1. Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
38
BAB VII. DINAMIKA ROTASI
Dalam kinematika rotasi kita sudah membahas gerak rotasi suatu partikel atau benda
tanpa memperhatikan penyebab terjadinya gerak rotasi tersebut. Dalam dinamika rotasi ini
kita akan membahas bagaimana suatu benda dapat berotasi dan apa yang menyebabkannya.
2.1. Momen Gaya
Pada gerak translasi, perubahan gerak (translasi) sebuah benda hanya dapat terjadi
jika ada gaya yang bekerja pada benda itu. Yang dimaksud dengan perubahan gerak dalam
hal ini adalah perubahan kecepatan. Suatu benda akan diam atau bergerak lurus beraturan
bila resultan gaya yang bekerja pada benda itu sama dengan nol.
Pada gerak rotasi, untuk membuat suatu benda berotasi (berputar) tidak cukup
hanya dengan diberi gaya. Sebuah benda akan berubah geraknya dari diam menjadi berputar
jika kepada benda itu diberikan gaya (pemutar) dengan cara tertentu. Gaya pemutar ini
disebut dengan momen gaya dan perubahan geraknya adalah perubahan kecepatan sudut
benda (benda mengalami percepatan sudut yaitu pertambahan kecepatan sudut secara
beraturan sesuai dengan perubahan waktu).
Jika sebuah gaya F bekerja pada tepi sebuah roda berjari-jari r dengan sumbu rotasi
terletak pada poros O, maka momen gaya yang bekerja pada tepi roda terhadap poros O
didefenisikan oleh persamaan berikut:
= F. d
Karena d = r sin , maka:
= F. r. sin 
dengan:
t = momen gaya / Torsi (N. m)
F = gaya (N)
r = jarak sumbu rotasi dengan titik tempat gaya bekerja (m)
d = lengan momen gaya (m)
= sudut antara arah gaya dengan r .
Contoh Soal 1:
Sebuah gaya F bekerja pada sebuah roda dengan sumbu O dengan posisi gaya masing-masing
ditunjukkan seperti gambar berikut. Tentukan momen gaya yang bekerja terhadap
sumbu O dan tentukan pula arah rotasinya.
Jawab:
a. Diket: F = 100 N,
r = 50 cm = 0,5 m
= 900
45
0
a
b. c.
60
0
 = F. r. sin 
 = 100. 0,5. sin 900
= 50 Nm (searah putaran jarum jam)

2. Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
39
b. Diket: F = 25 N
r = 40 cm = 0,4 m
= 600
c. Diket: F = 50 N
r = 30 cm = 0,3 m
= 450
 = F. r. sin 
 = 25. 0,4. sin 600
= 10. ½ 3
= 5 3 Nm (berlawanan dengan putaran jarum jam)
 = F. r. sin 
 = 50. 0,3. sin 450
= 15. ½ 2
= 7,5 3 Nm (berlawanan dengan putaran jarum jam)
Resultan Momen Gaya
Jika pada suatu benda bekerja lebih dari satu momen gaya, maka momen gaya yang
mengakibatkan benda berotasi searah putaran jarum jam diberi tanda positif dan yang
mengakibatkan benda berotasi berlawanan dengan putaran jarum jam diberi tanda negatif.
Jika resultannya bernilai positif maka benda akan berotasi searah putaran jarum
jam dan resultannya bernilai negatif maka benda akan berotasi berlawanan dengan putaran
jarum jam.
Contoh Soal 2:
Pada sebuah roda dengan sumbu rotasi di titik O bekerja dua buah gaya yaitu F1 dan F2
seperti gambar. Jika F1 = 80 N dan F2 = 100 N, tentukan resultan momen gaya dan arah
rotasinya.
Diket: F1 = 80 N
F2 =100 N
r1 = 4 cm = 0,04 m
r2= 3 cm = 0,03 m
Dit: dan arah rotasi
Jawab:
Momen gaya oleh F1 adalah:
 = + F1. r1. sin 1
 = + 80. 0,04. sin 
 = + 3,2. 0,5 = + 1,6 N.m
Momen gaya oleh F2 adalah:
= - F2. r2. sin 2
= - 100. 0,03. sin 
= - 3. 0,5 = - 1,5 N.m
Resultan Momen gayanya adalah:    2 = +1,6 + (-1,5) = + 0,1 N.m
Karena momen gaya bernilai + maka arah rotasinya searah putaran jarum jam.
Contoh Soal 3: (Jawab sendiri)
Pada gambar berikut ini jika diketahui nilai a = 10 cm dan b = 25 cm , tentukan resultan
momen gaya yang bekerja pada roda dan tentukan juga arah rotasinya.

