1. 1
Câu 5. Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) .
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (-¥;2) .
· Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < 0
ìm2 - 1 < 0
ìa < 0 ï 2
ì 2 ï >0 ï3m - 2m - 1 > 0
TH1: í a < 0 Û ím 2- 1 < 0
ì ï ïD ï
TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ 0
îD £ 0 ï3m - 2m - 1 £ 0
î ïS > 0 ï -2m - 3
ïP ³ 0
î ï >0
ï m +1
î
-1
Vậy: Với £ m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) .
3
1
Câu 6. Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) .
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (2; +¥) .
· Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0
ìm2 - 1 < 0
ìa < 0 ï 2
ìa < 0 ìm2 - 1 < 0
ï ï >0
ïD ï3m - 2m - 1 > 0
ï
TH1: í Ûí 2 TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ 0
îD £ 0 ï3m - 2m - 1 £ 0
î ï S<0 ï -2m - 3
ïP ³ 0
î ï <0
ï m +1
î
Vậy: Với -1 < m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥)
Câu 7. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
· Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m có D¢ = 9 - 3m .
+ Nếu m ≥ 3 thì y¢ ³ 0, "x Î R Þ hàm số đồng biến trên R Þ m ≥ 3 không thoả mãn.
+ Nếu m < 3 thì y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn
m
é x1; x2 ù với độ dài l = x1 - x2 . Ta có: x1 + x2 = -2; x1x2 = .
ë û 3
9
YCBT Û l = 1 Û x1 - x2 = 1 Û ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = 1 Û m = .
4
Câu 8. Cho hàm số y = -2 x 3 + 3mx 2 - 1 (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = 1 .
· y ' = -6 x 2 + 6mx , y ' = 0 Û x = 0 Ú x = m .
+ Nếu m = 0 Þ y¢ £ 0, "x Î ¡ Þ hàm số nghịch biến trên ¡ Þ m = 0 không thoả YCBT.
Trang 6