More Related Content Similar to Cac phuong phap tim gtlngtnn
Similar to Cac phuong phap tim gtlngtnn (20) More from Tam Vu Minh (20) Cac phuong phap tim gtlngtnn1. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
A më ®Çu
C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 cã ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi häc
sinh ë bËc häc nµy .§Ó gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ,gi¸
trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè ngêi lµm to¸n ph¶i sö dông c¸c phÐp biÕn
®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®¹i sè , ph¶i biÕn ®æi vµ sö dông kh¸ nhiÒu
c¸c d¹ng h»ng ®¼ng thøc tõ c¸c d¹ng ®¬n gi¶n ®Õn c¸c d¹ng phøc t¹p .Bëi
thÕ , cã thÓ nãi c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc
sinh cã ®iÒu kiÖn rÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®¹i
sè.
C¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè ë ch¬ng tr×nh to¸n cÊp 2 cã sù liªn quan mËt thiÕt
®Õn c¸c kiÕn thøc chøng minh bÊt d¼ng thøc , c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh , c¸c kiªn thøc vÒ tËp hîp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ hµm sè.
VÒ mÆt t tëng bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè gióp häc sinh thªm gÇn gòi víi kiÕn thøc
thùc tÕ cña ®êi sèng x· héi , rÌn luyÖn nÕp nghÜ khoa häc , lu«n mong muèn
nh÷ng c«ng viÖc ®¹t hiÖu qu¶ cao nhÊt , tèt nhÊt .
Tãm l¹i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i ë chong tr×nh to¸n cÊp 2 lµ c¸c bµi to¸n
tæng hîp c¸c kiÕn thøcvµ kü n¨ng tÝnh to¸n rÌn kh¶ n¨ng t duy cho häc sinh ,
nã cã mét vai trß quan träng trong viÖc båi dìng häc sinh giái .Båi dâng HS thi
vµo c¸c trêng chuyªn , thi vµo cÊp 3.
B néi dung:
I. Ph¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc b»ng
c¸ch ®a vÒ d¹ng Ax ≥0 hoÆc Ax ≤ 0
a, C¬ së lý luËn
- Trong tËp hîp c¸c sè (nguyªn , h÷u tû , sè thùc) kh«ng ©m th× sè 0 cã gi¸ trÞ
nhá nhÊt .
- Trong tËp hîp c¸c sè (nguyªn , h÷u tû , sè thùc) ©m th× sè 0 cã gi¸ trÞ lín
nhÊt .
- Tõ ®ã ta cã kÕt luËn : NÕu M = Ax / Ax ≥0 th× GTNN cña Ax = 0
NÕu M = Ax / Ax ≤0 th× GT LN cña Ax = 0
b, C¸c vÝ dô .
VÝ dô 1:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
Ax = 2x2
- 8x +1 víi x lµ sè thùc bÊt kú.
Lêi gi¶i : Ta cã Ax = 2x2
- 8x +1 = 2( x- 2 )2
- 7 Ta cã víi mäi x th×
(x- 2)2
≥0 Nªn ta cã 2(x- 2)2
- 7 ≥-7 .
VËy Ax ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -7 khi x=2
VÝ dô 2:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Mx = - 5x2
- 4x + 1 víi x lµ sè thùc bÊt kú.
1
2. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
Lêi gi¶i: Ta cã Mx = - 5x2
- 4x + 1 = -5 ( x + 5
2
)2
+ 5
9
Víi mäi gi¸ trÞ cña x ta lu«n cã : -5 ( x + 5
2
)2
≤0 . VËy Mx ≤
5
9
(dÊu = x¶y ra
khi x = - 5
2
. Ta cã GTLN cña Mx = 5
9
víi x = - 5
2
.
II . Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc ®¹i sè b»ng
c¸ch ®a vÒ d¹ng 02
≥
k
Ax
hoÆc 02
≤
k
Ax
VÝ dô 3:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
Ax =
x
xx
3
16152
++
Vãi x lµ c¸c sè thùc d¬ng .
Lêi gi¶i: Ta cã Ax =
x
xx
3
16152
++
=
3
23
3
)4( 2
+
−
x
x
víi mäi x >0 th×
3
23
3
)4( 2
+
−
x
x
≥
3
23
. VËy GTNN cña Ax = 3
23
víi x= 4.
VÝ dô 4:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Mx=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
víi x thuéc tËp hîp sè thùc.
Lêi gi¶i: Ta cã Mx=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
= 3 + 2)1(
1
2
++x
.
