El camp gravitatori Física 2n de Batxillerat

1. FÍSICA 2
BATXILLERAT
UNITAT 2
EL CAMP GRAVITATORI

2. 1. El concepte de camp
Camp és una regió de l’espai en què s’aprecia l’efecte d’una pertorbació,
provocada per un cos que té una propietat que el fa interaccionar amb altres
cossos que també tenen aquesta propietat. Perquè es produeixi la interacció
entre el cos que crea el camp i els altres, no cal que es posin en contacte
físic; la pertorbació del medi fa que la interacció es transmeti a distància.

3. 2. El camp gravitatori creat per masses puntuals
Magnituds que descriuen el camp
gravitatori
Magnituds que descriuen la interacció
gravitatòria
Intensitat de camp
(funció vectorial del punt) 𝑔 =
𝐹𝑔
𝑚
= −
𝐺 ∙ 𝑀
𝑟2
𝑢 𝑟
Força gravitatòria 𝐹𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑔 = −
𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑚
𝑟2
𝑢 𝑟
Potencial
(funció escalar de punt) 𝑉 =
𝐸 𝑝
𝑚
= −
𝐺 ∙ 𝑀
𝑟
Energia potencial 𝐸 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑉 = −
𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑚
𝑟
Treball de les forces
conservatives
Diferència de potencial Treball gravitatori
𝑊𝑖→𝑓 = −
𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑚
𝑟𝑓
−
𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑚
𝑟𝑖
𝑉 =
𝐺∙𝑀
𝑟 𝑖
−
𝐺∙𝑀
𝑟 𝑓
𝑊𝑖→𝑓 =−∆𝑉 ∙ 𝑚

4. 3. La representació del camp gravitatori
Representació del camp gravitatori
Línies de camp Superficies equipotencials
Definici
ó
Les línies de camp són línies tangents al
vector intensitat de camp en cada punt.
Les superfícies equipotencials són
regions de l’espai en què el potencial
gravitatori té el mateix valor.
RepresntacióPropietats
LES LINIES DE CAMP NO ES
PODEN ENTRECREUAR
LES SUPERFICIES EQUI-
POTENCIALS NO ES PODEN
TALLAR
En conseqüència, el treball necessari per desplaçar una massa d’un punt d’una
superfície equipotencial a un altre és nul

5. 4. El camp creat per una distribució contínua de massa
Flux de camp
gravitatori
S’anomena flux, f, el nombre de
línies de camp que travessen una
superfície.
 = 𝒈 ∙ 𝑺
 = 𝒈 ∙ 𝑺 ∙ 𝐜𝐨𝐬 q
El teorema de
Gauss
El teorema de Gauss diu que en una
superficie tancada situada a l’interior
d’un camp depèn de la massa
tancada per la superfície esmentada.
 = −4𝜋𝐺 ∙ 𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
Camp
gravitatori
creat per una
esfera buida
(r<R)
 = 0
𝑔 = 0
(r=R)
 = −4𝜋𝐺 ∙
𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑔 =
𝐺 ∙ 𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑅2
∙ 𝑢 𝑟
(r>R)
 = −4𝜋𝐺 ∙
𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑔 =
𝐺 ∙ 𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑟2
∙ 𝑢 𝑟
Camp
gravitatori
creat per una
esfera
massissa
(r<R)
 = −4𝜋𝐺 ∙ 𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑔 =
𝐺 ∙ 𝜌 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
3
∙ 𝑢 𝑟
(r=R)
 = −4𝜋𝐺 ∙
𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑔 =
𝐺 ∙ 𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑅2
∙ 𝑢 𝑟
(r>R)
 = −4𝜋𝐺 ∙
𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑔 =
𝐺 ∙ 𝑀𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑟2
∙ 𝑢 𝑟
Variació del
camp
gravitatori
terrestre
g varia amb l’altitud
𝑔0 = −
𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
𝑅 𝑇
2 𝑢 𝑟
𝑔 = −
𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
(𝑅 𝑇+ℎ)2
𝑢 𝑟
g varia amb la latitud
𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = −(𝑔 − 2
∙ 𝑅 𝑇 ∙ cos2
) ∙ 𝑢 𝑟

6. 5. El moviment dels planetes i satèl·lits
5.1 Satèlits que orbiten la Terra
Càlcul de la velocitat orbital Càlcul del periode de revolució
𝐹𝐺 = 𝐹𝐶 → 𝐺 ∙
𝑀 𝑇 ∙ 𝑚 𝑠
𝑟2
=
𝑚 𝑠 ∙ 𝑣2
𝑟
𝑣 =
𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
𝑟
=
𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
(𝑅 𝑇 + ℎ)
(𝑣 =  ∙ 𝑟 ;  =
2∙𝜋
𝑇
)
𝑇 =
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 + ℎ 3
𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
S’anomena satèl·lit geostacionari, o geosíncron,
el satèl·lit que orbita al voltant de la Terra
mantenint-se sempre sobre un mateix punt.