3. 2
2 2
  
9
I m .r
n n
1
 
1
3

  
2
 
I m .r
n n
  
2  2 2
I m. 0
m. l m.l
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
40
2.2. Momen Inersia
Pada gerak linear, ukuran inersia suatu benda (kecenderungan untuk
mempertahankan keadaannya) ditentukan oleh massa benda. Untuk gerak rotasi, ukuran
inersia suatu benda selain ditentukan oleh massa benda tetapi juga dipengaruhi oleh pola
distribusi massa tehadap sumbu rotasi. Pola distribusi massa terhadap sumbu rotasi
disebut dengan momen inersia.
2.2.1. Momen Inersia Partikel
Momen inersia I dari suatu partikel bermassa m terhadap sumbu rotasi yang
terletak sejauh r dari partikel didefenisikan sebagai hasil kali antara massa partikel dengan
kuadrat jarak dari sumbu rotasi.Secara matematis dituliskan:
I = m. r2
Apabila terdapat sejumlah partikel dengan massa masing-masing m1, m2, m3,……mn dan
jaraknya dari sumbu rotasi r1, r2, r3, ………rn , maka momen inersia total adalah:
I = mn.rn
2 = m1. r1
2 + m2 r2
2 + m3 r3
2 +…………..+ mn. rn
2
I = momen inersia (kg.m2).
Contoh Soal 4:
Dua buah partikel masing-masing bermassa m dan terpisah sejauh l seperti gambar berikut.
Hitunglah momen inersianya jika:
a. kedua partikel diputar dengan sumbu putar di C
b. Kedua partikel diputar dengan sumbu putar di A.
Penyelesaian:
a. Apabila kedua partikel diputar dengan sumbu putar di C, momen inersianya:
5
.m.l 2
8
.l
16
.l m.
16
I m.
.l
4
.l m.
4
I m.
2 2




 
1
l
4
3
l
4
b. Apabila kedua partikel diputar dengan sumbu putar di A, momen inersianya:
Contoh Soal 5:
Perhatikan gambar berikut:
A
1 m 2 m 3 m
1 r
2 r
3 r
Diket:
m1 =10 kg, r1 = 20 cm
m2 = 8 kg, r2 = 30 cm
m3 = 5 kg, r3 = 50 cm
Tentukan momen inersia sisten di atas jika diputar dengan sumbu putar :
a. di titik A b. di m2

4. 2 m
   
I 10.0,22 8.0,32 5.0,52
  
  
I 10.0,04 8.0,09 5.0,25
m3.r3 2
m2.r2 2
m1.r1 2
   
I 10.0,52 8.02 5.0,22
  
  
I 10.0,25 8.0 5.0,04
dx
 
 2  2
 
 
I r dm r A dx karena dalam hal ini r x maka
l l
   
I x A dx A x dx
 
1
1
. . . , , :
   
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
41
Penyelesaian:
a. Jika diputar di titik A, maka momen inersia sistem adalah:
I 0,4 0,72 1,25 2,37 kg.m2
2
3
r
3.
2 m
2
.r
2
2 m
1
r
1.
I mn.rn
   
b. Jika diputar di m2, momen inersianya adalah:
I 2 5 0 0,2 2,7 kg.m2
2
I mn.rn
 ,
  
2.2.2. Momen Inersia Benda Tegar
Benda tegar adalah benda yang jika dikenai gaya tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran. Benda tegar memiliki pola distribusi massa yang kontinu yang terdiri dari
sejumlah besar elemen massa dm yang berjarak r dari sumbu rotasi. Momen inersia benda
tegar dapat ditentukan dengan metode integral dengan persamaan:
Ir2 dm
dengan batas integral yang dipilih harus mencakup seluruh elemen massa.
Berikut adalah salah satu contoh cara mencari persamaan (rumus ) momen inersia dari suatu
benda tegar yaitu: momen inersia batang panjang homogen dengan panjang l dam
massa m dengan pusat rotasi pada salah satu ujungnya.
I r2 dm
  atau m   V
l
m
V
 
dm dV
(batas integral dari 0 sampai l)
l
x
.
dm . A .
dx
.
 
