Talks about academic ancestors like Hadamard all the way to emeritus professor Langlands along the line of functional partially in Chinese for Ph.D students understanding part of ancient mathematics of China mixed with mainly Polish mathematician Banach theorems.

1. Functional Analysis 泛泛的函数分析
南方科技大学 史玉回实验室 跨年Mini Seminar
2018 🐶 年幸月腊月到2019 🐖 年正月杏月桃月
主讲人： Jun Steed 🐎 Huang 资格证
📕

2. 研修（不是教学）大纲 TOC: Functional
 《泛函分析》
讲座集中现代数学基础的重要基本∞抽象思想方法，以及工程难题的解答，内容可归纳为
 空间论
主要讲解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和
内积空间，以及它们的拓扑结构。
 算子论
主要讲述关于线性泛函的“五大基本定理”：Riesz定理，开映像定理，闭图像定理，共鸣定
理，Hahn-Banach定理。
 谱论
主要讲解有界算子谱论及紧算子谱论的一些基本结论。
紧的含义：一尺之棰，日取其半，万世不竭。——《庄子·天下》，公元前300年
a平方b平方2ab
《周髀算经》345勾股定理，商高， 公元前1000年
代数 几何
C++OO
编
程
模
板
的
理
论
Eat tail when hungry：last to infinite!

3. 维基百科的Definition
深度学习
的超参数
高山流水
知音难觅
黎曼猜想/朗兰兹纲领/等变换的函数

4. 我们的以8步德国笑11步法国祖师爷
紧算子概念是希尔伯特(Hilbert, David)于1906年引入的 ->
泛函的说法是雅克·所罗门·阿达马于1910年命名的。

5. 我们的第10/11/12步祖师爷

6. 奠基人Stories
约翰·冯·诺依曼

7. 有字经
使用教材
孙炯、王万义、郝建文：《泛函分析》，高等教育出版社，2010年第一版
参考资料
[1] 泛函分析（第二版），江泽坚等编，科学出版社。2004
[2] 夏道行, 吴卓人，严绍宗，舒五昌.实变函数论与泛函分析 下册.第二版北京:高等教育出版社.1985
[3] 夏道行，严绍宗等人. 泛函分析第二教程.北京:高等教育出版社.1983
我们俩的师傅：

8. 浪漫的Sustech琳恩图书馆的书

9. 维基百科Concentrated

10. Steed的超方差与次相关 Matlab Code 的来龙去脉
https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/profile/authors/6205312-steed-huang

11. 从点线面体到超点超线超面超体

12. Big Picture 染指我的Right手

13. Big Picture 染指My右手

14. 变分学
• Solutions to many physical problems
require maximizing or minimizing some
parameter:
• Distance
• Time
• Surface Area
• Parameter I dependent on selected path
u and domain of interest D:
• Terminology:
• Functional – The parameter I to be
maximized or minimized
• Extremal – The solution path u that
maximizes or minimizes I
 , , x
D
I F x u u dx 
生活目标
评价函数
极大极小

15. Analogy to Calculus
• Single variable calculus:
• Functions take extreme values on bounded domain.
• Necessary condition for extremum at x0, if f is
differentiable:
 0 0f x 
• Calculus of variations:
• True extremal of functional for unique solution u(x)
• Test function v(x), which vanishes at endpoints, used
to find extremal:
• Necessary condition for extremal:
 , ,
b
x
a
I F x w w dx 
 
      w x u x v x 
0dI
d


16. Solving for the Extremal
• Differentiate I[]:
• Set I[0] = 0 for the extremal, substituting terms for  = 0 :
• Integrate second integral by parts:
   , ,
b b
x
x
xa a
wdI d F w FF x w w dx dx
w wd d

  
 
 
 
 
    
    
   w v x

 
    x
x
w v x

 

 0w v x

 
 
 
 
  0x
x
w v x

 
 
 
 

 0w u x 
 
 

 0x xw u x 
 
 

0
b
x
xa
dI F Fv v dx
u ud
 
    
  
 
  
  0
b b
x
xa a
F Fvdx v dx
u u
  
  
bb b b
x
x x x xa a aa
F F d F d Fv dx v vdx vdx
u u u udx dx
     
    
    
     
      
     
0
x
F
u
b b
a a
F dvdx vdx
u dx
 
 
 
  
  0
x
F d F
u dx u
b
a
vdx
  
      
 

 


