This document discusses differential equations. It defines an ordinary differential equation as one where the unknown function depends on one variable, and a partial differential equation as one where the unknown function depends on more than one variable. It provides examples of both ordinary and partial differential equations. It then works through solutions for two example ordinary differential equations.

1. Ecuaciones Diferenciales
William Sampedro

2. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o
diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la
función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama
una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida
depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación
diferencial parcial.
 Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥

3. La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y
Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:
𝑑2𝑉
𝑑𝑥2
+ 2
𝑑2𝑉
𝑑𝑦2
= 𝑉
La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
La variable dependiente (v. d) es V

4. 𝑦′
+ 6𝑦 = 𝑒4𝑡
ℒ 𝑦′ + 6𝑦 = ℒ 𝑒4𝑡
ℒ 𝑒𝑎𝑡 =
1
𝔰−𝑎
ℒ 𝑦′} + 6ℒ{𝑦 =
1
𝔰 − 4
𝔰𝑌 − 𝑦 0 + 6𝑌 =
1
𝔰 − 4
ℒ 𝑓′
𝑡 = 𝔰𝐹 𝔰 − 𝑓(0)
𝑌 𝑠 + 6 =
1
𝑠 − 4
+
𝑦(0
2
𝑌 =
2(𝑠 − 4)) + 1
(𝑠 − 4)(𝑠 + 6)
Ejercicio 1:

5. 𝑌 𝑠 =
2𝑠 − 7
(𝑠 − 4)(𝑠 + 6)
𝑌 𝑠 =
𝐴
𝑠 − 4
+
𝐵
𝑠 + 6
𝑌 𝑠 =
𝐴 𝑠 + 6 + 𝐵(𝑠 − 4)
(𝑠 − 4)(𝑠 + 6)
2𝑠 − 7 = 𝐴𝑠 + 6𝐴 + 𝐵𝑠 − 4𝐵
2𝑠 − 7 = 𝑠 𝐴 + 𝐵 + 6𝐴 − 4𝐵

6. 𝐴 + 𝐵 = 2
6𝐴 − 4𝐵 = −7
𝐴 = 2 − 𝐵
6 2 − 𝐵 − 4𝐵 = −7
12 − 6𝐵 − 4𝐵 = −7
−10𝐵 = −19
𝐵 =
19
10
𝐴 = 2 −
19
10
𝐴 =
1
10

7. 𝑌 𝑠 =
𝐴
𝑠 − 4
+
𝐵
𝑠 + 6
𝑌 𝑠 =
1
10
𝑠 − 4
+
19
10
𝑠 + 6
ℒ−1 𝑌 𝑠 = ℒ−1
𝐴
𝑠 − 4
+ ℒ−1
𝐵
𝑠 + 6
𝑦 𝑡 =
1
10
(𝑒4𝑡+𝑒−6𝑡)
𝑦 𝑡 =
1
10
𝑒4𝑡
+
19
10
𝑒−6𝑡

8. Ejercicio 2: 𝒕𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒕𝒚 = 𝟎
𝓛 𝒕𝒚′′ + 𝟐𝓛 𝒚′ + 𝓛 𝒕𝒚 = 𝓛 𝟎
−
𝒅
𝒅𝒔
𝒔𝟐𝒚 𝒔 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚′ 𝟎 + 𝟐 𝒔𝒚 𝒔 − 𝒚 𝟎 −
𝒅
𝒅𝒔
𝒚 𝒔 = 𝟎
−
𝒅
𝒅𝒔
𝒔𝟐𝒚 𝒔 − 𝒔 − 𝑨 + 𝟐 𝒔𝒚 𝒔 − 𝟏 −
𝒅
𝒅𝒔
𝒚 𝒔 = 𝟎
− 𝟐𝒔𝒚 𝒔 + 𝒔𝟐
𝒚′ 𝒔
− 𝟏 + 𝟐𝒔𝒚 𝒔 − 𝟐 − 𝒚′ 𝒔 =0

9. −𝟐𝒔𝒚 𝒔 − 𝒔𝟐𝒚′ 𝒔 + 𝟏 + 𝟐𝟓𝒚 𝒔 − 𝟐 − 𝒚′ 𝒔 = 𝟎
−𝟏 − 𝒔𝟐𝒚′ 𝒔 − 𝒚′ 𝒔 = 𝟎
−𝒚′ 𝒔 𝟏+𝒔𝟐
= 𝟏
−
𝒅𝒚
𝒅𝒔
=
𝟏
𝟏 + 𝒔𝟐
⇒ −𝒅𝒚 =
𝒅𝒔
𝟏 + 𝒔𝟐
⇒ 𝒚 𝒔 = −𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒔 + 𝑪
𝒍𝒊𝒎
𝒔→∞
𝒚 𝒔 = 𝟎 ⇒ 𝒍𝒊𝒎
𝒔→∞
−𝒕𝒂𝒏−𝟏
𝒔 + 𝑪 = 𝟎 ⇒ 𝑪 =
𝝅
𝟐

10. 𝓛−𝟏 𝒚 𝒔 = 𝓛−𝟏 −𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +
𝝅
𝟐
𝒚 𝒕 =
𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒕
+
𝝅
𝟐