7. 5. El moviment dels planetes i satèl·lits
5.2 L’energia dels satèl·lits
𝑬 𝑴 = 𝑬 𝑪 + 𝑬 𝑷 → 𝑬 𝑴 = −
𝟏
𝟐
𝑮 ∙ 𝑴 ∙ 𝒎
𝒓
Velocitat de llançament
Càlcul d’energia per passar
d’una òbita a altra
Velocitat d’escapament
Ppi cons. Energia
𝐹𝐺 = 𝐹𝐶
𝑣𝑙𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 = 2𝐺 ∙ 𝑀
1
𝑅 𝑇
−
1
2𝑟
Ppi cons. Energia
𝐹𝐺 = 𝐹𝐶
∆𝐸 =
1
2
𝐺 ∙ M ∙ 𝑚
1
𝑟2
−
1
𝑟3
Ppi cons. Energia
𝐸 𝑀 = 0
𝑣 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 =
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
𝑅 𝑇 + ℎ

8. 5. El moviment dels planetes i satèl·lits
5.2 L’energia dels satèl·lits (Resum dels satèl·lits. Orbitació i escapament)
Orbitació Escapament
𝐹𝐺 = 𝐹𝐶 ; 𝑬 𝑴 = 𝑬 𝑪 + 𝑬 𝑷 = −
𝟏
𝟐
𝑮∙𝑴∙𝒎
𝒓
< 𝟎 𝑬 𝑴 = 𝑬 𝑪 + 𝑬 𝑷 = 𝟎
𝐺 ∙
𝑀 𝑇 ∙ 𝑚 𝑠
𝑟2
=
𝑚 𝑠 ∙ 𝑣2
𝑟
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗 𝟐
−
𝑮 ∙ 𝑴 ∙ 𝒎
𝒓
= 𝟎
𝑣 =
𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
𝑟
𝑣 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 =
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝑀 𝑇
𝑅 𝑇 + ℎ
𝑟 =
3 𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑇2
4𝜋2
↔ 𝑇 =
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 + ℎ 3
𝐺 ∙ 𝑀 𝑇

9. 5. El moviment dels planetes i satèl·lits
5.3 Energia dels satèl·lits i tipus d’òrbita
Primer cas. EM < 0. Si EM = EP, EC = 0. El satèl·lit ha arribat a l’altura
màxima i cau per efecte de l’atracció gravitatòria.
Segon cas. EM < 0. Si EC > 0. El satèl·lit descriu una òrbita tancada. Hi
pot haver dos tipus d’òrbites tancades: circular i el·líptica.
Òrbitacircular
El satèl·lit sempre es troba a la mateixa distància del
planeta al voltant del qual gira. Per això, la seva EC i la
seva EP sempre tenen un valor constant.
𝑬 𝑴 = −
𝟏
𝟐
𝑮 ∙ 𝑴 ∙ 𝒎
𝒓
La majoria dels satèl·lits artificials que orbiten la Terra
descriuen aquest tipus d’òrbites.
Òrbitael·líptica
Al llarg de l’òrbita, l’energia cinètica i la potencial
canvien, però l’energia total es manté constant. En el
periheli, la velocitat és més gran. Per això, EC és més
gran i EP és més petita.
Descriuen aquest tipus d’òrbites els planetes que giren
al voltant del Sol i alguns satèl·lits de comunicacions.

10. 5. El moviment dels planetes i satèl·lits
5.3 Energia dels satèl·lits i tipus d’òrbita
Tercer cas. EM ≥ 0. El satèl·lit descriu una òrbita oberta. Hi pot haver
dos tipus d’òrbites obertes: parabòlica i hiperbòlica.
Òrbitaparabòlica
EM=0
El satèl·lit té prou velocitat per escapar del camp
gravitatori.
En tot moment, EC = -EP.
Quan surten del camp gravitatori, EP = 0. Això indica
que EC = 0 i la velocitat v = 0.
Descriuen aquest tipus d’òrbites alguns cometes
que arriben al sistema solar amb una velocitat que
els permet escapar del seu camp gravitatori.
Òrbitahiperbòlica
EM>0
El satèl·lit escaparà del camp gravitatori i, quan en
surti, la seva velocitat serà més gran que zero.
En tot moment, EC > EP.
Descriuen aquest tipus d’òrbites alguns asteroides
que apareixen de manera momentània en el sistema
solar, però en surten ràpidament.