17. The Euler-Lagrange Equation
• Since v(x) is an arbitrary function, the only way for the integral to be zero is for the other factor of the
integrand to be zero. (Vanishing Theorem)
• This result is known as the Euler-Lagrange Equation
• E-L equation allows generalization of solution extremals to all variational
problems.
0
x
F d F
u dx u
b
a
vdx
  
      
 

 

x
F d F
u dx u
  
  
  

18. Functions of Two Variables
• Analogy to multivariable calculus:
• Functions still take extreme values on bounded
domain.
• Necessary condition for extremum at x0, if f is
differentiable:
   0 0 0 0, , 0x yf x y f x y 
• Calculus of variations method similar:
 , , , ,x y
D
I F x y u u u dxdy       , , ,w x y u x y v x y 
   , , , ,
yx
x y
x yD D
wwdI d F w F F
F x y w w w dxdy dxdy
d d w w w

    
    
           
 
0x y
x yD D D
F F F
vdxdy v dxdy v dxdy
u u u
  
  
    
0
x yD
F d F d F
vdxdy
u dx u dy u
     
              
 x y
F d F d F
u dx u dy u
    
    
      

19. Soap Film
When finding the shape of a soap bubble that spans a wire ring, the shape
must minimize surface area, which varies proportional to the potential energy.
Z = f(x,y) where (x,y) lies over a plane region D
The surface area/volume ratio is minimized in order to
minimize potential energy from cohesive forces.
      
2 2
, ;
1 x y
D
x y bdy D z h x
A u u dxdy
 
  
类似比表面积

20. Vito Volterra, 1881: There exists a
function, F(x), whose derivative, F '(x),
exists and is bounded for all x, but the
derivative, F '(x), cannot be integrated.
特例1：震荡

21. The Fundamental Theorem of Calculus:
1. If then
2.If f does not have a jump discontinuity at x, then
f x a
b
 dx  F b  F a .F' x   f x  ,
d
dx
f t dt  f x a
x
 .
If F is differentiable at x = a, can F '(x) be
discontinuous at x = a?

22. F x  
x2
sin 1
x , x  0,
0, x  0.



If F is differentiable at x = a, can F '(x) be
discontinuous at x = a?
Yes!

23. F x  
x2
sin 1
x , x  0,
0, x  0.



F' x   2xsin 1
x  cos 1
x , x  0.

24. F x  
x2
sin 1
x , x  0,
0, x  0.



F' x   2xsin 1
x  cos 1
x , x  0.
F' 0   lim
h 0
F h  F 0 
h
 lim
h0
h2
sin 1
h 
h
 lim
h0
hsin 1
h  0 .

25. F x  
x2
sin 1
x , x  0,
0, x  0.



F' x   2xsin 1
x  cos 1
x , x  0.
F' 0   lim
h 0
F h  F 0 
h
 lim
h0
h2
sin 1
h 
h
 lim
h0
hsin 1
h  0 .
lim
x0
F' x  does not exist, but
F' 0  does exist (and equals 0).
七上八下没个准

26. “Cantor’s Set”
First described by H.J.S. Smith, 1875
Then by Vito Volterra, 1881
And finally by Georg Cantor, 1883
特例2：缺席了

27. Cantor’s Set
0 11/3 2/3
Remove [1/3,2/3]
1/9 2/9 7/9 8/9
Remove [1/9,2/9] and [7/9,8/9]
0 11/3 2/3
Remove [1/3,2/3]

28. Cantor’s Set
0 11/3 2/3
Remove [1/3,2/3]
1/9 2/9 7/9 8/9
Remove [1/9,2/9] and [7/9,8/9]
Remove [1/27,2/27], [7/27,8/27], [19/27,20/27], and [25/27,26/27], and so on … What’s left?
雁过拔毛光身子了

29. Cantor’s Set
0 11/3 2/31/9 2/9 7/9 8/9
1
1
3

2
9

4
27

8
81




 1
1
3
1
2
3





2
3




2

2
3




3







 1
1
3

1
1 2
3
 1 1  0 .
What’s left has
measure 0.

30. Create a new set like the Cantor set except
the first middle piece only has length 1/4
each of the next two middle pieces only have length 1/16
the next four pieces each have length 1/64, etc.
The amount left has size 1
1
4

2
16

4
64

23
44 






 1
1
4
1
2
4





2
4




2

2
4




3







 1
1
4

1
1 1
2

1
2

31. We’ll call this set SVC (for Smith-Volterra-Cantor).
It has some surprising characteristics:
1. SVC contains no intervals - no matter how small a subinterval of [0,1] we take, there will be
points in that subinterval that are not in SVC. SVC is nowhere dense.
2. Given any collection of subintervals of [0,1], whose union contains SVC, the sum of the lengths of
these intervals is at least 1/2.
见面只分一半，留一条底裤

32. Volterra’s construction:
Start with the function F x  
x2
sin 1
x , x  0,
0, x  0.



Restrict to the interval [0,1/8], except find the largest value of x on this interval at which F '(x) = 0, and keep F
constant from this value all the way to x = 1/8.

