Models del moviment dels cossos celestes. Cinemàtica i dinàmica dels planetes. Llei de gravitació universal. Els cicles de les marees.

1. Física 2n de Batxillerat
Unitat 1
La interacció gravitatòria
Consuelo Batalla García
Institut Valldemossa
Barcelona

2. Índex
 El moviment dels cossos celestes: d’Aristòtil a Kepler
 La cinemàtica dels planetes: Les lleis de Kepler
 La dinàmica dels planetes: de Kepler a Newton
 La llei de la gravitació universal
 Interacció d’un conjunt de masses puntuals. Principi de superposició
 Els cicles de les marees
 Bibliografia
 Adreces web

3. El moviment dels cossos celestes:
d’Aristòtil a Kepler
 L'astronomia és la ciència que estudia i permet descriure els fenòmens que observem al
cel.
 Les primeres teories explicaven que la Terra era el centre de l’univers i que al seu voltant
giraven els astres que s’observava que es movien (teories geocèntriques). Aquestes
teories es van mantenir fins al segle XVI.
 A partir del segle XVI comencen a obrir- se pas
les teories heliocèntriques, Aquestes teories
consideren que el Sol és el centre de l’univers i
al seu voltant giren els altres astres.

4. L’astronomia antiga
 A l’antiguitat es coneixien set astres: el Sol, la Lluna, Mercuri, Venus, Mart, Júpiter i
Saturn. Els cinc últims presentaven un moviment irregular i la brillantor augmentava
quan eren més a prop. Mart semblava que invertia el moviment i retrocedia en el cel
(moviment retrògrad).
Moviment retrògrad de Mart

5.  Aristòtil (384-322 aC) pren la idea d’Èudox de Cnidos (408-355 aC):
“l’univers està constituït per 27 esferes concèntriques girant al
voltant de la Terra”. A la més exterior, esfera celeste, es trobaven els
estels en posicions fixes. L’esfera celeste feia una volta cada dia, girant
d’est a oest, al voltant d’un eix que passava pels pols Nord i Sud de la
Terra. Més enllà de l’esfera celeste va suposar que n’hi havia una altra,
en la qual hi havia el mòbil primari (primum mobile), que la feia
girar a un ritme regular.
 Aristòtil hi va afegir 29 esferes per tractar d’explicar el moviment
irregular dels planetes., però no va poder justificar que el Sol i els
planetes unes vegades apareixien més pròxims a la Terra que d’altres
(moviment retrògrad).
 Aristarc de Samos (310-230 aC) va suposar un sistema heliocèntric,
on la Terra, la Lluna i els altres cinc planetes giraven al voltant del Sol,
amb diferent velocitat i radi de l’òrbita. La Terra també girava al seu
propi voltant; tenia un moviment de rotació de periodicitat diària, i
un altre de translació de periodicitat anual. El conjunt estava situat
dins una esfera d’estels que no tenia cap mena de rotació.
 Aristarc pren les idees d’Heràclides del Pont (388-310 aC), “el Sol és
la font de l’escalfor i la vida, per tant, ha d’estar al centre de
l’univers”. Aquesta teoria va ser rebutjada ja que si fos certa, un
mateix estel es veuria en diferents posicions del fons celeste depenent
de la posició de la Terra en el seu gir al voltant del Sol (paral·laxi
estel·lar). Aristarc ho va justificar a partir de la gran distància entre
els estels i la Terra.
 El segle XIX, Friedrich Bessel (1784-1846) demostra l’existència del
fenomen de la paral·laxi dels estels i va determinar la distància de 61
Cygni i d’altres estrelles «pròximes» al sistema solar.

6. El model ptolemaic
 Claudi Ptolemeu (90-168 aprox.): el seu model geocèntric explica les distàncies
canviants entre els planetes i la Terra, mantenint la immobilitat d’aquesta: “els
planetes giren al voltant de la Terra descrivint petites òrbites circulars (epicicles) el
centre de les quals es desplaça descrivint una òrbita circular al voltant de la Terra
(deferent)”
 Els dos girs, el de l’epicicle i el de la deferent, podien tenir velocitats, direccions
i radis independents, cosa que explicava les irregularitats observades en el
moviment dels planetes i el moviment retrògrad.
 Ptolemeu va suposar que els planetes descrivien òrbites excèntriques (la Terra no
estava situada al centre de l’òrbita, sinó a una certa distància). Va establir un punt,
equant, que es troba en el diàmetre de l’òrbita, a la mateixa distància del centre
que la Terra.
 Va proposar que els planetes descrivien una òrbita circular, amb un moviment circular
uniforme respecte de l’equant, cosa que explicava el fet que el Sol semblés que es
movia més ràpidament a l’hivern que a l’estiu, tal com observem a l’hemisferi nord (el
període tardor-hivern dura sis dies menys que el període primavera-estiu).
 En realitat, això es deu al fet que l’òrbita no és exactament circular i la velocitat de la
Terra augmenta quan està més a prop del Sol (hivern a l’hemisferi nord) que quan
n’està més allunyada (estiu).