.
m
 A 
2
1
3 3
0
3
0
2
0
2
0
3
0
3
1
3
3
l
. . l .
l
.
l
. . . .
l
l
I m
m
x
m
I







5. Jika sumbu putar terletak ditengah-tengah batang (batas integral dari –½ l sampai ½ l)
Diperoleh momen inersia untuk batang dengan panjang l dan sumbu rotasi terletak
ditengah-tengah batang sebagai berikut:
  
1
1


 1
 1
3 3
3 3
1
2
1
2

1
1
 
 1

1
1
1

 1
  

 



Dengan menggunakan cara yang sama maka untuk benda lain diperoleh momen inersia
sebagai berikut:
Batang homogen, poros
1
I  .m .l
Piringan atau Silinder pejal
1
I  m .R
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
Silinder tipis berongga poros
Bola pejal poros
2
Bola berongga poros 2
I  .m .R
42
3 2
3
12
12
8
3
8
3
2
3
2
3
3
. l : . . l
l
. . l . . l
l
. . . l . . l
l
.
l
l
l
atau I m
m
I
m
I
m
x
m
I
 







 
 







l
pada salah satu ujung batang
2
3
l
Batang homogen, poros
di tengah batang
2
1
I  .m .l
12
,
.
melalui sumbu silinder
I m.R 2
.
,
poros melalui sumbu silinder
2
2
Silinder berongga poros
.
,
melalui sumbu silinder
 2 
2
1
2
1 2
I  m . R  R
.
,
melalui diameter
2
2
I .m.R
5
.
,
melalui diameter
3

6. F
m
R
I. 
1
1
I     
1
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
43
2.3. Hubungan Antara Momen Gaya dengan Percepatan Sudut
Misalkan pada sebuah partikel yang massanya m di tepi sebuah roda yang jari-jarinya
R dikerjakan sebuah gaya F seperti gambar berikut:
Menurut hukum II Newton, gaya tangensial F akan
menimbulkan percepatan tangensial (aT) :
F=m.aT
Karena momen gaya:
= F. R dan percepatan tangensial
aT = .R, maka diperoleh:
= F. R = (m.aT). R = m.. .R. R = m.R2
Karena: I= m.R2
Maka:
Dengan:
 = momen gaya (N.m)
F = gaya (N)
 = percepatan sudut (rad/s)
Persamaan di atas adalah persamaan hukum II Newton untuk gerak rotasi.
Contoh Soal 6:
Sebuah silinder pejal mempunyai jari-jari 10 cm, massa 1 kg dan ditepi silinder dililitkan
tali. Jika silinder mula-mula dalam keadaan diam kemudian tali ditarik dengan gaya 10 N,
tentukan:
a. Momen gaya pada silinder
b. Percepatan sudut silinder
c. Kecepatan sudut silinder setelah 10 sekon.
Diket: m = 1 kg, R = 10 cm = 0,1 m
0 = 0 rad/s (diam)
F = 10 N
Dit: a. b. c. pada t = 10 sekon
Jawab:
a. = F. R = 10. 0,1 = 1 N.m
b. Kita hitung dulu momen inersia silinder pejal
Maka:
R
c. Setelah 10 sekon: = 0 + . t = 0 + 200. 10 = 2000 rad/s
F
m
2 .1.0,12 0,5.0,01 5. 10 3 kg.m2
2
.m.R
2
2
-3 200
5.10
I
  rad / s



7. 1
I  
1
Εκ  , karena berlaku hubungan : v = . R , maka:
 1  1
Ek .m.v .m.(.R )  .m.R .
Mengingat bahwa momen inersia secara umum adalah: I = m.R2, maka diperoleh energi
kinetik rotasi:
1
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
44
Contoh Soal 7:
Pada tepi sebuah roda pejal homogen
dililitkan sebuah tali dan kemudian
ujung tali ditarik dengan gaya F sebesar
6 N. Jika massa roda 5 kg dan jari-jarinya
20 cm, tentukan percepatan
sudut roda tsb.
Diket: F = 6 N Dit: = …………..?
m = 5 kg
R = 20 cm = 0,2 m
Jawab:
Sebelum dihitung percepatan sudutnya, kita hitung terlebih dulu momen inersia (I) dan
momen gaya ( ) yang bekerja pada roda.
1
Momen inersia : 2 .5.0,22 0,1 kg.m2
2
.m.R
2
Momen gaya: = F. R = 6. 0,2 = 1,2 Nm
1,2
τ
α   
Maka percepatan sudut yang dialami roda adalah: 12 Nm
0,1
I
2.4. Usaha dan Energi dalam Gerak Rotasi
2.4.1. Energi Kinetik dalam Gerak Rotasi
Energi kinetik yang dimiliki oleh benda berotasi disebut dengan energi kinetik
rotasi. Persamaannya dapat diturunkan dari persamaan energi kinetik translasi sbb:
.m.v2
2
1
2 2 2 2
2
2
2
dengan:
Gerak Menggelinding
Benda yang menggelinding melakukan dua gerak
sekaligus yaitu gerak translasi dan gerak rotasi. Oleh
karena itu, benda yang menggelinding mempunyai
energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi, yaitu:
Ek =Ektranslasi + Ekrotasi
 1  1
Ek .m.v .I.
2 2
2
2
F
Ek = energi kinetik rotasi (J)
= momen inersia (kg.m2)
.I.ω2  = kecepatan sudut (rad/s) , v =kecepatan linear (m/s)
2
Εκ 
ω v

