Download to read offline
CHAPTER SIX MOMENTUM ANALYSIS OF FLOW SYSTEMS
- 1.
- 2. 5. TINJAUAN GERAKROTASI DAN MOMENTUM SUDUT • Gerak benda tegar dapat dianggap sebagai kombinasi gerak translasi pusat massanya dan gerak rotasi terhadap pusat massanya. • Gerak translasi dapat dianalisis menggunakan persamaan momentum linier, (Persamaan. 6-16). Sekarang kita membahas gerak rotasi suatu gerak di mana semua titik pada benda bergerak melingkar di sekitar sumbu rotasi. • Gerak rotasi digambarkan dengan besaran sudut seperti jarak sudut θ, kecepatan sudut ω, dan percepatan sudut α.
- 3. • Jarak fisikyang ditempuh oleh suatu titik sepanjang lintasan melingkarnya adalah l = θr, di mana r adalah jarak normal titik dari sumbu rotasi dan θ adalah jarak sudut dalam rad. Kecepatan sudut v adalah jarak sudut yang ditempuh per satuan waktu, dan percepatan sudut adalah laju perubahan kecepatan sudut. 1 rad = 360/(2π) = 57,3° 6.30 6.31
- 4. 1. Efek rotasi(momen atau torsi) • Hukum kedua Newton mensyaratkan bahwa harus ada gaya yang bekerja dalam arah tangensial untuk menyebabkan percepatan sudut. • Efek rotasi, yang disebut momen atau torsi, sebanding dengan besarnya gaya dan jaraknya dari sumbu rotasi. • Jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis aksi gaya disebut lengan momen, dan torsi M yang bekerja pada titik massa m pada jarak normal r dari sumbu rotasi dinyatakan sebagai,
- 5. • Torsi totalyang bekerja pada benda tegar yang berputar terhadap suatu sumbu dapat ditentukan dengan mengintegrasikan torsi yang bekerja pada diferensial massa dm di seluruh benda, ditunjukan dimana I adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi, yang merupakan ukuran inersia benda terhadap rotasi. • Perhatikan bahwa tidak seperti massa, inersia rotasi benda juga bergantung pada distribusi massa benda terhadap sumbu rotasi.
- 6. • relasi M= Ia adalah lawan dari hukum kedua Newton, dengan torsi menggantikan gaya, momen inersia menggantikan massa, dan percepatan sudut menggantikan percepatan linier (Gbr. 6-28) • Gamabar 6-28 menunjukan analogi persamaan linear dan sudut yang sesuai.
- 7. 2. Momentum sudut •Momen momentum, yang disebut momentum sudut, dari suatu titik bermassa m terhadap suatu sumbu dapat dinyatakan sebagai • Gambar 6-29 menunjukan momentum sudut massa titik m berputar pada kecepatan sudut v pada jarak r dari sumbu rotasi. momentum sudut total dari benda tegar yang berputar dapat ditentukan dengan integrasi menjadi
- 8. • Bentuk vektormomentum sudut dapat dinyatakan sebagai Perhatikan bahwa kecepatan sudut ω adalah sama di setiap titik dari benda tegar. • Laju perubahan momentum sudut sebagai, dimana M adalah torsi bersih yang diterapkan pada benda terhadap sumbu rotasi.
- 9. 3. Poros • Kecepatansudut mesin berputar biasanya dinyatakan dalam rpm (jumlah putaran per menit) dan dilambangkan dengan • kecepatan sudut mesin yang berputar adalah atau, • Daya yang ditransmisikan oleh poros yang berputar pada rpm n di bawah pengaruh torsi yang diterapkan M adalah (gbr. 6-30). 6-38
- 10. 4. Energi kinetikrotasi • Energi kinetik rotasi benda bermassa m pada jarak r dari sumbu rotasi adalah • Energi kinetik rotasi total dari benda tegar yang berputar terhadap suatu sumbu dapat ditentukan dengan,
- 11. 5. Percepatan sentripetaldan gaya • Selama gerak rotasi, arah kecepatan berubah meskipun besarnya tetap. Percepatan sentripetal mengubah arah kecepatan terhadap waktu. Besarannya adalah • Percepatan sentripetal diarahkan ke sumbu rotasi (berlawanan arah percepatan radial), dan dengan demikian percepatan radial adalah negatif. Gaya sentripetal yang menginduksi percepatan adalah, • Percepatan tangensial dan radial saling tegak lurus dan percepatan linier total ditentukan oleh jumlah vektornya
- 12. 6. Persamaan MomentumSudut • Banyak masalah teknik melibatkan momen momentum linier aliran aliran, dan efek rotasi yang disebabkan olehnya, masalah seperti itu paling baik dianalisis dengan persamaan momentum sudut. • Momen gaya F terhadap titik O adalah hasil kali vektor (atau silang) (Gbr. 6–31) dimana r adalah vektor posisi dari titik 0 ke sembarang titik pada garis aksi F . Yang besarnya adalah mana θ adalah sudut antara garis-garis aksi dari vektor r dan F.
- 13. Besaran vektor momenM ditentukan oleh aturan tangan kanan: ketika jari- jari tangan kanan melengkung ke arah gaya yang cenderung menyebabkan rotasi, ibu jari menunjukkan arah vektor momen (Gbr. 6–32) • Mengganti vektor F dalam Persamaan. 6–40 dengan vektor momentum mV memberikan momen momentum, juga disebut momentum sudut, di sekitar titik 0, sebagai • momentum sudut dari diferensial massa dm adalah • Maka momentum sudut suatu sistem ditentukan dengan integrasi menjadi,
- 14. • Laju perubahanmomen momentum adalah • laju perubahan momentum sudut suatu sistem sama dengan torsi neto yang bekerja pada sistem (Persamaan ini berlaku untuk jumlah massa yang tetap dan kerangka acuan inersia) dimana ∑M = ∑ (r×V ) adalah torsi bersih yang diterapkan pada sistem, dan dHsys/dt adalah laju perubahan momentum sudut dari sistem.