V× 2)1(
1
2
++x
≤
2
1
nªn ta cã
Mx = 3 + 2)1(
1
2
++x
≤ 3 + 0,5 = 3,5. VËy GTLN Mx = 3,5 víi (x+1)2
= 0 hay x=
-1
VÝ dô 5:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Fx,y = 22
1)(
2442
222
+++
+−+
xyyx
xyyxy
víi x, y lµ c¸c sè thùc.
Lêi gi¶i:Ta cã Fx,y = 22
1)(
2442
222
+++
+−+
xyyx
xyyxy
= )2)(1(
1
24
4
++
+
xy
y
v× y4
+1 ≠ 0 víi mäi gi¸
trÞ cña x nªn ta chia c¶ tö vµ mÉu cho y4
+1 ta ®îc : Fx,y =
2
1
2
+x
v× x2
≥0 víi
mäi x nªn x2
+ 2 ≥2 víi mäi x ,vµ do ®ã ta cã Fx,y =
2
1
2
+x
≤
2
1
VËy Fx,y dËt GTLN = 2
1
víi x=0, y lÊy gi¸ trÞ tuú ý.
2
3. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
III. T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc ®¹i sè b»ng c¸ch ¸p dông bÊt ®¼ng thøc
C«si.
1.BÊt ®¼ng thøc C«si : Víi c¸c sè d¬ng a,b, c ta cã:
a + b ab2≥ ®¹t ®îc dÊu = khi a=b .
a + b+ c abc3≥ ®¹t ®îc dÊu = khi a=b = c .
2. C¸c vÝ dô :
VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
Ax =
x
x 28 2
+
víi x > 0.
Lêi gi¶i:Ta cã Ax =
x
x 28 2
+
= 8x + x
2
. Ta thÊy 8x vµ x
2
lµ hai ®¹i lîng lÊy gi¸
trÞ d¬ng ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng lµ 8x vµ x
2
ta cã:
8x + x
2
8162
2
.82 ==≥
x
x dÊu = xÈy ra khi 8x = x
2
= > x = 2
1
.
VËy GTNN Ax = 8 víi x = 2
1
.
VÝ dô 7 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Bx = 16x3
- x6
víi x thuéc tËp hîp c¸c sè thùc d¬ng .
Lêi gi¶i: Tríc hÕt ta ph¶i t×m c¸ch biÕn ®æi ®Ó ¸p dông ®îc bÊt ®¼ng thøc
C«si ta cã
Bx = 16x3
- x6
= x3
(16- x3
) . Ta cã x3
> 0 , cßn 16 – x3
> 0 khi 16 > x3
hay x <
3
16 (*)
ta thÊy x3
vµ 16 – x3
lµ hai ®¹i lîng d¬ng . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai
sè d¬ng x3
vµ 16- x3
ta cã 2 1616)16( 3333
=−+≤− xxxx suy ra x3
( 16 – x3
) ≤ 64
dÊu = xÈy ra khi x3
= 16- x3
=> x = 2 (Tho¶ m·n *). GTLN cña Bx = 64 , víi
x=2.
IV. Gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô :
VÝ dô 8 :
Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc
Px =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Lêi gi¶i: Ta cã : Px =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
= 4x2
+ 8x+ 20 +
52
256
2
++ xx
V× x2
+ 2x +5 = (x+1)2
+4 > 0 (*) nªn Px lu«n x¸c ®Þnh víi mäi x ta ®Æt
y = x2
+ 2x + + 5 , ta cã Px = 4y + y
256
víi y > 0 , ta thÊy 4y vµ y
256
lµ hai ®¹i
lîng lu«n d¬ng .¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng 4y vµ y
256
ta
cã :
3
4. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
4y + y
256
6416.2.2
256
.42 ==≥
y
y . DÊu = xÈy ra khi 4y = y
256
=> y = 8 hoÆc
y = -8
tõ ®ã tÝnh ®îc x= -3 hoÆc x=1. VËy víi x=-3 hoÆc x=1 th× GTNN cña Px =
64.
VÝ dô 9 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :
Qx = (x2
- 2x + 2)(4x- 2x2
+ 2) víi x thuéc tËp hîp c¸c sè thùc.
Lêi gi¶i: §Æt x2
- 2x +2 = y ta cã 4x – 2x2
+ 2 = -y +6 . VËy Qx = y ( 6- 2y).
