬‫ט‬‫מ‬‫ת‬‫מ‬
‫ראשון‬ ‫שאלון‬ — ‫לימוד‬ ‫יחידות‬ 4
‫לנבחן‬ ‫הוראות‬
.‫וחצי‬ ‫שעות‬ ‫שלוש‬ :‫הבחינה‬ ‫משך‬ .‫א‬
.‫פרקים‬ ‫שלושה‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ :‫ההערכה‬ ‫ומפתח‬ ‫השאלון‬ ‫מבנה‬ .‫ב‬
,‫אנליטית‬ ‫גאומטריה‬ ,‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫הסתברות‬
‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫במישור‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 100 — ‫סה"כ‬
:‫בשימוש‬ ‫מותר‬ ‫עזר‬ ‫חומר‬ .‫ג‬
.‫לתכנות‬ ‫הניתן‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫גרפי‬ ‫לא‬ ‫מחשבון‬ )1(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫או‬ ‫גרפי‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
.)‫(מצורפים‬ ‫נוסחאות‬ ‫דפי‬ )2(
:‫מיוחדות‬ ‫הוראות‬ .‫ד‬
.‫בלבד‬ ‫מספרה‬ ‫את‬ ‫סמן‬ ;‫השאלה‬ ‫את‬ ‫תעתיק‬ ‫אל‬ )1(
‫כאשר‬ ‫גם‬ ,‫הפתרון‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫במחברת‬ ‫רשום‬ .‫חדש‬ ‫בעמוד‬ ‫שאלה‬ ‫כל‬ ‫התחל‬ )2(
.‫מחשבון‬ ‫בעזרת‬ ‫מתבצעים‬ ‫החישובים‬
.‫ומסודרת‬ ‫ברורה‬ ‫ובצורה‬ ‫בפירוט‬ ,‫חישובים‬ ‫כולל‬ ,‫פעולותיך‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הסבר‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
.‫מהמשגיחים‬ ‫שקיבלת‬ ‫בדפים‬ ‫או‬ ‫הבחינה‬ ‫במחברת‬ ‫להשתמש‬ ‫יש‬ ‫לטיוטה‬ )3(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫אחרת‬ ‫בטיוטה‬ ‫שימוש‬
.‫כאחד‬ ‫ולנבחנים‬ ‫לנבחנות‬ ‫ומכוונות‬ ‫זכר‬ ‫בלשון‬ ‫מנוסחות‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ ‫ההנחיות‬
! ‫ה‬ ‫ח‬ ‫ל‬ ‫צ‬ ‫ה‬ ‫ב‬
/‫לדף‬ ‫מעבר‬ ‫/המשך‬

2. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 2 -
1 ‫שאלה‬
.A ‫ליישוב‬ B ‫מיישוב‬ ‫רגל‬ ‫הולך‬ ‫יצא‬ ‫שעה‬ ‫באותה‬ ‫ובדיוק‬ , B ‫ליישוב‬ A ‫מיישוב‬ ‫יצא‬ ‫אופניים‬ ‫רוכב‬
.‫האופניים‬ ‫רוכב‬ ‫של‬ ‫מהמהירות‬ ‫קמ"ש‬ 10 ‫ב־‬ ‫שקטנה‬ ‫קבועה‬ ‫במהירות‬ ‫הלך‬ ‫הרגל‬ ‫הולך‬
.‫ק"מ‬ 12 ‫היה‬ ‫הרגל‬ ‫להולך‬ ‫האופניים‬ ‫רוכב‬ ‫בין‬ ‫המרחק‬ ‫דקות‬ 24 ‫כעבור‬
.‫נפגשו‬ ‫הם‬ ‫נוספות‬ ‫דקות‬ 36 ‫כעבור‬
.‫האופניים‬ ‫רוכב‬ ‫של‬ ‫המהירות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.‫הרגל‬ ‫והולך‬ ‫האופניים‬ ‫רוכב‬ ‫נפגשו‬ A ‫מיישוב‬ ‫מרחק‬ ‫באיזה‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
1 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬)‫(קמ"ש‬ ‫מהירות‬)‫(שעות‬ ‫זמן‬)‫(ק"מ‬ ‫דרך‬
‫הפגישה‬ ‫לפני‬ ‫דקות‬ 36
‫האופניים‬ ‫רוכב‬
x
60
36
x60
36
‫הפגישה‬ ‫לפני‬ ‫דקות‬ 36
‫הרגל‬ ‫הולך‬
x 10-
60
36
( )x60
36
10-
( )x x60
36
60
36
10 12+ - =
0
x 15=
.‫ב‬:‫הוא‬ ‫הפגישה‬ ‫עד‬ ‫הזמן‬24 + 36 = ‫דקות‬ 60
‫שעבר‬ ‫המרחק‬ ‫לכן‬
:‫הוא‬ ‫הפגישה‬ ‫עד‬ ‫האופניים‬ ‫רוכב‬15 1: = ‫ק"מ‬ 15
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

3. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 3 -
2 ‫שאלה‬
. y 7= ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצא‬ M ‫שמרכזו‬ ,‫מעגל‬ ‫נתון‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ( , )A 6 3 ‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬ y x2
1
= ‫הישר‬
. M ‫המרכז‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
. C ‫ו־‬ B ‫בנקודות‬ y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬ .‫ב‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ B ‫נקודה‬ ‫מעל‬ ‫נמצאת‬ C ‫נקודה‬
. A ‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫לישר‬ ‫מקביל‬ BM ‫הישר‬ ‫כי‬ ‫הראה‬ )1(
. BMA ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
2 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬, 2
1
‫ששיפועו‬ ‫למשיק‬ ‫מאונך‬ MA )1(
2- :‫הוא‬ MA ‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫לכן‬
:‫היא‬ MA ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נקודה‬( , )A 6 3
:‫היא‬ MA ‫שמשוואת‬ ‫מכאן‬.I y x2 15=- +
:‫הוא‬ M ‫של‬ y ‫ה־‬ ‫ששיעור‬ ‫נתון‬.II 7
‫שיעור‬ ‫כי‬ ‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬
:‫הוא‬ M ‫של‬ x ‫ה־‬x 4=
0
( , )M 4 7
)2(( , ) ( , )M A4 7 6 3
0
( ) ( )MA 6 4 7 3 202 2 2= - + - = :‫רדיוס‬
:‫מכאן‬( ) ( )x y4 7 202 2- + - =
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
y
x
A
M
C
B

4. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 4 -
.2 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
.‫ב‬:‫הוא‬ B ‫של‬ x ‫ה־‬ ‫שיעור‬ )1(x 0=
‫במשוואת‬ x 0= ‫מהצבת‬
:‫מקבלים‬ ‫המעגל‬y = 5 , y = 9
‫לכן‬ , B ‫מעל‬ C ‫כי‬ ‫נתון‬
:‫הוא‬ B ‫של‬ y ‫ה־‬ ‫שיעור‬y = 5
‫פי‬ ‫על‬ BM ‫של‬ ‫השיפוע‬
:‫הוא‬ B(0,5) ‫ו־‬ M(4,7) ‫הנקודות‬ ‫שתי‬2
1
.‫למשיק‬ ‫מקביל‬ BM ‫לכן‬ ,‫המשיק‬ ‫של‬ ‫לשיפוע‬ ‫שווה‬ BM ‫של‬ ‫שיפוע‬
) 2- ‫הוא‬ MA ‫ושיפוע‬ 2
1
‫הוא‬ BM ‫(שיפוע‬ BMA 90oB = )2(
0
S BM MA2
1
BMA :=T
S 2
1
20 20 10BMA : := =T
/5 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

5. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 5 -
3 ‫שאלה‬
.‫לבנים‬ ‫כדורים‬ 3 ‫ו־‬ ‫שחורים‬ ‫כדורים‬ 2 ‫יש‬ A ‫בקופסה‬ .‫ולבנים‬ ‫שחורים‬ ‫כדורים‬ ‫יש‬ C ‫ו־‬ B , A ‫קופסאות‬ ‫בשלוש‬
.‫לבן‬ ‫כדור‬ 1 ‫ו־‬ ‫שחורים‬ ‫כדורים‬ 4 ‫יש‬ C ‫בקופסה‬ .‫לבנים‬ ‫כדורים‬ 2 ‫ו־‬ ‫שחורים‬ ‫כדורים‬ 3 ‫יש‬ B ‫בקופסה‬
.‫אחד‬ ‫כדור‬ ‫באקראי‬ ‫ממנה‬ ‫ומוציאים‬ ,‫קופסה‬ ‫באקראי‬ ‫בוחרים‬ .‫א‬
?‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫להוציא‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬ )1(
.‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫שהוצא‬ ‫ידוע‬ )2(
? B ‫מקופסה‬ ‫הוצא‬ ‫שהכדור‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬
.‫החזרה‬ ‫בלי‬ ‫זה‬ ‫אחר‬ ‫זה‬ ‫כדורים‬ 2 ‫באקראי‬ ‫מוציאים‬ C ‫מקופסה‬ .‫ב‬
?‫לבן‬ ‫כדור‬ C ‫בקופסה‬ ‫נותר‬ ‫לא‬ ‫הכדורים‬ ‫הוצאת‬ ‫שאחרי‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬
3 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬A ‫בקופסה‬ ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬ )1(
:‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫ממנה‬ ‫ולהוציא‬3
1
5
3
:
B ‫בקופסה‬ ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬
:‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫ממנה‬ ‫ולהוציא‬3
1
5
2
:
C ‫בקופסה‬ ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬
:‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫ממנה‬ ‫ולהוציא‬3
1
5
1
:
‫להוציא‬ ‫שההסתברות‬ ‫מכאן‬
:‫היא‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬P f‫כדור‬
‫לבן‬
p
3
1
5
3
3
1
5
2
3
1
5
1
5
2
: : := + + =
)2(
P f‫קופסה‬
B /‫כדור‬
‫לבן‬
p =
P)B ‫קופסה‬+‫לבן‬ ‫(כדור‬
P f‫כדור‬
‫לבן‬ p 5
2
3
1
5
2
3
1:
= =
.‫ב‬.‫שחור‬ ‫וכדור‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬ C ‫מקופסה‬ ‫שהוצא‬ ‫פירושו‬ "‫לבן‬ ‫כדור‬ C ‫בקופסה‬ ‫נותר‬ ‫"לא‬
5
1
4
4
5
4
4
1
5
2
: :+ = :‫היא‬ ‫החזרה‬ ‫בלי‬ ‫שחור‬ ‫וכדור‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬ C ‫מקופסה‬ ‫להוציא‬ ‫ההסתברות‬ ‫לכן‬
/6 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

6. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 6 -
4 ‫שאלה‬
. O ‫שמרכזו‬ ‫למעגל‬ B ‫בנקודה‬ ‫המשיק‬ ‫ישר‬ ‫יוצא‬ A ‫מנקודה‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ D ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬ AO ‫הקטע‬
. BOD ABD2$B B= ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. C ‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫ישר‬ ‫עוד‬ ‫יוצא‬ A ‫מנקודה‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ E ‫בנקודה‬ AC ‫את‬ ‫חותך‬ BD ‫המיתר‬ ‫המשך‬
. BE AC= ‫כי‬ ‫נתון‬
. 2BOD DAE:B B= ‫כי‬ ‫הוכח‬ )1( .‫ב‬
. BD = AD ‫כי‬ ‫הוכח‬ )2(
4 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬BD ‫הקשת‬ ‫על‬ ‫הנשענת‬ ‫היקפית‬ ‫זווית‬ a= :‫נסמן‬
‫ההיקפית‬ ‫לזווית‬ ‫שווה‬ ‫למיתר‬ ‫משיק‬ ‫בין‬ ‫הזווית‬ ABDB a=
.‫השני‬ ‫דו‬ ִ‫מצ‬ ‫זה‬ ‫מיתר‬ ‫על‬ ‫הנשענת‬
‫המרכזית‬ ‫הזווית‬ ‫למחצית‬ ‫שווה‬ ‫היקפית‬ ‫זווית‬ BOD 2B a=
.‫קשת‬ ‫אותה‬ ‫על‬ ‫הנשענת‬
BOD ABD2 $B B= :‫מכאן‬
.‫ב‬:‫נתון‬ )1(‫למעגל‬ ‫משיק‬ AC , AEB 90oB =
:‫צ"ל‬BOD DAE2B B=
:‫הוכחה‬
:‫א‬‫סעיף‬‫לפי‬,BOD ABD2B Ba a= =
OB OD=‫רדיוסים‬
0
B ODBO DB B=
0
ODB 90oB a= -180o ‫הוא‬ ‫במשולש‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬
ODB ADE 90oB B a= = -‫קדקודיות‬ ‫זוויות‬
0
DAEB a=180o ‫הוא‬ ‫במשולש‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬
0
2BOD DAE:B B=
/7 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A
B
O
D
E
C

7. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 7 -
.‫ב‬ ‫סעיף‬ 4 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
)2(BAD DAEB B a= =
0
BAD ABDB B=
‫שממנה‬ ‫נקודה‬ ‫עם‬ ‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫את‬ ‫המחבר‬ ,‫הקטע‬
‫שבין‬ ‫הזווית‬ ‫את‬ ‫חוצה‬ ,‫למעגל‬ ‫משיקים‬ ‫שני‬ ‫יוצאים‬
‫המשיקים‬
0
BD AD=‫שוות‬ ‫צלעות‬ — ‫שוות‬ ‫זוויות‬ ‫מול‬
/8 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

8. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 8 -
5 ‫שאלה‬
.‫ס"מ‬ a ‫צלעו‬ ‫שאורך‬ ABCD ‫ריבוע‬ ‫נתון‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ DC ‫הצלע‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ E ‫נקודה‬
. EACB a= , DE = ‫ס"מ‬ 2 :‫נתון‬
. a ‫באמצעות‬ a ‫את‬ ‫הבע‬ .‫א‬
. ACE ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ , 30oa = ‫כי‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ .‫ב‬
. DE EC= = ‫ס"מ‬ 2 ‫שבו‬ ‫במקרה‬ a ‫את‬ ‫חשב‬ .‫ג‬
5 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬DAC 45oB =‫הזוויות‬ ‫את‬ ‫חוצים‬ ‫האלכסונים‬ ‫בריבוע‬
0
DAE 45oB a= -
( )tg a45
2o a- =
0
( )
a
tg 45
2
o a
=
-
.‫ב‬
( )
.a
tg 45 30
2
7 46o o=
-
=
: I ‫דרך‬.CA a a 10 562 2= + =
.EC a 2 5 46= - =
sinS EC CA2
1
45ACE
o: :=T
0
S ACE =T ‫סמ"ר‬ 20.37
: II ‫דרך‬
S S S a a2
1
2
1
2AEC ACD AED
2$ $ $= - = =-3 3 3 ‫סמ"ר‬ 20.37
.‫ג‬DE = EC = 2
0
a = 4
tg DAE 4
2
B =
.DAE 26 56oB =
0
. .45 26 56 18 43o o oa = - =
/9 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
a
ED C
BA
a
a
2

9. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 9 -
6 ‫שאלה‬
AB = ‫ס"מ‬ 5 :‫נתון‬ ABC ‫במשולש‬
AC = ‫ס"מ‬ 8
BC = ‫ס"מ‬ 10
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ BD = DC ‫ש־‬ ‫כך‬ AC ‫הצלע‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ D ‫נקודה‬
. BDC ‫המשולש‬ ‫זוויות‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫א‬
. BDC ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫לרדיוס‬ ABD ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
6 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫נתון‬BD = DC
:‫מתקיים‬ ABC ‫במשולש‬5 8 10 2 8 10cos C2 2 2 : : B= + -
0
.C 29 69oB =
‫שוות‬ ‫זוויות‬ — ‫שוות‬ ‫צלעות‬ ‫מול‬ .DBC C 29 69oB B= =
. .BDC 180 2 29 69 120 62o o o#B = - =
.‫ב‬: ABDT ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬.
( . )sin
I R
2 180 120 62
5
o o1=
-
: BDCT ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬.
.sin
II R
2 120 62
10
o2 :
=
:‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬
R
R
10
5
2
1
2
1
= =
/10 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A
D
CB

10. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 10 -
7 ‫שאלה‬
. ( )
4
f x
x
x
2
2=
-
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
.‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.)‫כאלה‬ ‫יש‬ ‫(אם‬ ‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ ,‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫המוחלט‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ג‬
.‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ )1( .‫ד‬
.‫בדיוק‬ ‫נקודות‬ ‫בשתי‬ ‫הפונקציה‬ ‫לגרף‬ ‫המשיק‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫ומצא‬ ,‫שסרטטת‬ ‫בגרף‬ ‫היעזר‬ )2(
7 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫ההגדרה‬ ‫תחום‬,x x4 0 02 !$-
0
x 2#- ‫או‬ x 2$
.‫ב‬0x% !y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫אין‬
0y% =2 0x x 42%!= - =
.‫ג‬
( )x 0! ( )'f x
x x
x x
x x
x
4
8
4
8
4 2
3
3 2
2
=
-
-
=
-
-
( )'f x x0 8+ != =
13822-8-13-x
13
3
4
4
10
3
0
4
4
1
13
3
3
( )f x
:‫מוחלט‬ ‫מקסימום‬( , ) , ( , )8 4
1
8 4
1
-
:‫מוחלט‬ ‫מינימום‬( , ) , ( , )2 0 2 0-
.‫ד‬)1(
y
x
y 4
1
= )2(
/11 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

11. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 11 -
8 ‫שאלה‬
( )f x x x4 62= + + :‫פרבולות‬ ‫שתי‬ ‫מוצגות‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬
( )g x x c2= - +
.‫פרמטר‬ ‫הוא‬ c
. A ‫בנקודה‬ ‫לזו‬ ‫זו‬ ‫משיקות‬ ‫הפרבולות‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫הפרבולות‬ ‫לשתי‬ ‫המשותף‬ ‫משיק‬ ‫העבירו‬ A ‫נקודה‬ ‫דרך‬
t ‫באמצעות‬ ‫והבע‬ , A ‫נקודה‬ ‫של‬ x ‫ה־‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ t ‫ב־‬ ‫סמן‬ )1( .‫א‬
.‫המשותף‬ ‫המשיק‬ ‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫את‬
.‫אופנים‬ ‫בשני‬ ‫הבע‬
. A ‫נקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
. c ‫הפרמטר‬ ‫ערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )3(
‫הפרבולות‬ ‫שתי‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ,‫השטח‬ ‫את‬ ‫מחלק‬ ‫המשותף‬ ‫המשיק‬ .‫ב‬
.)‫בציור‬ ‫המקווקו‬ ‫והשטח‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬ ‫שטחים‬ ‫לשני‬ , y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
.‫לזה‬ ‫זה‬ ‫שווים‬ ‫השטחים‬ ‫שני‬ ‫כי‬ ‫והראה‬ ,‫שמצאת‬ c ‫הפרמטר‬ ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫הצב‬
8 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬( ) 2'g x x=- )1(( ) 2 4'f x x= +
00
( ) 2'g t t=-( ) 2 4'f t t= +
)2(( ) ( )' 'f t g t=
0
t 1=-
0
( )f 1 3- =
0
( , )A 1 3-
)3(( ) ( )f g1 1- = -
0
c3 1=- +
0
c 4=
/12 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
y
x
A

12. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 12 -
.8 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
.‫ב‬:‫המשיק‬ ‫שיפוע‬. ( 1) 2'I f - =
:‫ההשקה‬ ‫נקודת‬. ( , )II A 1 3-
:‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬y x2 5= +
‫האפור‬ ‫השטח‬ [ ( ) ] ( )f x dx x x dxy 2 12
1
0
1
0
= - = + +
--
##
‫המקווקו‬ ‫השטח‬ [ ( )] ( )g x dx x x dxy 2 12
1
0
1
0
= - = + +
--
##
:‫לכן‬ ,‫שווים‬ ‫האינטגרלים‬ ‫שני‬‫האפור‬ ‫השטח‬ = ‫המקווקו‬ ‫השטח‬
/13 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

13. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 13 -
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
9 ‫שאלה‬
.‫מינימלי‬ ‫שהיקפו‬ ‫המלבן‬ ‫צלעות‬ ‫את‬ k ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ ,‫סמ"ר‬ k ‫ששטחם‬ ‫המלבנים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬ .‫א‬
. k ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ס"מ‬ 8 ‫הוא‬ ,‫מינימלי‬ ‫שהיקפו‬ ‫המלבן‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
9 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫המלבן‬ ‫ממדי‬ ‫את‬ ‫נסמן‬y ‫ו־‬ x
:‫המלבן‬ ‫שטח‬k y x:=
:‫המלבן‬ ‫היקף‬p x y2 2= +
x01 , ( )p x x x
k
2
2
= +
0
( )x 2= -'p
x
k2
2
( ) xx 0 &= ='p k k 02( )
y
k
k
k= =
. k ‫צלע‬ ‫אורך‬ ‫בעל‬ ‫ריבוע‬ ‫הוא‬ ‫מינימלי‬ ‫שהיקפו‬ ‫המלבן‬ ‫לכן‬
:‫מינימום‬ ‫בדיקת‬k2kk2
1x
1.506-'p
34p
.‫ב‬,‫הריבוע‬ ‫אלכסון‬ ‫הוא‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬
:‫לכן‬( ) ( )k k82 2 2= +
0
k = ‫ס"מ‬ 32