7. El model copernicà
 Nicolau Copèrnic (1473-1543) va plantejar un sistema heliocèntric, amb el Sol al centre de l’univers, els
planetes girant al seu voltant i la Lluna girant al voltant de la Terra.
 Suposava l’existència d’una esfera immòbil on es localitzaven els estels, que estaven fixos.
 Va explicar que el moviment aparent dels estels era conseqüència de la rotació de la Terra.
 Les trajectòries irregulars que seguien els planetes quan s’observaven des de la Terra (moviment retrògrad)
també eren conseqüència del moviment d’aquesta.
Model heliocèntric
de Copèrnic
Copèrnic va establir dades bastant precises dels
períodes orbitals dels planetes al voltant del Sol:
I. Esfera immòbil dels estels. V. Terra: període 1 any,
II. Saturn: període 30 anys. amb l’òrbita de la Lluna.
III. Júpiter: període 12 anys. VI. Venus: període 9 mesos.
IV. Mart: període 2 anys. VII. Mercuri: període 80 dies.

8. De Copèrnic a Galileu
 Tycho Brahe (1546-1601), emprant sextants i brúixoles, va obtenir
mesures molt precises de les posicions angulars dels planetes i els
estels.
 Galileu Galilei (1562-1642) va perfeccionar el telescopi, inventat
probablement pel holandès Hans Lippershey (1570-1619), que va
permetre corroborar l’exactitud del sistema de Copèrnic. Va observar
satèl·lits girant al voltant de Júpiter, taques al Sol, fases a Venus i
zones clares i fosques a la Lluna.
Galileu es va oposar a les òrbites el·líptiques que havia apuntat Kepler,
considerant que el cercle era la corba perfecta.
Model heliocèntric de Copèrnic

9. La cinemàtica dels planetes: les lleis de Kepler
Primera llei
1. Tots els planetes es mouen al voltant del Sol seguint òrbites
el·líptiques. El Sol està en un dels focus de l’el·lipse.
(Al dibuix, a i b són els semieixos de l’el·lipse.)
Segona llei
2. Els planetes es mouen amb velocitat areolar constant.
És a dir, el vector de posició de cada planeta respecte del Sol,r ,
escombra àrees iguals en temps iguals.
dA
= const.
dt
Tercera llei
3. Per a tots els planetes:
T2
= k (const.)
a3
on a és el semieix major de l’el·lipse
i T és el període de translació del planeta
(Nota: en la pràctica, a és la distància mitjana del planeta al Sol.)
Lleis de Kepler (1571-1630):

10. Distàncies astronòmiques:
 Unitat astronòmica (UA): distància mitjana (semieix major de l’el·lipse) entre la Terra i
el Sol:
1 UA = 149.600.000.000 m
 Any llum: distància que recorre la llum en un any:
1 any llum = 9,46 ⋅ 1015 m = 63.241 UA
 Parsec (pc): distància a la qual 1 UA subtendeix
un angle d’1 segon d’arc
Un estel es troba a una distància d’1 pc si la seva
paral·laxi és 1 segon d’arc.

11. La dinàmica dels planetes: de Kepler a Newton
Kepler va descriure el moviment dels planetes en termes físics, però va ser Newton el que va explicar per què
tenen aquest moviment. Partint de les lleis de Kepler, Newton va enunciar la llei de gravitació universal, amb la
qual explica que la força d’atracció del Sol als planetes varia inversament amb el quadrat de la distància, és la
responsable del seu moviment i és una acció a distància.
Com qualsevol cos que gira, el moviment d’un planeta està causat per una força centrípeta:
Fc = m · v2/ r = m · (2π /T)2 · r
Tenint en compte la tercera llei de Kepler: T2 = k · r3, fent la substitució a l’equació anterior, obtenim:
Fc = m · (2π /T)2 · r = m · (4π2 / k · r3) · r = m · (4π2 / k · r2)
És a dir, la força centrípeta que explica el moviment dels planetes varia inversament amb el quadrat de la distància
i és proporcional a la massa del planeta, m.
Com que el Sol havia de ser el causant de la força que movia els planetes, Newton va establir que 4π2 / k havia de
ser proporcional a la massa del Sol, M: 4π2 / k = G · M.
Fent la substitució corresponent, obtenim:
• M: massa del Sol. • r: distància del Sol al planeta.
• m: massa del planeta. • G: constant de gravitació universal.

12. La llei de la gravitació universal
La força gravitatòria també es posa de manifest entre dos cossos
qualssevol. Sobre aquesta base, Newton va enunciar la llei de la
gravitació uni-versal:
Dos cossos qualssevol s’atrauen l’un a l’altre amb una força de mòdul
directament proporcional al producte de les seves masses i inversament
proporcional al quadrat de la distància que els separa; la seva direcció és la
de la línia que uneix els dos cossos, i el sentit és de l’un a l’altre.
Expressió vectorial de la llei de gravitació universal:
on és un vector unitari en la direcció de la línia que uneix les masses M
i m.