Ta cã 2Qx = 2y(6-2y) , ta thÊy x2
- 2x+2 = (x- 1)2
+1 >0 => y >0 => 6-2y > 0
khi y<3
VËy 2y vµ 6-2y lµ hai sè d¬ng .¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng
2y vµ 6-2y ta cã : 2y + 6-2y )26(22 yy −≥ => 3 ≥ )26(2 yy − => 9 ≥ 2 Qx
dÊu = xÈy ra khi
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vµo ta cã x2
- 2x +2 = 1,5 => x = 1+
2
2
hoÆc x=
1 -
2
2
.VËy GTLN cña Qx = 4,5 víi x = 1+
2
2
hoÆc x= 1 -
2
2
.
VÝ dô 10 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :
Hx = (8 + x2
+ x )(20 – x2
–x) víi x lµ c¸c sè thùc tuú ý .
Lêi gi¶i: Ta cã : * 8+ x2
+ x =( x+ 2
1
)2
+ 4
31
>0 víi mäi gi¸ trÞ cña x
*20 – x2
–x > 0 khi -5 < x < 4 .
Nh vËy Hx = (8 + x2
+ x )(20 – x2
–x) >0 khi -5 < x <4 . Tõ ®ã suy ra Hx cã gi¸
trÞ lín nhÊt th× GTLN ®ã chØ ®¹t ë trong kho¶ng x¸c ®Þnh (-5 ; 4).
Víi -5 <x <4 ta cã 8+ x2
+ x vµ 20 – x2
–x lu«n d¬ng . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc
C«si cho hai ®¹i lîng d¬ng 8+ x2
+ x vµ 20 – x2
–x ta cã :
(8+ x2
+ x )+( 20 – x2
–x) )20)(8(2 22
xxxx −−++≥
14 )20)(8( 22
xxxx −−++≥ => 196 ≥ (8 + x2
+ x )(20 – x2
–x) .DÊu =
xÈy ra khi 8+ x2
+ x =20 – x2
–x => x= 2 hoÆc x= -3.
Hay Hx ≤ 196 .VËy GTLN cña Hx = 196 ,víi x=2 hoÆc x = -3.
V. T×m GTLN, GTNN cña c¸c biÓu thøc chøa nhiÒu ®¹i lîng .
VÝ dô 11 :
T×m gi¸ trÞ cña m, p sao cho A = m2
– 4mp + 5p2
+ 10m – 22p + 28 ®¹t gi¸
trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
Lêi gi¶i:
Ta cã A = m2
– 4mp + 5p2
+ 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2
+ ( p – 1)2
+27 +
10(m – 2p)
§Æt X = m-2p ta cã A = X2
+ 10 X +( p-1)2
+ 27 = (X+5) 2
+ (p-1)2
+ 2 .
Ta thÊy (X+5) 2
≥0 ; (p-1)2
≥0 víi mäi m, p do ®ã A ®¹t GTNN khi X+ 5=0 vµ
p-1=0.
4
5. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn trªn ta ®îc p= 1 , m= -3 .VËy GTNN cña A = 2 víi p= 1, m=-
3
VÝ dô 12 :
T×m gi¸ trÞ cña x, y sao cho F = x2
+ 26y2
– 10xy +14x – 76y + 59. ®¹t gi¸ trÞ
nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
Lêi gi¶i:
Ta cã F = x2
+ 26y2
– 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2
+ (y-3)2
+14(x-5y)+50.
§Æt Èn phô : Z = x-5y ta cã F = (Z+7)2
+ (y- 3)2
+1 ≥1.
DÊu = xÈy ra khi Z+7=0 vµ y-3 = 0 gi¶ hÖ ®iÒu kiÖn trªn ta ®îc x=8 y= 3
.VËy GTNN cña F = 1 víi x=8, y=3 .
VÝ dô 13 :
T×m gi¸ trÞ cña x, y,z sao cho P = 19x2
+54y2
+16z2
-16xz – 24yz +36xy +5.
§¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
Lêi gi¶i:
Ta cã P = 19x2
+54y2
+16z2
-16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2
+ 36xy + 36y2
) +
(18y2
- 24yz +8z2
) + (8x2
– 16xz + 8z2
) + 2x2
+ 5 hay
P = 9(x+2y)2
+ 2(3y – 2z)2
+ 8(x- z )2
+ 2x2
+ 5 .Ta thÊy (x+2y)2
≥ 0 ;
(3y – 2z)2
≥ 0; (x- z )2
≥ 0; 2x2
≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x, y, z .
VËy GTNN cña P = 5 ®¹t ®îc khi x+2y = 0 vµ 3y- 2z =0 vµ x- z =0 vµ x=0 .
