5

1. 1
LÝ THUYẾT
I. Độ dài đại số
1) Định nghĩa
Trên trục d cho hai điểm A và B. Khi đó độ dài đại số của AB
uuur
,kí hiệu : AB ; là số
dương nếu AB
uuur
cùng hướng với vectơ đơn vị e
r
của đường thẳng d và là số âm nếu chúng
ngược hướng.
2) Tính chất
a) AB BA 
b) AB BC AC  ( A, B, C thẳng hàng )
c) 1 2 2 3 1 1... n n nA A A A A A A A    (với mọi iA thẳng hàng, 1,i n )
II. Tỉ số đơn
1) Định nghĩa: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, khi đó tỉ số đơn của chúng lấy theo
thứ tự đó là tỉ số
CA
CB
. Kí hiệu: (ABC). Vậy (ABC)
CA
CB
 .
2) Định lí: Cho hai điểm A, B và số 1k  thì tồn tại duy nhất điểm C sao cho
(ABC)= k.
III.Tỉ số kép
1) Định nghĩa: Cho bốn điểm A, B, C, ĐIỂM thẳng hàng, tỉ số kép của chúng lấy theo
thứ tự đó là tỉ số :
CA DA
CB DB
. Kí hiệu (ABCD).
Vậy (ABCD)
( )
:
( )
CA DA ABC
ABDCB DB
  .
2) Tính chất
(ABCD) = (CDAB)
(ABCD) =
1 1
( ) ( )BACD ABDC

(ABCD) = 1 (ACBD) = 1 (DBCA)
Nếu (ABCD) = (ABCD’) thì D D’.

2. 2
IV. Hàng điểm điều hòa
1) Định nghĩa:
Nếu ( ) 1ABCD   hay
CA DA
CB DB
  thì A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa.
2) Một số tính chất
Hệ thức Descartes:
2 1 1
( ) 1ABCD
AB AC AD
    
Hệ thức Newton: Với I là trung điểm AB, ta có: 2
( ) 1 .ABCD IA IC ID    .
Hệ thức Maclaurin: Với J là trung điểm CD, ta có:
( ) 1 . .AJABCD AC AD AB    .
3) Những hàng điều hòa cơ bản:
Định lí 1: Nếu AD, AE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác
ABC thì ( ) 1BCDE   .
Định lí 2: Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng chứa 3
cạnh. AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P và BC cắt NP
tại Q. Khi đó: ( ) 1BCMQ  
Định lí 3: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến SA, SB tới (O).
Một đường thẳng qua S cắt (O) tại M, N và AB cắt MN tại I. Khi đó, (SIMN) 1  .
V. Chùm điều hòa
1) Định nghĩa: Các đường thẳng a, b, c, d cùng đi qua một điểm I gọi là chùm đường
thẳng, điểm I được gọi là tâm của chùm, kí hiệu I(a,b,c,d). Chùm đường thẳng
(a,b,c,d) tương ứng đi qua các điểm A, B, C, D của hàng điểm điều hòa gọi là
chùm điều hòa.
Kí hiệu: I(a,b,c,d) (ABCD) 1I  
2) Một số tính chất:
a) Từ định nghĩa ta suy ra:
sin( , ) sin( , )
(a,b,c,d) (ABCD) :
sin( , ) sin( , )
IA IC IB IC
IA ID IB IC
 
uur uur uur uur
uur uur uur uur .
Tính chất trên là một tính chất quan trọng, rất có lợi trong việc giải toán.
b) Định lí 4: Cho (a,b,c,d) 1  . Một đường thẳng  bất kì cắt các đường thẳng
a,b,c,d lần lượt tại E, F, G, H khi đó ta có ( H) 1EFG   .

