1. Dzielenie wielomianów
pisemnie
Damian Michalski
Klasa IIg
Rok szkolny 2011/2012

2. Czym jest dzielenie dwóch liczb?
Podzielid pewną liczbę x przez liczbę y≠0 oznacza
sprawdzid, ile razy liczba y mieści się w liczbie x oraz ile
zostanie jeśli wszystkie możliwe y odejmiemy.
Przyjmijmy x=10 oraz y=3
10=3*3+1
W powyższym rachunku, 3 jest ilorazem, a 1 resztą z
dzielenia.
Ważne jest, że reszta jest zawsze mniejsza od liczby, przez
którą dzielimy (gdyby reszta była większa od y to by
znaczyło, że w danej liczbie mieści się jeszcze jedna
y, czyli dzielnie nie zostało wykonane należycie).

3. Dzielenie wielomianów ma dużo wspólnego z pospolitym dzieleniem pisemnym dwóch liczb
całkowitych. Warto przypomnied sobie jak to się robiło:
W tym przykładzie podzielona zostanie liczba 213 przez 4:
(1) Nad dzieleniem zapisujemy kreskę wynikową;
to nad nią zapisywany jest wynik .
(3) Wynik dzielenia
zapisywany jest nad kreską
5 . wynikową i następnie
213 : 4 mnożony przez dzielnik.
- 20
=1 (2) Wybierany jest od lewej kawałek
liczby, w którym dzielnik mieści się
przynajmniej raz (w tym przypadku jest
to 21) i dzieli się tę liczbę przez dzielnik.
Wykonywane jest działanie: 21/4
(4) Wynik tego mnożenia zapisywany
jest pod dzieloną liczbą i odejmowany (5) Znak „=‘’
od aktualnie badanego składnika. zapisywany
Wykonywane jest pisemnie działanie: jest, gdy cyfry
21 – (5*4) = 1. Wynik tego działania skracają się
zapisywany jest poniżej. pisemnie.

4. (6) Dopisywana jest kolejna
cyfra z góry, która nie była
jeszcze używana. Dzieli się
53 . następnie otrzymaną w ten
213 : 4 sposób liczbę przez dzielnik, a
- 20 wynik tego dzielenia zapisuje
=13 się nad kreską wynikową i
- 12 mnoży przez dzielnik.
=1
(7) Wynik tego mnożenia zapisywany jest pod dzieloną liczbą i odejmowany od
aktualnie badanego składnika. Wykonywane jest pisemnie działanie:
13 – (3*4) = 1. Wynik tego działania zapisywany jest poniżej.

5. (9) Liczba nad kreską wynikową jest ogólnym wynikiem dzielenia (i w tym przypadku wynosi 53).
53
213 : 4 (8) Wynik odejmowania, czyli w
- 20 tym przypadku liczba 1, nie
=13 dzieli się już więcej przez
dzielnik (nie ma już liczb, które
- 12
można by było dopisad z góry).
=1 Liczba ta jest zatem resztą.
Dzielenie zakooczone!
(10) Aby sprawdzid czy dzielenie jest prawidłowe, można otrzymany wynik pomnożyd
przez dzielnik i dodad otrzymaną resztę:
Spr.: 53*4+1=212+1=213
Można więc zapisad dzieloną liczbę w postaci:
213=53*4+1

6. Czym jest dzielenie wielomianów?
Poprzez dzielenie wielomianów rozumiemy sprawdzenie, ile
razy wielomian P(x) mieści się w wielomianie W(x). Jest
to więc analogia do pospolitego dzielenia dwóch liczb.
W poprzednim przykładzie podzielone zostały…dwa
jednomiany! Wynika to z faktu, że jednomiany W(x)=213
i P(x)=4 są stopnia zerowego. Niech teraz podzielony
zostanie Wielomian W(x)=x4-5x2-2x+10 przez wielomian
P(x)=x2-x+2.
Uwaga! Ważne jest, że reszta jest zawsze mniejszego
stopnia od stopnia wielomianu, przez który dzieli się go
(gdyby reszta była większego stopnia od dzielnika to by
znaczyło, że dzielenie nie zostało wykonane poprawnie).