8.   
W Ek Ek Ek
1    
W I I
W = usaha (J)
= momen gaya (N.m)
 = sudut tempuh (radian)
Persamaan ini dikenal sebagai teorema usaha-energi pada
gerak rotasi.
1 ω
1 v
2 ω
 1  1
m.g.h .m.v .I.  m.g.h  .m.v  .I.
Untuk lebih jelasnya pelajari contoh soal sebagai berikut:
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
45
2.4.2. Usaha dalam Gerak Rotasi
Usaha yang ditimbulkan oleh momen gaya dalam gerak rotasi dapat diturunkan dari
persamaan usaha pada gerak translasi sebagai berikut:
W = F.s
Karena berlaku hubungan : s = . R dan = F.R , maka diperoleh:
W = F. ( . R) = (F. R).
W=  dengan:
Apabila usaha yang dikerjakan pada benda yang berotasi mengakibatkan kecepatan sudut
benda berubah dari 1 menjadi 2, maka berlaku hubungan usaha dengan energi kinetik
sebagai berikut:
Usaha = perubahan energi kinetik
2
1
2
2
2 1
.
2
1
.
2
2.4.3. Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada Gerak Rotasi
Sebuah benda menggelinding pada ketinggian h1 dengan kecepatan sudut 1
kemudian benda itu menaiki sebuah bidang miring sehingga pada saat mencapai ketinggian
h2 kecepatan sudutnya menjadi 2 (perhatikan gambar).
Apabila momen gaya luar yang bekerja pada benda sama dengan nol, maka dalam hal ini
berlaku hukum kekekalan energi mekanik untuk gerak rotasi sbb:
EM1 =EM2
Ep1 + EKtran 1 + Ekrotasi 1 = Ep2 + EKtran 2 + Ekrotasi 2 atau:
2
2
2
1
2 2
2
1
2
1
1 2
1 2
2
2
Contoh Soal 8:
Sebuah silinder pejal yang massanya 12 kg dan jari-jari 40 cm menggelinding pada bidang
datar dengan kecepatan linear tetap 5 m/s. Hitunglah energi kinetik silinder tersebut.
Diket: m = 12 kg Ditanya: Ek =…?
R = 40 cm = 0,4 m
v = 5 m/s
jawab:
Untuk silinder pejal berlaku : I =1/2 m.R2 ,sehingga:
2 v
2 h
0 1 h 

9.      
3
1
1
1
1
1
  
2 2 2
Ek m v m v m v
3
1
20 m / s 1 v 
1
1
1
0 1 h 
1 ω
      
m g h m v I m g h m v I
1
  
m v m v m g h
. . . .
4
v
3.
0
3
1
. .
2
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
46
Ek J
v
R
1
.
2
Ek m v I m v m R
.12 .5 225
4
. .
4
. .
4
.
2


. . .
2
1
.
2
.
2
.
2
2
2
2 2 2 2
 





Contoh Soal 9:
Sebuah roda pejal beraturan menggelinding pada lantai datar dengan kecepatan 20 m/s
kemudian menaiki sebuah bidang miring seperti pada gambar. Jika g = 10 m/s2, tentukan
tinggi maksimum yang dapat dicapai roda tsb.
Diket: v1 = 20 m/s , h1 = 0 m Dit: h2 =…..?
V2 = 0 m/s, g = 10 m/s2
2 h
Jawab:
Untuk menjawab persoalan ini kita gunakan hukum kekekalan energi mekanik:
EM1 =EM2
Ep1 + EKtran 1 + Ekrotasi 1 = Ep2 + EKtran 2 + Ekrotasi 2
meter
g
m v m g h h
30
1200
40
3.20
4.10
4.
. . . .
4
. .
2
. .
2
. . . .
2
. .
2
. .
2 2
1
2 2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2 2
2
1
2
1 1
     