3. 3
c) Định lí 5: Chùm đường thẳng (a,b,c,d) là chùm điều hòa khi và chỉ khi một
đường thẳng bất kì song song với 1 trong 4 đường thẳng thì bị 3 đường thẳng
còn lại chắn bởi 2 đoạn thẳng bằng nhau.
d) Hệ quả 1: Cắt một chùm điều hòa bởi một đường thẳng không đi qua tâm của
chùm ta được một hàng điểm điều hòa.
e) Hệ quả 2: Nếu một chùm điều hòa có 2 tia liên hợp vuông góc thì 2 tia đó là
phân giác trong và phân giác ngoài của góc tạo bởi 2 tia còn lại.
VI. Phép chiếu xuyên tâm.
1) Định nghĩa:
Cho 2 đường thẳng d và d’, điểm S không thuộc d và d’. Gọi K là điểm thuộc d sao
cho SK//d’. Gọi f là ánh xạ đi từ tập hợp các điểm thuộc d tới tập hợp các điểm
thuộc d’ được xác định như sau   'f M M sao cho , , 'S M M thẳng hàng. Ánh
xạ f được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ d đến d’. Điểm S được gọi là tâm của
f .
2) Tính chất: Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép.
Từ tính chất trên cho ta 2 định lí sau dùng để chứng minh 3 đường thẳng song
song hoặc đồng quy và 3 điểm thẳng hàng.
a) Định lí 6:
Cho 2 đường thẳng  và ' cắt nhau tại O. Các điểm A, B, C thuộc  và các
điểm ', ', 'A B C thuộc ' . Khi đó, ', ', 'AA BB CC đồng quy khi và chỉ khi
( ) ( ' ' ')OABC OA B C
b) Định lí 7: Cho 2 chùm ( ')O ABCO và '( )O ABCO . Khi đó, A, B, C thẳng hàng
khi và chỉ khi O( ') '( )ABCO O ACBO

4. 4
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA – CHÙM
ĐIỀU HÒA
Bài 1: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại
D, E, F. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Giao điểm của các cặp cạnh
(DF, MN); (DE, MP); (XY, BC) lần lượt là Y, X, Z. Chứng minh rằng:
AX AY
ZX ZY

Giải:
Không mất tính tổng quát giả sử AB AC .
M nằm giữa B và D.
2 2 2
a c b a c b
DM BD BM
  
      .
Ta có: PM//AC · · · ·MXD CED CDE MDX   
MDX  cân tại M.
2
c b
MX MD

  
2 2 2
b c b c
PX PM MX PX PA

       APX cân tại P.
· · ·PAX PXA XAC  
X nằm trên đường phân giác của ·BAC .
Chứng minh tương tự ta được: Y nằm trên đường phân giác của ·BAC .

5. 5
Suy ra A, Y, Z, X thẳng hàng theo thứ tự đó.
Ta có:
µ µ
2 cos .cos
2 2
A A
AY AN AC 
CY AY 
Tương tự: CX AX
BX//CY
ZY CZ AC
ZX BZ AB
  
Mà
µ
µ
.cos
2
.cos
2
A
AC
AY AC
AX ABA
AB
 

ZY AY
ZX AX
 đpcm.
*Nhận xét: Từ kết luận bài toán ta có thể nhận ra: BY, ZP, AM đồng quy và CY, AD, ZE
đồng quy.
Bài 2: Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: DA là phân giác
·EDF .
Giải:
Ta không xét đến trường hợp đơn giản EF//BC.
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của EF với BC và AD.
Do AD, BF, CE đồng quy tại A, theo định lí những hàng điểm điều hòa cơ bản ta có:
( ) 1MDBC   .
( ) 1MNFE   (Phép chiếu xuyên tâm A)
( ) 1D MNFE  

6. 6
Mà DN  BC nên theo hệ quả 2 ta có là phân giác của ·EDF (đpcm).
*Nhận xét: Ta thấy ở bài toán này AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H và D là hình chiếu
của H trên BC. Như vậy ta có thể mở rộng bài toán này như sau và cách chứng minh hoàn toàn
tương tự:
Bài 2.1: Cho AD, BE, CF đồng quy tại O và H là hình chiếu của O trên BC. Khi đó HI là phân
giác của ·EHF .
*Nhận xét: Từ bài 2.1 áp dụng thêm tính chất của chùm điều hòa (định lí 5) ta có bài toán
sau:
Bài 2.2: Cho AD, BE, CF đồng quy tại O và H là hình chiếu của O trên BC. DA cắt EF tại I.
Qua I kẻ đường thẳng song song với DE cắt DF, BC lần lượt tại M, N.Khi đó M là trung điểm
của IN.
Bài 3: (China TST 2002) Cho tứ giác ABCD,
, ,AB DC E AD BC F AC BD P      .Gọi O là hình chiếu của P trên EF. Chứng minh
rằng: · ·BOC AOD .
Giải:
Gọi ,Q PF CD T BD EF   
Ta có: AC, BD, FP đồng quy tại P.
( ) 1DCQE  
( ) 1DBTP   ( Phép chiếu xuyên tâm F)
( ) 1O DBPT  
Mà OP OT nên theo hệ quả 2 ta có OP là phân giác của ·DOB .
· ·DOP BOP  (1).
Tương tự ta được ( , , , ) 1OF OP OA OC  