33. Volterra’s construction:
To the right of x = 1/8, take the mirror image of this function: for 1/8 < x < 1/4, and outside of
[0,1/4], define this function to be 0. Call this function .
f1 x 

34. is a differentiable function for all values of x, but
Volterra’s construction:
f1 x 
lim
x0
f1' x  and lim
x
1
4

f1' x  do not exist

35. Now we slide this function over so that the portion that is not identically 0 is in the interval
[3/8,5/8], that middle piece of length 1/4 taken out of the SVC set.

36. We follow the same procedure to create a new function, , that occupies the interval
[0,1/16] and is 0 outside this interval.
f2 x 
吃饱了撑的

37. We slide one copy of into each interval of length 1/16 that was removed from
the SVC set.
f2 x 

38. Volterra’s function, V(x), is what we obtain in the limit as we do this for every interval removed from
the SVC set. It has the following properties:
1. V is differentiable at every value of x, and its derivative is bounded (below by –1.013 and above by
1.023).
2. If a is a left or right endpoint of one of the removed intervals, then the derivative of V at a exists
(and equals 0), but we can find points arbitrarily close to a where the derivative is +1, and points
arbitrarily close to a where the derivative is –1.
No matter how we partition [0,1], the pieces that contain endpoints of removed intervals
must have lengths that add up to at least 1/2.
The pieces on which the variation of V ' is at least 2 must have lengths that add up to at least
1/2.
左手不相信右手

39. Recall:
Vi  sup
x[ xi1, xi ]
f x   inf
x[xi1,xi ]
f x 
Integral exists if and only if can be made as small as we wish by taking sufficiently small
intervals. Vi xi  xi1 

40. Conclusion: Volterra’s function V can be differentiated and has a bounded derivative, but
its derivative, V ', cannot be integrated:
d
dx
V x   v x , but v t  dt  V x 0
x
  V 0 .
需要从新定义积分（泛函）！

41. Lebesgue Measure

42. Lebesgue Integration

43. 研修（不是教学）大纲 TOC: Space
 《泛函分析》
讲座集中现代数学基础的重要基本∞抽象思想方法，以及工程难题的解答，内容可归纳为
 空间论
主要讲解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和
内积空间，以及它们的拓扑结构。
 算子论
主要讲述关于线性泛函的“五大基本定理”：Riesz定理，开映像定理，闭图像定理，共鸣定
理，Hahn-Banach定理。
 谱论
主要讲解有界算子谱论及紧算子谱论的一些基本结论。
紧的含义：一尺之棰，日取其半，万世不竭。——《庄子·天下》，公元前300年
a平方b平方2ab
《周髀算经》345勾股定理，商高， 公元前1000年
代数 几何
C++OO
编
程
模
板

44. 言归正传

45. 线性空间: Linear Space
只会算加法

46. Norm: 范数
万岁无疆为人民服务的大王：
埃及著名的胡夫的前臂作为
腕尺建造的,塔高为280腕尺．
公元9世纪撒克逊王朝亨利一
世规定,他的手臂向前平伸,从
鼻尖到指尖的距离定为”1
码”．
10世纪英国国王埃德加,把他
的拇指关节之间的长度定
为”1寸”
相传我国古代大禹治水时,曾
用自己的身体长度作为长度
标准进行治水工程的测量．
唐太宗李世民规定,以他的双
步,也就是左右脚各一步作为
长度单位,叫做”步”．并 规
定一步为五尺,三百步为一里；
后来又规定把人手中指的当
中一节定为”1寸”．

47. Fixed Point Contraction Mapping

48. Club带我玩不
Topological Space

49. 量啥呢？Measure Space

50. 研修（不是教学）大纲 TOC: Operator
 《泛函分析》
讲座集中现代数学基础的重要基本∞抽象思想方法，以及工程难题的解答，内容可归纳为
 空间论
主要讲解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和
内积空间，以及它们的拓扑结构。
 算子论
主要讲述关于线性泛函的“五大基本定理”：Riesz定理，开映像定理，闭图像定理，共鸣定
理，Hahn-Banach定理。
 谱论
主要讲解有界算子谱论及紧算子谱论的一些基本结论。
紧的含义：一尺之棰，日取其半，万世不竭。——《庄子·天下》，公元前300年
a平方b平方2ab
《周髀算经》345勾股定理，商高， 公元前1000年
代数 几何
C++OO
编
程
模
板