13. Determinació de la constant de gravitació universal
El valor de la constant universal, G, va ser determinat l’any 1785 per Henry Cavendish (1731-
1810) en mesurar l’atracció entre dues masses conegudes, utilitzant la balança de torsió:
Esquema de balança de torsió moderna
El valor que s’admet actualment és: G = 6,6742 · 10-11 N m2 kg-2

14. La força pes
El pes és la força amb què la Terra atrau els cossos.
Quan es deixa anar lliurement un cos, cau cap a la Terra amb una acceleració de 9,81 m s-2
(anomenada acceleració de la gravetat).
Quan un cos se situa a les proximitats d’un altre planeta o de la Lluna, o lluny de la superfície
terrestre, el seu pes canvia i quan es deixi anar lliurement cau amb una acceleració diferent de 9,81
m s-2 .
El pes és una força dirigida cap al centre de la Terra

15. De què depèn l’acceleració de la gravetat?
Quan un cos està sobre la superfície del planeta:
i
Comparant les dues fórmules anteriors, obtenim:
Per tant, l’acceleració de la gravetat g en un planeta depèn de la massa i del radi d’aquest.

16. Interacció d’un conjunt de masses puntuals.
Principi de superposició
Principi de superposició: Si en una determinada regió de l’espai hi tenim una sèrie de
masses puntuals m1, m2, m3, etc., l’atracció que totes exerceixen sobre una altra massa m que
es trobi a la mateixa regió ve donada per la suma vectorial de l’atracció que cadascuna de les
masses m1, m2, m3, etc., exercirien sobre aquesta massa si només fossin presents les dues en
aquell espai:

17. Els cicles de les marees
Marees: moviment de pujada i baixada del nivell de l’aigua del mar que es produeix de manera cíclica
dues vegades al dia.
Newton va determinar que les marees eren el resultat de l’atracció gravitatòria que la Lluna i el Sol
exerceixen sobre la Terra (l’aigua pot rebre una atracció diferent segons la proximitat a la Lluna.
Tots els punts de la Terra estan sotmesos a una força d’inèrcia, igual en tots els punts, deguda al seu
moviment de rotació. El resultat d’aquestes dues forces és la força de la marea. La Terra fa una volta
completa al voltant d’ella mateixa cada 24 hores, cada dia tenim dues marees altes i dues marees baixes.
• Durant el seu moviment de translació, de vegades la Terra se situa de manera que el Sol està en línia amb
ella i amb la Lluna; l’efecte d’atracció gravitatòria del Sol se suma al de la Lluna i tenim unes marees de
flux i de reflux més pronunciades del que és normal (marees vives).
• Quan el Sol es col·loca de manera que la línia Sol-Terra és perpendicular a la línia Terra-Lluna , l’efecte
atractiu del Sol compensa el de la Lluna i gairebé no hi ha variació en el nivell de les aigües durant les
marees de flux i de reflux; aleshores es diu que es produeixen marees mortes.

18. Bibliografia
Batalla García, C.; Vidal Fernández, M.C. (2008). Física 2. Barcelona: Grup Promotor Santillana

19. Adreces web
1. PRODUCTE VECTORIAL 4. GRAVITACIÓ
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/ http://grupoorion.unex.es/web/
producto_vectorial/producto_vectorial.htm 2%BA%20bach%20f%EDsica%20tema2.htm
Simulació interessant sobre el producte vectorial Accés a diverses pàgines interactives relacionades vectorial.
2. MODELS D’UNIVERS 5. MOVIMENT PLANETARI
http://www.astro.utoronto.ca/~zhu/ast210/geocentric.html http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/
En aquesta pàgina podem entendre més bé les more_stuff/flashlets/kepler6.htm
característiques del model geocèntric. En aquesta simulació es mostra el moviment d’un astre
al voltant del Sol. Es tria la distància al Sol i la velocitat,
3. LLEIS DE KEPLER i es dibuixa la trajectòria corresponent
http://www.sociedadelainformacion.com/ http://csep10.phys.utk.edu/guidry/java/kepler/
departfqtobarra/gravitacion/kepler/1kepler/Kepler1.html kepler.html
http://www.sociedadelainformacion.com/ Altra simulació interessant per comprendre com varia la
departfqtobarra/gravitacion/kepler/2kepler/ velocitat d’un planeta al llarg del recorregut que fa al voltant
KeplersLawssegunda.html del Sol en funció de l’excentricitat de l’òrbita.
http://www.sociedadelainformacion.com/ http://physics.syr.edu/courses/java/mc_html/
departfqtobarra/gravitacion/kepler/3kepler/ kepler_frame.html
Keplers3Law.html Aquesta simulació mostra els vectors velocitat i acceleració
Són tres simulacions senzilles que il•lustren les lleis durant el recorregut del planeta.
de Kepler.