Contoh Soal 10:
Dua buah benda A dan B massanya 6 kgdan 3
kg. Kedua benda itu dihubungkan dengan tali
yang massanya diabaikan melalui sebuah
katrol yang bermassa 2 kg dan jari-jarinya 10
cm seperti pada gambar. Benda B terletak di
atas bidang datar kasar dengan koefesien
gesekan 0,2. Hitunglah percepatan sisten
tersebut.
Diket: mA = 6 kg, mB = 3 kg, mk = 2 kg Dit: a =…..?
k = 0,2 , R= 10 cm = 0,1 m
Jawab:
Pada saat mempelajari Hukum Newton, biasanya katrol dianggap licin dan tidak ikut
bergerak sehingga tegangan tali di atas dan bawah sama besar. Tetapi kalau katrol ikut

10. berputar, berarti momen inersia katrol harus diperhitungkan sehingga tegangan tali di atas
tidak sama dengan tegangan tali di bawah. Apabila diuraikan dengan menggunakan hukum
II Newton untuk gerak rotasi dan translasi maka diperoleh persamaan percepatannya:
(6 0,2.3)10

( ).
m m g
1
A k B  
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
A B
47
5,4 / 2
54
10
2.2 6 3
1
.
2
m s
m m m
a
k A B
 


 

LATIHAN 2:
1. Batang AB massanya 5 kg dan panjangnya 60 cm
diputar dengan gaya F = 35 N dengan salah satu
ujungnya sebagai sumbu rotasinya. Hitunglah:
a. Momen gaya yang bekerja pada batang.
b. Momen inersia batang AB
c. Percepatan sudut yang dialami.
2. Pada sebuah silinder bekerja dua buah gaya seperti
ditunjukkan oleh gambar disamping. Jika F1 = 5 N,
jari-jari luar 35 cm dan jari-jari dalam 15 cm. Jika
momen gaya total yang bekerja pada silinder adalah
2,5 Nm, tentukan besar F2.
3. Gambar disamping menunjukkan gaya 40 N
dikerjakan secara tangensial pada tepi roda yang
berjari-jari 20 cm. Jika momen inersia roda 30 kgm2,
tentukan (a) percepatan sudut, (b) kecepatan sudut
roda 4 detik setelah roda berputar dari keadaan diam,
(c) jumlah putaran roda dalam 4 sekon, (d) buktikan
bahwa usaha yang dilakukan pada roda sama dengan
perubahan energi kinetik rotasi roda selama 4 detik.
30 0
4. Sebuah roda gerinda yang homoggen bermassa 0,9 kg dan jari-jarinya 8 cm. Roda mula-mula
berputar dengan kecepatan 1400 rpm (rotasi per menit). Karena gesekan, dalam
waktu 35 sekon ternyata berhenti. Hitung momen gaya yang dialami roda dari gaya
gesek itu.
5. Sebuah roda gila dengan momen inersia 3,8 kgm2 oleh sebuah torsi bebas dipercepat
hingga dalam 6 putaran saja kecepatan sudutnya berubah dari 2 putaran/s menjadi 5
putaran/s. Hitung besar torsi itu.
6. Gambar di samping menunjukkan beban dengan
massa 400 gram menggantung pada ujung tali yang
dililitkan pada tepi roda dengan jari-jari 15 cm.
Setelah lepas dari keadaan diam, 6,5 detik kemudian
beban turun sejauh 2 meter. Berapakah momen
inersia roda?
7. Sebuah gelindingan (silinder tipis berongga) yang berjari-jari 20 cm dari keadaan diam
dilepas dan menggelinding menuruni sebuah bidang miring. Berapah kecepatan sudut
gelindingan itu pada saat berada 5 meter di bawah titik awal.
8. Sebuah roda pejal homogen menggelinding melalui puncak bukit dengan kecepatan 0,8
m/s. Berapakah kecepatan roda itu bila berada 18 cm di bawah puncak?
F
1 F
2 F
2 l
1 l
F
R
R
m  400 gr

11. 9. Sebuah roda bermassa M harus ditarik ke atas pinggiran jalan setinggi h. Jari-jari roda R.
Jika tinggi trotoar adalah ½ dari tinggi pinggir jalan, buktikan bahwa gaya minimum
yang diperlukan adalah:
(Soal Olimpiade Fisika Unram 2001)  1/
Fisika SMA kelas XI Semester Genap
Dinamika Rotasi
48
. . 3 min F  M g F
R
h R 2