51. Riesz表示定理

52. 热力学物理Meaning

54. Freuency域与Time域等价：能量守恒

55. 欧几里得: Euclid

56. 希尔伯特: Hilbert

58. 空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内
的空间叫完备空间,有理数空间不是完备的，
因为sqrt {2}的有限位小数表示是一个柯西序列，
但是其极限 sqrt {2}不在有理数空间内。

59. Surjection

60. Category （纲）
a nowhere dense set on a topological space is a set whose closure has empty interior.

61. Open Mapping Theorem
Complete Measure Space is Dense Set

62. 有啥子用？

63. Direct Sum 图

64. Closed Graph Theorem

65. Fixed Point Theorem

66. Resonance Theorem
Uniform boundedness

67. Usage

70. Usage

71. 研修（不是教学）大纲 TOC: Spectrum
 《泛函分析》
讲座集中现代数学基础的重要基本∞抽象思想方法，以及工程难题的解答，内容可归纳为
 空间论
主要讲解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和
内积空间，以及它们的拓扑结构。
 算子论
主要讲述关于线性泛函的“五大基本定理”：Riesz定理，开映像定理，闭图像定理，共鸣定
理，Hahn-Banach定理。
 谱论
主要讲解有界算子谱论及紧算子谱论的一些基本结论。
紧的含义：一尺之棰，日取其半，万世不竭。——《庄子·天下》，公元前300年
a平方b平方2ab
《周髀算经》345勾股定理，商高， 公元前1000年
代数 几何
C++OO
编
程
模
板

72. Equations

74. 好借好还，再借不难：Regular

75. 老老实实做人，规规矩矩办事

76. Spectrum的严格定义

77. 先看清楚自己与Self的关系

78. 正则集合是开的: Open

79. 谱集合是紧的: Compact
Compact

80. 计算Radius

81. 回到Reality世界

82. 紧啥呢？
Compact operator

83. 题外话：Deep Learning Convolution是不可逆投影域变换

84. 会当临绝顶

85. 一览众山小
n倍的s或者是s份的n
在天上转无穷个圈
或者在地下跑一圈

86. 深思 Imaginary Number
比无理数更虚幻的超越数

87. Automorphic Form

88. 裁缝店的那点事
一块做大人衣服的
布料，能做几件小
人衣服，零头布还
能当（方的）尿布
吗？

89. L 函 子
朗兰兹函数（年青函数）的精神：
L函数为数学对象的数值不变量
（通常为整数）的生成函数或无
限维李群的特征，可视为为复平
面上解析函数，这些数学对象可
以是表示 ，代数簇，流形，微分
算子等等，L（年青）函数期望
具有好的解析性质，比如函数方
程 乘积展开 零点和极点分布，
通过这些性质反映数学对象的算
术的，代数的，几何的，拓扑的，
组合的性质，以及它们的对称性
等等。

90. Pentagon 五角大楼

91. 自守钱贝流

92. 忘记嵌入日期的信

93. 再回到 Year 1880

94. 映入自相似Periodicity

95. 抛开无穷尖点不算就是五指山

96. 搞来搞去，其实还是，喔靠，谱吗？

97. 最好压根没有钓鱼岛哎。。。

98. 革命纲领一统天下

99. 心里还是惦记着：行银民人国中
破解椭圆加密？

100. 用斯猫加密吧，再见也不见也！

101. 15862930930@163.com
PPT参考资料太多只好偷懒了
🐎Steed的11维坐标：
https://academictree.org/etree/peopleinfo.php?pid=731115
https://www.researchgate.net/profile/Jun_Huang38
https://www.slideshare.net/JunSteedHuang
https://twitter.com/steedhuang
https://www.facebook.com/steed.huang
https://www.linkedin.com/in/jun-steed-huang-437410/
http://baike.baidu.com/item/%E9%BB%84%E9%AA%8F/6399287
http://www.renren.com/343081060
http://weibo.com/junsteedhuang
https://github.com/steedhuang/swan-swarm-algorithm
http://cse.sustc.edu.cn/en/people/view/people_id/60/sort_id/13/pid/