7. 7
Mà OP OF nên theo hệ quả 2 ta có: OP là phân giác của ·AOC .
· ·AOP COP  (2).
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Bài 4: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm
của AB, BC, CD, DA với đường tròn (O);. Khi đó ta có MP, NQ, AC, BD đồng quy tại một
điểm.
Giải:
P
A
I
D C
O N
B
M
Q
E
Hạ //CE AB (EPM)
Ta có: · · · ·MOP OPM BMP CPM CE CP    
Do đó nếu gọi I là giao điểm của AC với MP thì ta có:
IA AM AM
IC EC PC
  (1)
Tương tự gọi 'I là giao điểm của AC với NQ thì ta cũng có:
'
'
I A AQ
I C NC
 (2)
Mà: AM=AQ và PC=NC nên từ (1) và (2) suy ra 'I I
suy ra MP, NQ, AC đồng quy (3)
Lập luận tương tự ta có MP, NQ, BD đồng quy (4)
Kết hợp (3) và (4) ta được đpcm.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm
của AB, BC, CD, DA. Gọi ,K MQ NP I MP NQ    . Chứng minh rằng: ( ) 1DBIK  
Giải:

8. 8
Theo tính chất của tứ giác ngoại tiếp đường tròn ta có B, I, D, K thẳng hàng.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với cát tuyến QMK ta có:
. . 1 . 1
KD MB QA KD MB
KB MA QD KB QD
     ( do QA=MA).
Ta có IBN IDQ : ( g-g)
IB NB IB MB
ID QD ID QD
   
Do đó: . 1 : 1
KD IB KD ID
KB ID KB IB
    
( ) 1DBIK   (đpcm).
Bài 6: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) . Gọi E,F lần lượt là giao điểm AC với
(O). Hạ OH DB . Chứng minh rằng · ·AHE CHF (*)
Giải:
N
M
Q
I
F
H
E
P
O
L
K
A
D
B
C

9. 9
Gọi M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của AB, BC, CD, DA với (O).
Đặt L MN QP  , K QM PN  và I DK AL  .
Vì hai tứ giác KEOH và KFOH nội tiếp
 5 điểm K,E,O,H,F cùng thuộc một đường tròn
· ·EHK FHK 
Do vậy để chứng minh (*) ta cần chứng minh HI là phân giác ·AHC .
Thật vậy ta có HI  AL và theo kết quả bài 5 thì ta đã có ( ) 1ACIL  
Do vậy áp dụng hệ quả 2 suy ra HI là phân giác ·AHC
· ·AHE CHF  (đpcm)
Bài 7: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm
của AB, BC, CD, DA. Đặt K AD BC  , L AB DC  , E QM PN  , F QP MN  .
Chứng minh rằng: bốn điểm K,L,E,F cùng nằm trên một đường thẳng.
Giải:
Gọi I là giao điểm giữa BD với AC, E’ là giao điểm DB với KL, T là giao điểm CE’ với DK.
Theo bài 4 thì ta có ( ) 1TAKD   suy ra ( , , , ) 1CT CA CK CD  
Theo định lí chùm điều hòa suy ra ( ' ) 1E IBD  
Tuy nhiên theo bài 5 thì đã có ( ) 1EIBD  
Do vậy 'E E suy ra E,K,L thẳng hàng (1) .
Lập luận tương tự cũng có F,K,L thẳng hàng (2).
Kết hợp (1) và (2) suy ra K, L, E, F thẳng hàng (đpcm)
I
B
O
K
D
C
L
E'
T
A
M
NQ
P

