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![[PRML] パターン認識と機械学習（第1章：序論）](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/prmlchapter1-170903070406-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
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- 2. 目次 • 空間的自己相関とは • Python3における実装環境 •適用例 • まとめ • 参考文献
- 3. QUIZ １ ３ ?７ ９
- 4. QUIZ １ ３ ５７ ９
- 5. 空間的自己相関とは • 「おとなりとの関係」のこと • ものごとの予測の際、となりの地域と全 く無関係であるという仮定が難しい場合 がある。 •となりの状況を踏まえて考えると妥当な 推定値が得られる場合がある • 階層ベイズモデルの一部に組み込む ことが出来る • この際、MCMCサンプリングを行う • どの地域が「隣接」しているかは、研究 者自身が決定する必要あり(地理的近接 に限らない)
- 6. Python3における実装環境 • PyMC3によっ てモデリング/ サンプリング 可能 • PyMC2とモデ リングのやり 方が違うので 注意 •ただし、隣接 行列は自力で 指定する必要 あり?
- 7. 適用例 • Scotlandのlip cancer(口唇がん) •Clayton, and Kaldor, 1987. ほか • 口唇がん：悪性新生物の1つ。日光などが因子となって発生するとされ る。 • ⇒普段外で働いている人が多い地域では、症例が多くなるのでは？ • 各地域の1975-1980に報告された症例件数と、人口に占める農林水産 業従事者の割合、加えて各地域の期待死亡数(既知)をもとに、地域ご とのリスク(SMR)を推計してみよう
- 8. 適用例 • SMR：ある基準集団と比較した際の相対的なリスク • SMR＞１⇒相対リスク高い •基準集団の例：全国 • 𝑺𝑴𝑹 = 𝒀 𝒊 𝑬 𝒊 • 𝑌𝑖：地域iの死亡数 • E𝑖：地域iの期待死亡数 • 𝑬𝒊 = 𝒋 𝑫 𝒋 𝑵 𝒋 ∗ 𝑵𝒊𝒋 • D𝑗: 基準集団での年齢𝑗の死亡数 • 𝑁𝑗: 基準集団での年齢𝑗の人口 • 𝑁𝑖𝑗: 地域iでの年齢jの人口 今回は、𝑬𝒊を既知とする
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- 10. 適用例 • 前頁で示したSMR 推定値の問題点 • 人口の少ない地域 では、ばらつきが 大きい •規模の小さい地域 では推定制度が悪 い(小地域問題) ⇒ベイズ統計を使っ て死亡数を推定しよ う
- 11. 適用例 • モデル ※あくまでも一例 •0𝑖~𝑃𝑜(exp( μ𝑖)) • 𝑌𝑖の観測値であるO𝑖は、平均 exp( μ𝑖)のポワソン分布に従う • 𝜇𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝑎𝑓𝑓𝑖 + 𝝋𝒊 + 𝜃𝑖 + 𝑙𝑜𝑔(𝐸𝑖) • μ𝑖は上のような線形予測値に従う。aff:農林水産業従事者の割合 • 𝝋𝒊|𝝋𝒋,𝒋≠𝒊~ 𝑵(𝜶 𝒋=𝟏 𝒏 𝒃𝒊𝒋 𝝋𝒋, 𝝈 𝒄𝒊 𝟐 ) • 𝜑𝑖: 地域間のランダム効果。上記のような正規分布に従い、他地域の𝜑𝑗 と相関している(空間的自己相関) • 𝜃𝑖~ 𝑁(0, 𝜎ℎ𝑖 2 ) • 𝜃𝑖:地域内のランダム効果。
- 12. 適用例 • モデル(続き,事前分布関係) • σ𝑐𝑖~Gam 𝑎, 𝑏 , • 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 • σℎ𝑖~Gam 𝑎, 𝑏 , • 𝑎 = 3.2761, 𝑏 = 1.81 • 𝛽 𝑘~𝑁(0, 105), k = 1, 2 ポワソン分布、平均𝜇𝑖 無情報 事前分布 階層事前 分布σ 𝑐𝑖 階層事前 分布σℎ𝑖 ガンマ分布ガンマ分布 説明変数 O𝒊 β φθaff, E
- 13. 適用例 • 事後分布は同時確率(尤度)と事前分布に比例する • 事後分布：データYを得たときにパラメータが従う確率分布 •尤度：パラメータがある値をとったときにYが得られる確率 • 事前分布：パラメータがあらかじめ従っている分布 • 𝑝 β0, β1, 𝜎𝑐𝑖 , 𝜑𝑖 , 𝜎ℎ𝑖 , θ𝑖 𝑌) ∝ 𝑝 𝜑𝑖 𝜎𝑐𝑖 )𝑝(𝜎𝑐𝑖 )𝑝 θ𝑖 𝜎ℎ𝑖 )𝑝(𝜎ℎ𝑖 )𝑝(β0)𝑝(β1) ∗ 𝑖 𝑝(𝑦𝑖|μ𝑖)
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- 16. 適用例 • SMR =exp(−0.198 + 0.031 ∗ 𝑎𝑓𝑓𝑖 +log( 𝐸𝑖))/ 𝐸𝑖 として、冒頭の結果と比較 Q この周辺確率分布の平均を 利用してよいか？？？
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- 19. まとめ • 今回できたこと • MCMCをもちいてサンプリングし、空間的自己相関の構造をもつモデ ルで特徴量を推計した。 •その結果を散布図や地図で吟味した。 • 次のステップ・わからないこと • 隣接行列の設定方法を確認する • 予測値の当てはめ方法を確認する • 階層ベイズモデルについて今一度確認する(事後確率・尤度・事前確 率) • PyMC3をより随意に使えるようにする
- 20. 共有事項 • Google Coraboratry：サン プリング中は、長い 時間回してもタイム アウトしなかった。 • GeoDaData and Lab というサイトに いろいろなデータが 載っている。
- 21. References • 加藤直広・立森久照・高橋邦彦. (2016).地図の上で階層ベイズモ デリング. 岩波データサイエンス, 4, pp. 55-67. • 久保拓弥. (2012) . データ解析のための統計モデリング入門―一般 化線形モデル・階層ベイズモデル・MCMC. 岩波書店 • Clayton, D., and Kaldor, J. (1987). Empirical Bayes estimates of age standardized relative risks for use in disease mapping. Biometrics, 43,671-681, reproduced from Cressie, N. A. C. (1993). Statistics for Spatial Data. New York: John Wiley & Sons, p. 537 Table 7.2. • Lawson et al. (1999). Disease Mapping and Risk Assessment for Public Health. New York: Wiley, pp. 68-69, Table 5.1.
- 22. Websites • GeoDa Dataand Lab • https://geodacenter.github.io/data-and-lab// • PyMC3 Modeling tips and heuristic • https://docs.pymc.io/notebooks/PyMC3_tips_and_heuristic.htm l