7. W(x)=x4-5x2-2x+10 / P(x)=x2-x+2
x2
(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)
(1) By podzielid wielomian W(x) przez wielomian
P(x), dzieli się czynnik znajdujący się przy
najwyższej potędze wielomianu W(x) przez czynnik
znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu
P(x), a wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską
wynikową.
Dzielenie x4 przez x2, daje wynik x2. Wynik ten
zapisywany jest nad kreską wynikową.

8. W(x)=x4-5x2-2x+10 / P(x)=x2-x+2
x2 .
(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)
+ -x4+x3-2x2 (2) Wynik dzielenia wielomianu W(x) przez
A(x) x3-7x2-2x+10 wielomian P(x) (x2) mnoży się przez każdy z
czynników wielomianu P(x) odejmuje się
od wielomianu W(x), czego wynikiem jest
wielomian A(x). Wykonywane jest więc
pisemnie działanie: W(x)-[x2(x2-x+2)]=A(x)

9. W(x)=x4-5x2-2x+10 / P(x)=x2-x+2
x2+x
(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)
+ -x4+x3-2x2
A(x) x3-7x2-2x+10 (3) Jak widad, czynnik x4 skrócił się. Te czynniki, które
nie skróciły się, zostają dodane i następnie przepisane
pod kreskę odejmowania. Czynności opisane wcześniej
powtarzają się po raz kolejny: czynnik znajdujący się
przy najwyższej potędze otrzymanego wielomianu A(x)
(x3) i dzieli się przez czynnik znajdujący się przy
najwyższej potędze wielomianu P(x), (x2), czego
wynikiem jest x. Wynik ten dodaje się do wyniku
znajdującego się nad kreską wynikową.

10. W(x)=x4-5x2-2x+10 / P(x)=x2-x+2
x2+x .
(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)
-x4+x3-2x2 (4) Wynik dzielenia wielomianu A(x) przez
A(x) x3-7x2-2x+10 wielomian P(x) (x) mnoży się przez każdy z
+ -x3+x2-2x czynników wielomianu P(x) i odejmuje się
B(x) -6x2-4x+10 od wielomianu A(x), czego wynikiem jest
wielomian B(x). Wykonywane jest więc
pisemnie działanie: A(x)-[x(x2-x+2)]=B(x).

11. W(x)=x4-5x2-2x+10 / P(x)=x2-x+2
x2+x-6
(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)
-x4+x3-2x2
A(x) x3-7x2-2x+10 (5) Jak widad, czynnik x3 skrócił się. Te czynniki, które
-x3+x2-2x nie skróciły się, zostają dodane i następnie przepisane
B(x) -6x2-4x+10 pod kreskę odejmowania. Czynności opisane wcześniej
powtarzają się po raz kolejny: czynnik znajdujący się
przy najwyższej potędze otrzymanego wielomianu B(x)
(-6x2) dzieli się przez czynnik znajdujący się przy
najwyższej potędze wielomianu P(x) (x2), czego
wynikiem jest -6. Wynik ten dodaje się do wyniku
znajdującego się nad kreską wynikową.

12. W(x)=x4-5x2-2x+10 / P(x)=x2-x+2
x2+x-6 .
(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)
-x4+x3-2x2 (6) Wynik dzielenia wielomianu B(x) przez
A(x) x3-7x2-2x+10 wielomian P(x) (-6) mnoży się przez każdy z
-x3+x2-2x czynników wielomianu P(x) i odejmuje się
B(x) -6x2-4x+10 od wielomianu B(x), czego wynikiem jest
+ 6x2-6x+12 wielomian C(x). Wykonywane jest więc
C(x) -10x+22 pisemnie działanie: B(x)-[-6(x2-x+2)]=C(x).

13. W(x)=x4-5x2-2x+10 / P(x)=x2-x+2
(8) Otrzymany nad kreską wynikową
wielomian jest wynikiem dzielenia
wielomianu W(x) przez wielomian P(x)
x2+x-6 i wynosi x2+x-6.
(x4-5x2-2x+10) : (x2-x+2)
-x4+x3-2x2
A(x) x3-7x2-2x+10 (7) Otrzymany w ten sposób wielomian
-x3+x2-2x C(x) jest niższego stopnia niż wielomian
B(x) -6x2-4x+10 P(x). W takim przypadku nie dzieli się on
6x2-6x+12 przez wielomian P(x). Dzielenie kooczy się,
C(x) -10x+22 a wielomian C(x) staje się resztą.
(9) By sprawdzid, czy dzielenie zostało wykonane prawidłowo, należy wynik pomnożyd przez
dzielnik (wielomian P(x)) i dodad do całości resztę:
(x2+x-6)(x2-x+2)-10x+22=x4-x3+2x2+x3-x2+2x-6x2+6x-12-10x+22=x4-5x2-2x+10
Dzielenie wykonane zostało więc poprawnie.
Można więc zapisad wielomian W(x) w postaci:
(x4-4x2-2x+10)=(x2-x+2)(x2+x-6)-10x+22

14. Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 / P1(x)=x4-3x2+2
W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 5 4
/ P2(x)= 2x +x -1
W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)
x5 x2
(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)
(1) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu
W(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej
potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad
kreską wynikową.

15. Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 / P1(x)=x4-3x2+2
W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 5 4
/ P2(x)= 2x +x -1
W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)
x5 x2
(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)
+ -x9+3x7-2x5 + -2x7-x6+x2
A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4
(2) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników
wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem
jest wielomian A(x).

16. Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 / P1(x)=x4-3x2+2
W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 5 4
/ P2(x)= 2x +x -1
W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)
x5-3x4 x2-2x
(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)
-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2
A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4
(3) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu
A(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej
potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad
kreską wynikową.

17. Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 / P1(x)=x4-3x2+2
W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 5 4
/ P2(x)= 2x +x -1
W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)
x5-3x4 x2-2x
(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)
-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2
A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4
+ 3x8-9x6+6x4 + 4x6+2x5-2x
B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4
(4) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników
wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem
jest wielomian B(x).

18. Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 / P1(x)=x4-3x2+2
W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 5 4
/ P2(x)= 2x +x -1
W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)
x5-3x4+1 x2-2x+1
(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)
-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2
A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4
3x8-9x6+6x4 4x6+2x5-2x
B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4
(5) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu
B(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej
potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad
kreską wynikową.

19. Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 / P1(x)=x4-3x2+2
W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 5 4
/ P2(x)= 2x +x -1
W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)
x5-3x4+1 x2-2x+1
(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)
-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2
A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4
3x8-9x6+6x4 4x6+2x5-2x
B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4
+ -x4+3x2-2 + -2x5-x4+1
C(x) x3+2x2+3x+1 3x4+5
(6) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników
wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem
jest wielomian C(x).

20. Inne przykłady: W1(x)=x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 / P1(x)=x4-3x2+2
W2(x)=2x7-3x6+4x4-x2+2x+4 5 4
/ P2(x)= 2x +x -1
W1(x)/P1(x) W2(x)/P2(x)
x5-3x4+1 x2-2x+1
(x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3):(x4-3x2+2) (2x7-3x6+4x4-x2+2x+4):(2x5+x4-1)
-x9+3x7-2x5 -2x7-x6+x2
A(x) -3x8+9x6-5x4+x3-x2+3x+3 -4x6+4x4+2x+4
3x8-9x6+6x4 4x6+2x5-2x
B(x) x4+x3-x2+3x+3 2x5+4x4+4
-x4+3x2-2 -2x5-x4+1
C(x) x3+2x2+3x+1 3x4+5
(7) Otrzymane wielomiany C(x) są stopni mniejszych niż stopieo
dzielnika, więc dzielenie zostaje przerwane; wielomiany C(x), który
w ten sposób powstały, określamy jako reszty z dzielenia
wielomianu W(x) przez wielomian P(x).
(8) Wielomian znajdujący się nad kreską wynikową określany jest
jako wynik z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x).
(9) Aby sprawdzid poprawnośd dzieleo, można wykonad działania:
(x5-3x4+1)(x4-3x2+2)+x3+2x2+3x+1= (x2-2x+1)(2x5+x4-1)+3x4+5=
x9-3x7+2x5-3x8+9x6-6x4+x4-3x2+2+x3+2x2+3x+1= 2x7+x6-x2-4x6-2x5+2x+2x5+x4-1+3x4+5=
x9-3x8-3x7+9x6+2x5-5x4+x3-x2+3x+3 2x7-3x6+4x4-x2+2x+4

21. Dziękuję za uwagę!