10. 10
Bài 8: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC tới (O). Đường
thẳng AO cắt (O) tại E, F và cắt BC tại K. M là điểm bất kỳ trên (O). Chứng minh rằng: ME là
phân giác của ·AMK .
Giải:
Từ giả thiết ta có OBA OKB : nên suy ra
2
.OB OK OA
Theo hệ thức Newton, ta có ( ) 1 ( ) 1AKEF M AKEF    
Mà ME MF nên ME là phân giác của ·AMK . (đpcm)
*Nhận xét 1: Từ bài toán này ta thấy ME cũng là phân giác của ·BMC . Như vậy ta có thể
phát biểu bài 5 như sau:
Bài 10.1: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau
tại P, M là trung điểm BC. Khi đó: · ·BAP PAC .
*Nhận xét 2: Ở bài 8 nếu cho MN là đường kính bất kì của (O) thì:
· ·MO OE OME OEM  
· ·NMK OAM  . Như vậy ta có bài toán sau:
Bài 9: Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn · · · ·,IAB IBC IAC ICB  . D là điểm nằm trên AI
sao cho · 0
90BDC  . Chứng minh rằng: BD, CD lần lượt là phân giác của · ·,ABI ACI .
Giải:

11. 11
Cách dựng điểm I như sau:
Gọi (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A vẽ tiếp tuyến AM, AN đến (O), (M, N là các tiếp
điểm).
 I chính là trung điểm của đoạn MN. (theo nhận xét 2 ở bài 5 )
 O là giao điểm của IA và BC.
Gọi đường thẳng AI cắt (O) tại D và F, với D thuộc đoạn AI.
 · 0
90BDC  (thỏa điều kiện đề bài).
Ta có: BOI AOB : (g-g) 2
.
BO OI
BO OA OI
AO CO
   
2 2
.OD OB OA OI  
Theo hệ thức Newton ta có: ( ) 1AIDF   .
( ) 1B AIDF   và ( ) 1C AIDF  
Mà ,BD BF CD CF  nên BD, CD lần lượt là phân giác của · ·,ABI ACI . (đpcm)
Bài 10: Cho tam giác ABC, đường tròn bất kì đi qua 2 điểm B, C cắt AB, AC tại điểm thứ 2 là
F, E. Gọi ,DG BE CF AG BC    . Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, AC
tại Q, R. Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua một điểm cố định.
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: BCEF là tứ giác nội tiếp.
 BRCQ là tứ giác nội tiếp.
. .DB DC DQ DR 
Mà ( ) 1PDBC   và M là trung điểm BC.

12. 12
Theo hệ thức Maclaurin ta có: . . . .DB DC DP DM DQ DR DP DM   
 PQMR là tứ giác nội tiếp.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua trung điểm của BC. (đpcm)
Bài 11: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Gọi ( ), ( )Q CD ANB P AB DMC    . Chứng minh rằng: AC, BD, PQ đồng quy.
Chú thích: (ANB) là đường tròn đi qua 3 điểm A, N, B.
Giải:
Dễ thấy A, B là 2 giao điểm của (NAB) và (ABCD).
AB là trục đẳng phương của (NAB) và (ABCD).
/( ) /( )
. .
E NAB E ABCDP P
EP EN EC ED
 
 
Mà N là trung điểm của CD nên theo hệ thức Maclaurin ta có: ( ) 1EPCD  
Tương tự ta có: CD là trục đẳng phương của (MCD) và (ABCD).
/( ) /( )
. .
E MCD E ABCDP P
EQ EM EB EA
 
 
Mà M là trung điểm của AB nên theo hệ thức Maclaurin ta có: ( ) 1EQAB  
( ) ( )EPCD EQAB 
, ,PQ CA BD đồng quy (theo định lí 6 ). (đpcm)
Bài 12: ( Romanian Junior Balkan MO 2007) Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D nằm
trên cạnh AC, E là điểm đối xứng với A qua BD. F là giao điểm của đường thẳng qua D vuông
góc với BC và đường thẳng CE. Chứng minh rằng: AF, DE, BC đồng quy.

13. 13
Giải:
Gọi X, Y, Z lần lượt là giao điểm của AE với BD, BC, DF và T là giao điểm của DF và BC.
Để chứng minh AF, DE, BC đồng quy ta sẽ chứng minh ( ) 1AYEZ  
Ta có: XYTD là tứ giác nội tiếp · ·BYX XDZ 
· ·tan tan
XB XZ
BYX XDZ
XY XD
  
