Một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
HÀ NỘI - 2015

2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học
Th.S. NGUYỄN THỊ TRÀ
HÀ NỘI - 2015

3. Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thạc sĩ NGUYỄN THỊ
TRÀ, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những
kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài khóa luận này. Cô cũng là
người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong
suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa
Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trực
tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản
thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh
viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

4. Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóa
luận này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân
dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là
cô NGUYỄN THỊ TRÀ.

5. Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Nội dung chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị 4
1.1 Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal . . 5
1.2 Định lý Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal) 8
1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon 8
Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý
Brianchon 11
2.1 Ứng dụng của định lý Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc
biệt đối với những môn khoa học khác. Đồng thời, hình học còn giúp
chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo
một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Những bài toán về đường tròn được sử dụng phương pháp chứng
minh bằng Pascal và Brianchon trong hình học sơ cấp đều là những
bài toán rất hay.
Vì vậy trong đề tài này tôi cũng cố gắng đưa vào chứng minh sơ
cấp của hai định lý. Đồng thời nêu lên cách giải của một lớp các bài
toán đẹp ứng dụng chúng.
2. Mục đích - Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng dụng,
...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quan
đến Định lý Pascal - Định lý Brianchon.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 1

7. MỤC LỤC
4. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên quan.
- Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 2

8. Nội dung chính
1. Tên đề tài
Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 2 chương:
• Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị.
- Định lý Pascal.
- Định lý Brianchon.
• Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý
Brianchon.
- Ứng dụng của định lý Pascal.
- Ứng dụng của định lý Brianchon.
3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình
học xạ ảnh.
• Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết
một số vấn đề.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 3

9. Chương 1
Lý thuyết chuẩn bị
1.1 Định lý Pascal
Xét trong mặt phẳng, ta có định lý sau:
1.1.1 Định lý Pascal
Định lý 1.1.1. Trong một lục giác nội tiếp, giao điểm của các cặp
cạnh đối diện (nếu có) nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh
Giả sử A, B, C, D, E, F là một lục giác nội tiếp trong một đường
tròn. Các cặp cạnh đối diện AB và DE; BC và EF; CD và FA cắt
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 4

10. CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
nhau theo thứ thự α, β, γ.
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác PQR tạo bởi ba cạnh
không kề nhau của một lục giác với các cát tuyến CβB, DEα, γFA
(ba cạnh còn lại) ta lần lượt có:
CQ
CR
.
βR
βP
.
BP
BQ
= 1,
DQ
DR
.
ER
EP
.
αP
αQ
= 1,
và:
γQ
γR
.
FR
FP
.
AP
AQ
= 1.
Nhân từng vế ba đẳng thức sau này với nhau và để ý rằng:
AP.BP = FP.EP (phương tích của điểm P đối với vòng tròn
ngoại tiếp),
AQ.BQ = CQ.DQ (phương tích của điểm Q đối với vòng tròn
ngoại tiếp),
CR.DR = ER.FR (phương tích của điểm R đối với vòng tròn
ngoại tiếp),
ta được:
βR
βP
.
αR
αQ
.
γR
γR
= 1
Hệ thức này chứng tỏ rằng α, β, γ là ba điểm thẳng hàng nằm
trên ba cạnh của tam giác RQP (đpcm).
Chú ý. Định lý áp dụng cho mọi lục giác nội tiếp không cần giả
thiết là lục giác lồi.
1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal
• Ngũ giác nội tiếp đường tròn:
Giả sử ABCDEF là một lục giác nội tiếp. Ta hãy hình dung một
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 5

11. CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
đỉnh nào đó, F chẳng hạn, chạy trên vòng tròn đến trùng với một
đỉnh khác, thí dụ là điểm A. Lúc đó lục giác trở thành một ngũ
giác (nội tiếp) và cạnh FA trở thành tiếp tuyến ở A với vòng tròn
ngoại tiếp và ta có định lý sau:
Định lý 1.1.2. Trong một ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh không
kề nhau nào đó cắt nhau (nếu có) tại hai điểm thẳng hàng với giao
điểm của cạnh thứ năm với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện.
Tương tự như trên, ta có thể áp dụng định lý Pascal vào các tứ
giác, tam giác nội tiếp bằng cách xem những hình đó như những
lục giác có hai hay ba cặp đỉnh trùng nhau và thay cạnh nối hai
đỉnh trùng nhau bằng tiếp tuyến tại điểm trùng với hai đỉnh đó.
Bằng cách đó, ta có thể phát biểu định lý như sau:
• Tứ giác nội tiếp đường tròn:
Định lý 1.1.3. Trong một tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện
và hai cặp tiếp tuyến ở các cặp đỉnh đối diện giao nhau (nếu có)
theo bốn điểm thẳng hàng.
• Tam giác nội tiếp đường tròn:
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 6

12. CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
Định lý 1.1.4. Ba cạnh của một tam giác cắt ba tiếp tuyến với
đường tròn ngoại tiếp tại đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳng
hàng.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 7

13. CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
Định lý Brianchon
1.2 Định lý Brianchon
1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal)
Định lý 1.2.1. Các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của một lục
giác ngoại tiếp với một vòng tròn đồng quy tại một điểm.
1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon
Cũng như đổi với định lý Pascal ta có thể áp dụng định lý Bri-
anchon vào các ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp bằng cách coi
những hình này như những lục giác ngoại tiếp đặc biệt có một, hai
hoặc ba cặp cạnh trùng nhau. Thí dụ ta hãy hình dung tiếp điểm A1
chạy trên vòng tròn đến trùng với điểm B1 để cạnh FA đến trùng với
cạnh AB. Lúc đó ta có một ngũ giác ABCDE ngoại tiếp có tính chất
sau:
• Ngũ giác ngoại tiếp đường tròn:
Hai đường nối hai cặp đỉnh không kề nhau nào đó cắt nhau tại
một điểm thẳng hàng với đỉnh thứ năm và tiếp điểm của cạnh đối
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 8

14. CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
diện với đỉnh này.
Theo đó ta có thể phát hiện thêm những tính chất mới của tứ giác,
tam giác ngoại tiếp như sau:
• Tứ giác ngoại tiếp đường tròn:
Nếu một hình tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì các đường nối
các đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên các cạnh đối
diện đồng quy.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 9

15. CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
• Tam giác ngoại tiếp đường tròn:
Nếu một hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn thì ba đường
nối mỗi đỉnh với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đường
đồng quy.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 10

16. Chương 2
Một số ứng dụng của định lý
Pascal và định lý Brianchon
2.1 Ứng dụng của định lý Pascal.
Bài tập 2.1.1. Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O). Gọi
A’, B’, C’ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB
không chứa A, B, C của (O). Các cạnh BC, CA, AB cắt các cặp đoạn
thẳng C’A’ và A’B’, A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặp
điểm M và N; P và Q; R và S.
Chứng minh rằng: MQ, NR, PS đồng quy.
Bài giải
• Vì A0
, B0
, C0
lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, AC,
AB nên AA0
, BB0
, CC0
theo thứ tự là các đường phân giác của
góc
BAC,
ABC,
ACB. Suy ra I = AA0
∩BB0
∩CC0
(do ba đường
phân giác đồng quy).
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 11

17. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, C0
, A0
, B0
, B, A ta có:
CC0
∩ B0
B = I;
C0
A0
∩ BA = S;
A0
B0
∩ AC = P.
Vậy S, I, P thẳng hàng (1).
• Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A0
, B0
, C0
, C, B ta có:
AA0
∩ C0
C = I;
A0
B0
∩ CB = N;
B0
C0
∩ AB = R.
Vậy N, I, R thẳng hàng (2).
• Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm B, B0
, C0
, A0
, A, C ta có:
BB0
∩ A0
A = I;
B0
C0
∩ AC = Q;
C0
A0
∩ CB = M.
Vậy M, I, Q thẳng hàng (3).
Từ (1) (2) (3) suy ra MQ, NR, PS đồng quy tại I (đpcm).
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 12

18. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Bài tập 2.1.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi
M là điểm nào đó trên cạnh AC (M 6= A, C). Đường thẳng BM cắt
đường tròn lần nữa tại N. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và
đường thẳng quan N vuông góc với NC cắt nhau tại điểm Q.
Chứng minh rằng QM luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển
trên cạnh AC.
Bài giải
Kẻ các đường kính BD và CE.
• Ta có:



AB⊥AD (giả thiết)
AQ⊥AB (giả thiết)
Suy ra ba điểm A, D, Q thẳng hàng (*)
• Vì



CN⊥NE (do ∆ nội tiếp đường tròn có một cạnh là bán kính)
NQ⊥CN (giả thiết)
Suy ra ba điểm E, N, Q thẳng hàng (**)
Từ (*) và (**) ⇒ AD ∩ EN = Q.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, E, N, B, D, A ta có:
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 13

19. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
CE ∩ BD = O;
EN ∩ DA = Q;
NB ∩ AC = M.
Suy ra ba điểm O, M, Q thẳng hàng.
Vậy QM luôn đi qua một điểm cố định là O (đpcm).
Bài tập 2.1.3. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và 3 điểm
M, N, P cùng thuộc đường thẳng (d). AM, BM, CM cắt lại (O) tương
ứng ở A1, B1, C1; A1N, B1N, C1N cắt lại (O) tương ứng ở A2, B2, C2;
A1N, B1N, C1N cắt lại (O) tương ứng ở A3, B3, C3.
Chứng minh rằng: AA3, BB3, CC3, (d) đồng quy.
Bài giải
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 14

20. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Gọi:



S = AA3 ∩ BB3
V = B1A3 ∩ B3A1
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1, A2, A3, B1, B2, B3 ta có:
A2A3 ∩ B2B3 = P;
B1A3 ∩ B3A1 = V ;
A2A1 ∩ B2B1 = N.
Suy ra ba điểm N, P, V thẳng hàng.
Hay V nằm trên (d) (1).
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1, A3, B, B1, B3 ta có:
AA3 ∩ BB3 = S;
B3A1 ∩ B1A3 = V ;
AA1 ∩ BB1 = M.
Suy ra ba điểm M, S, V thẳng hàng.
Hay S nằm trên (d) (2).
+ Gọi



S0
= BB3 ∩ CC3
Q = C1A3 ∩ C3A1
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1, A2, A3, C1, C2, C3 ta có:
C1A3 ∩ C3A1 = Q;
C1C2 ∩ A1A2 = N;
A2A3 ∩ C2C3 = P.
Suy ra ba điểm Q, N, P thẳng hàng.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1, A3, C, C1, C3 ta có:
CC1 ∩ AA1 = M;
C1A3 ∩ C3A1 = Q;
CC3 ∩ AA3 = S0
.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 15

21. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Suy ra ba điểm M, Q, S0
thẳng hàng S0
∈ (d) (3).
Từ (2) và (3) suy ra S ≡ S0
(đpcm).
Bài tập 2.1.4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp
(I). Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) và tiếp xúc với hai cạnh AB,
AC lần lượt tại S, M, N.
Chứng minh rằng I ∈ MN.
Bài giải
Để chứng minh bài toán trên, trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
"Cho đường tròn (O) với dây cung AB. Một đường tròn (I)tiếp xúc
trong với (O) và tiếp xúc với AB lần lượt tại M, N. Khi đó MN đi
qua điểm chính giữa cung AB không chứa M của (O)".
Gọi P = MN ∩ (O).
• Xét ∆MNI:
IMN =
INM (∆MNI cân).
• Xét ∆MPO:
OMP =
OPM (∆MPO cân).
Suy ra
MNI =
MPO.
Do hai góc ở vị trí đồng vị. Suy ra OP//IN mà IN⊥AB nên
OP⊥AB (đpcm).
Trở lại bài toán ban đầu:
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 16

22. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Ta có: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC nên CI là tia phân
giác
ACB, CI ∩ (O) = F. Suy ra F là trung điểm dây cung AB nên
C, I, F thẳng hàng.
Áp dụng bổ đề trên ta cũng có S, M, F thẳng hàng suy ra SM, CI
và (O) đồng quy tại điểm F.
+ Tương tự ta có: BI là tia phân giác
ABC, E = BI ∩ (O) nên
E là trung điểm dây cung AC. Suy ra 3 điểm B, I, E thẳng hàng.
Áp dụng bổ đề trên ta cũng có S, N, E thẳng hàng nên SN, BI, (O)
đồng quy tại điểm E.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm F, C, A, B, E, S ta có:
FC ∩ BE = I;
CA ∩ ES = N;
AB ∩ SF = M.
Vậy ba điểm M, I, N thẳng hàng hay MN luôn đi qua một điểm
cố định là I.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 17
Tải bản FULL (file word 41 trang): bit.ly/2Ywib4t
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

23. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Bài tập 2.1.5. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O). Tiếp tuyến
của (O) tại A cắt CD ở S. BS cắt lại đường tròn ở T.
Chứng minh rằng CT, SO và AD đồng quy.
Bài giải
Gọi I = CT ∩ AD, (d) là tiếp tuyến với đường tròn tại A.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, D, T, A ta có:
AC ∩ BD = O;
AD ∩ CT = I;
(d) ∩ CD = S.
Suy ra 3 điểm S, I, O thẳng hàng.
Hay CT, SO, AD đồng quy (đpcm).
Bài tập 2.1.6. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường
tròn (O). Kẻ đường kính AD của đường tròn, S là 1 điểm di động trên
đường tròn. SB cắt AC ở M, SD cắt BC ở N.
Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài giải
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 18
Tải bản FULL (file word 41 trang): bit.ly/2Ywib4t
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

24. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Giả sử BM, AN cắt (O) tương ứng ở S, I, tiếp tuyến của (O) tại
C cắt SI ở T.
+ Vì ∆ABC là ∆ cân tại A nên
BAD =
CAD hay cung BD =
CD.
⇒ SN là tia phân giác [
BSC.
+ Vì vậy BSCI là tứ giác điều hòa nên SI, tiếp tuyến tại B, C
của (O) đồng quy (Hay T là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của
(O) nên T cố định).
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, C, S, I ta có:
AC ∩ BS = M;
BC ∩ AI = N;
SI ∩ CT = T.
Suy ra 3 điểm M, N, T thẳng hàng (đpcm).
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 19
3148511