- 15. Gamabar di sampingmenjelaskan Persamaan momentum sudut diperoleh dengan mengganti B dalam teorema transport Reynolds dengan momentum sudut H, dan b dengan momentum sudut per satuan massa r×V. persamaan momentum sudut untuk volume kontrol umum, Untuk volume atur tetap
- 16. 1. Kasus khususpersamaan momentum sudut • Selama aliran steady, jumlah momentum sudut konstan, dan laju perubahan momentum sudut adalah nol. • Dalam banyak aplikasi praktis, bentuk perkiraan persamaan momentum sudut dalam hal sifat rata-rata di inlet dan outlet menjadi • Tidak ada faktor koreksi yang diperkenalkan karena bervariasi dari masalah ke masalah dan kesalahan yang diinduksi kecil, maka pers. 6–50 selanjutnya direduksi menjadi (Gbr. 6–34)
- 17. 2. Aliran tanpaMomen Eksternal • Ketika tidak ada momen eksternal yang diterapkan, persamaan momentum sudut Persamaan. 6–50 dikurangi menjadi. • Ketika momen inersia I dari volume atur tetap konstan, maka
- 18. • Aliran dalamarah radial normal terhadap sumbu rotasi disebut perangkat radial. • Dari gambar disamping, merupakan pompa sentrifugas yang dilihat tampak samping dan depan dan dalam pompa dimana cairan memasuki perangkat dalam arah aksial memlalui mata impeler dan dibuang ke arah tangensial.
- 19. 3. Perangkat AliranRadial. • Pertimbangkan pompa sentrifugal, bagian impeler tertutup dalam volume kontrol. • Kecepatan aliran rata-rata, secara umum memiliki komponen normal dan tegangan tangensial yang baik pada saluran masuk maupun keluar dari bagian impeler. • Ketika poros berputar pada kecepatan sudut ω, sudu-sudu impeller memiliki kecepatan tangensial ωr1 pada saluran masuk dan ωr2 pada keluaran.
- 20. • Untuk alirantak termampatkan tunak, persamaan kekekalan massa dapat ditulis sebagai. dimana b1 dan b2 adalah lebar aliran pada inlet dan outlet. • Maka rata-rata komponen normalnya adalah
- 21. • Komponene kecepatannormal dan tekanan bekerja melalui pusat poros dan tidak memberikan kontribusi torsi. Hanya komponen kecepatan tangensial yang berkontribusi pada persamaan momentum sudut, yang memberikan sebagai rumus turbin Euler Ketika sudut a1 dan a2 antara arah kecepatan aliran absolut dan arah radial diketahui, maka menjadi • Dalam kasus ideal, • Kekuatan poros,
- 22. Air bawah tanahdipompa sampai ketinggian yang cukup melalui pipa berdiameter 10 cm yang terdiri dari bagian vertikal sepanjang 2 m dan horizontal sepanjang 1 m, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6–37. Air dilepaskan ke udara atmosfer dengan kecepatan rata-rata 3 m/s, dan massa bagian pipa horizontal ketika diisi dengan air adalah 12 kg per meter panjangnya. Pipa ditambatkan di tanah dengan dasar beton. Tentukan momen lentur yang bekerja pada dasar pipa (titik A) dan panjang penampang horizontal yang diperlukan yang akan membuat momen di titik A nol. Example 6.8
- 23. Dik : Dit: Asumsi : 1. Aliran steady. 2. Air dibuang ke atmosfer maka tekanan pengukur di outlet adalah nol. 3. Diameter pipa kecil dibandingkan dengan lengan momen, dan dengan demikian kami menggunakan nilai rata-rata jari-jari dan kecepatan di outlet.
- 24. Penyeleaian : • Karena, •Persamaan kekekalan massa untuk sistem aliran steady, maka • Oleh karena itu, kita bisa mendapatkan • Maka persamaan momentum sudut pada titi A menjadi
- 25. • Memecahkan MAdan mensubstitusi, memberi • Dengan mengatur MA = 0, maka kita bisa mendapatkan Atau,
- 26. Example 6.9 Sebuah sprinklerrumput besar dengan empat lengan identik harus diubah menjadi turbin untuk menghasilkan tenaga listrik dengan memasang generator ke kepala berputar, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 6–38. Air memasuki sprinkler dari dasar sepanjang sumbu rotasi dengan laju 20 L/s dan meninggalkan nozel dalam arah tangensial. Alat penyiram berputar dengan kecepatan 300 rpm pada bidang horizontal. Diameter setiap pancaran adalah 1 cm, dan jarak normal antara sumbu rotasi dan pusat setiap nosel adalah 0,6 m. Perkirakan daya listrik yang dihasilkan.
- 27. Dik : Dit: Asumsi. 1. Aliran steady secara siklis. 2. Air dibuang ke atmosfer, maka tekanan pengukur di pintu keluar nosel adalah nol. 3. Rugi-rugi generator dan hambatan udara dari komponen-komponen yang berputar diabaikan.
- 28. Penyelesaian : • Kecepatanrata-rata jet keluar relatif terhadap nosel adalah, • Kecepatan sudut dan tangensial nozel adalah • kecepatan rata-rata pancaran air relatif terhadap volume kontrol
- 29. • persamaan momentumsudut terhadap sumbu rotasi • Mengganti, torsi yang ditransmisikan melalui poros ditentukan • Maka daya yang dihasilkan menjadi
- 30. Variasi daya yang dihasilkandengan kecepatan sudut
- 31.