. .XB XD XY XZ 
Mà ABD vuông tại A và AX BD nên 2
.XA XB XD
2
.XA XY XZ 
Theo hệ thức Newton ta có: ( ) 1AYEZ  
Xét AEC và 3 đường thẳng AF, DE, BC mà ( ) 1AYEZ  
Nên AF, DE, BC đồng quy. (đpcm)
Bài 13: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của
(O) với BC, CA, AB. Đường tròn (O) cắt AD, BX, CX lần lượt tại X, Y, Z. Chứng minh rằng:
BZ, CY, AX đồng quy.
Giải:
Kẻ tiếp tuyến tại X của (O) cắt BC tại K.
Trong tứ giác XEDF ta có tiếp tuyến tại F, E và XD đồng quy tại A nên tứ giác XEDF là tứ
giác điều hòa.
Mà KX, KD là tiếp tuyến của (O) tại X, D nên K, E, F thẳng hàng.
Mặt khác AD, BE, CF đồng quy nên   1KDBC   .
Suy ra:   1 . 1
XY DZ
X
XZ Y
K
D
DBC     (1).

14. 14
Theo định lí Ceva ta có: BZ, CY, AX đồng quy
. . 1
. . 1
YB ZX DC
YX ZC DB
YB ZX DC
YX ZC DB
  
 
. . 1
YB DC ZX
DB ZC YX
 
. . 1
YD XD ZX
XD DZ XY
 
. 1
YD ZX
DZ XY
  (luôn đúng theo (1)).
Vậy BZ, CY, AX đồng quy.
Bài 14: Cho góc xOy và một điểm M cố định nằm trên phân giác Ot của góc đó. Một đường
thẳng d bất kì đi qua M cắt Ox , Oy tại ,P Q . Tìm vị trí d để biểu thức
1
.OP OQ
đạt giá trị
lớn nhất.
Giải:
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với Ot cắt Ox , Oy tại A, B.

15. 15
 A, B cố định.
Lấy C Ox sao cho MA là phân giác ·CMP
Tam giác OAB có OM vừa là trung tuyến, vừa đường cao
 Tam giác OAB cân tại O
 MA=MB  AC=BQ  OC=OQ.
Ta có  
1 1 1 1 2
1OAPC
OP OQ OP OC OA
       (tính chất phân giác)
2
2
1 1 1 1 1
.
. 4OP OQ OP OQ OA
 
    
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi OP=OQ d Ot  .
Vậy max 2
1 1
.OP OQ OA

*Nhận xét: Ta có thể phát biểu bài toán trên theo một dạng khác như sau:
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Qua H kẻ đường thẳng bất kì cắt AB, AC
tại D, E. Xác định vị trí đường thẳng đó để AD.AE đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A và đường thẳng / /d BC . Điểm I di động trên d .
BI AC M  , CI AB N  . Tìm vị trí I để BN.CM đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC.
Gọi , , , ,AH d P AH BM K CK AB R CP AB S CN AH Q         
Theo định lí Thales ta có:

16. 16
;
PQ PI PK IP IP
QH CH HK PH HC
  
  1
PQ PK
KPQH
QH HK
     
   1 1C KPQH RNSB     
2 1 1 1 1 2
.BS BN BR BN CM BN CM
     
2
.BN CM BS 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BN = CM P I 
Vậy 2
min .BN CM BS I P   .
Bài 16: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E.
Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của D, E trên AB, BC. Biết rằng giao điểm của DG, EF nằm
trên AH. Gọi P là hình chiếu của E trên HD. Chứng minh rằng: · ·APE CPE
Giải:
Gọi , ,DE BC R DH AC Q DE AH K     
Do GE//AH//DF và GD, FE, AH đồng quy.
   
   
   
1 1
1 1
1 1
FGHR O FGHK
DEKR H DEKR
ACQE P ACQE
     
     
     
Mà PE PQ nên theo hệ quả 2 ta suy ra PE là phân giác của ·APC
Suy ra: · ·APE CPE .

17. 17
Bài 17: Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC, AB tại E, F. Gọi K là
giao điểm của BI và EF. Chứng minh rằng: · 0
90BKC  .
Giải:
Ta bỏ qua trường hợp đơn giản EF//BC.
Đặt L EF BC  . Gọi D là tiếp điểm của BC với (I).
Dễ dàng chứng minh được: AD, BE, CF đồng quy
Nên theo định lí 2 ta có: ( ) 1 ( ) 1BCDL K BCDL    
Mà KBD KBF   (c-g-c)
· ·BKD BKF 
Theo hệ quả 2 ta có: · 0
90BKC  (đpcm)
*Nhận xét: Nếu gọi H là giao điểm của CI, EF thì CKHB là tứ giác nội tiếp.
Bài 18: Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn
nội tiếp (I) với AC, AB. M là trung điểm của BC, N là giao điểm của MA và EF. (M) là đường
tròn đường kính BC. Giao điểm thứ hai của BI, CI với (M) lần lượt là trung điểm của BY, ND,
CX. Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng.
Giải:
Theo bài 17 ta có: ,X EF BI Y EF CI    .
Ta có: BX là phân giác của · · ·FBD FBX MBX 
Mà tam giác BMX cân tại M · ·MBX MXB 
Nên · ·FBX MXB
MX//AB
NX NM
NF NA
 

18. 18
Tương tự ta có: MY//AC
NY NM
NE NA
 
NX NY NX NF
NF NE NY NE
   
Ta có:
·
·
·
·
sin sin
. .
sin sin
NF NF NA NAF AEN
NE NA NE AFN NAE
 
·
·
·
·
sin sin sin
sinsin sin
NF NAF BAM B AC CD
NE C AB BDNAE CAM
     
P, Q, R thẳng hàng ( Bổ đề ERIQ).
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC, ba điểm D, E, F lần lượt thuộc BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF
đồng quy. L là giao điểm của EF và AD. Từ L kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại H.
a) Chứng minh rằng: HL là phân giác của ·FEH .
b) Đường thẳng qua L cắt CA, CF tại X, Y. Chứng minh rằng: LD là phân giác của
·XDY .
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). E là một điểm trên đường tròn. FA cắt các
tiếp tuyến tại B và C của (O) tại M, N. Gọi F là giao điểm của CM và BN. Chứng minh rằng:
EF luôn đi qua một điểm cố định.

19. 19
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D là chân đường cao kẻ từ A. Lấy điểm I trên đoạn thẳng AD.
Đường thẳng BI cắt cạnh AC tại E và đường thẳng CI cắt cạnh AB tại F. Giả sử EF không
song song với BC. Chứng minh rằng: DA là phân giác trong của góc ·EDF
Bài 4: Cho tam giác ABC. Lấy D, E, F lần lượt thuộc các đoạn thẳng BC, CA, AB sao cho ba
đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại điểm I. Kẻ đường thẳng d đi qua I song song với DE
cắt DF, BC lần lượt tại K, L. Giả sử EF không song song với BC. Chứng minh rằng: K là
trung điểm của IL.
Bài 5: Cho điểm M nằm trong đường tròn (O) và khác O. Hai đường thẳng qua M lần lượt cắt
(O) tại A, B và C, D. Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau ở E, các tiếp tuyến của (O) tại
C và D cắt nhau ở F. chứng minh rằng: OM vuông góc với EF.
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn  tiếp xúc với các cạnh AB, AC và cắt
cạnh BC lần lượt tại K, L. Đoạn thẳng AK cắt đường tròn  tại M. Gọi P, Q lần lượt là các
điểm đối xứng của K qua B, C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ. Chứng
minh rằng: các điểm M, O và tâm đường tròn  thẳng hàng.

20. 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hàng điểm điều hòa – vẻ đẹp của toán học, Kim Luân.
2. Tài liệu giáo khoa chuyên toán 10, Đoàn Quỳnh-Văn Như Cương-Đỗ Thanh Sơn- Trần
Nam Dũng-Lê Bá Khánh Trình.
3. Các đề thi học sinh giỏi THPT.
4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
5. Tài nguyên internet: diễn đàn toán học Mathscope, diễn đàn toán học VMF.

21. 21
MỤC LỤC
PHẦN A: MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
PHẦN B: NỘI DUNG ĐỀ TÀI.........................................................................................2
Chương 1: Lý thuyết .....................................................................................................2
Chương 2: Một số bài toán giải bằng hàng điểm điều hòa – chùm điều hòa. ..............5
PHẦN C: KẾT LUẬN – MỞ RA HƯỚNG NGHIÊN CỨU..........................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................22

22. 22
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
1. Ý kiến nhận xét của tổ chuyên môn:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Xếp loại:.........................................
Tây Ninh, ngày tháng năm 2015
……………………………………
2. Ý kiến nhận xét của Ban giám hiệu nhà trường:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Xếp loại:.........................................
Tây Ninh, ngày tháng năm 2015
……………………………………
2. Ý kiến của Sở Giáo dục và Đào tạo:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Xếp loại:.........................................
Tây Ninh, ngày tháng năm 2015
……………………………………