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc x= y =z = 0 .
VI. T×m GTLN,GTNN b»ng ph¬ng ph¸p sö dông bÊt ®¼ng thøc Buanhiac«pski.
*BÊt ®¼ng thøc Buanhiac«pski.
( a1b1 + a2b2 + .........anbn)2
≤ (a1
2
+ a2
2
+......+an
2
)(b1
2
+ b2
2
.......bn
2
)
DÊu b»ng xÈy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
=== ......
2
2
1
1
*C¸c vÝ dô :
VÝ dô 14 : T×m c¸c gi¸ trÞ cña x,y,z ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .
P = x2
+ y2
+z2
. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã biÕt : x+y+z = 1995.
Lêi gi¶i:
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Buanhiacèpki cho bé ba sè : 1, 1, 1 vµ x, y, z ta cã :
(x.1 + y.1 + z.1)2
≤ (1 + 1+ 1)(x2
+ y2
+ z2
)
Hay : ( x + y +z )2
≤ 3.(x2
+ y2
+ z2
) . Tõ ®ã ta cã :
P = x2
+ y2
+ z2
≥
3
1995
3
)( 22
=
++ zyx
( V× theo gi¶ thiÕt x+ y +z =1995).
VËy GTNN cña P =
3
19952
dÊu = xÈy ra khi x =y =z kÕt hîp víi gi¶ thiÕt x + y
+z = 1995 .Ta cã x= y =z =665.
VÝ dô 14 :
Cho biÓu thøc Q = zyx .542 ++ . Trong ®ã x,y,z lµ c¸c ®¹i lîng tho¶ m·n ®iÒu
kiÖn
x2
+ y2
+ z2
= 169.T×m GTLN cña Q.
5
6. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
Lêi gi¶i:
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Buanhiacèpki cho bé ba sè : 2, 4, 5 vµ x, y, z ta cã :
(2x + 4y + 5 z)2
≤{ 22
+ 42
+ ( 5 )2
}( x2
+ y2
+ z2
) .
Hay Q2
≤{ 22
+ 42
+ ( 5 )2
}( x2
+ y2
+ z2
) v× x2
+ y2
+ z2
= 169 nªn Q2
≤
25.169.
VËy GTLN cña Q= 65 , dÊu = xÈy ra khi 542
zyx
== vµ x2
+ y2
+ z2
= 169 tõ ®ã
t×m ®îc x = 5
26
;
5
26
− . y= .
5
52
;
5
52
− z =
5
513
;
5
513
−
VII. C¸c bµi tËp ¸p dông :
Bµi 1: Cho biÓu thøc : Q =
544
3
2
+− xx
. T×m GTLN cña Q.
Bµi 2: BiÓu thøc : P =
2
12
2
+
+
x
x
cã gi¸ trÞ lín nhÊt kh«ng ?
H·y chøng tá kh¼ng ®Þnh cña m×nh.
Bµi 3: Cho biÓu thøc : A =
12
1
2
2
++
++
xx
xx
. Víi x ≠ -1 , x >0 .H·y t×m GTNN cña A.
Bµi 4: Cho biÓu thøc : B=
126
146
2
2
+−
+−
xx
xx
. T×m GTLN cña B.
Bµi 5: Cho biÓu thøc: F =
x
xx
3
16152
++
. Víi x >0. H·y t×m GTNN cña F.
Bµi 6: Cho biÓu thøc: A = 4
2
1 x
x
+
. H·y t×m GTLN cña A.
Bµi 7: Cho biÓu thøc: Y =
x
xx )8)(2( ++
. Víi x > 0 . H·y t×m GTNN cña Y.
Bµi 8: Cho biÓu thøc: Y =
1
122 23
−
−−+
x
xxx
. T×m GTNN cua Y.
VIII. Híng dÉn gi¶i vµ ®¸p sè :
Bµi 1:Ta cã : Q = 4
3
4)12(
3
2
≤
+−x
. VËy GTLN cña Q = 4
3
, víi x= 0,5.
Bµi 2: Ta cã P = 1 -
2
)1(
2
2
+
−
x
x
. V×
2
)1(
2
2
+
−
x
x
≥0 víi mäi x nªn P ≤1. VËy GTLN
cña P= 1
khi x=1.
Bµi 3:Ta cã : A= 1 - 2
1
1
++
x
x . §Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi 2
1
1
++
x
x ®¹t GTLN
muèn vËy x+ x
1
+ 2 ph¶i ®¹t GTNN. Mµ x> 0 nªn x
1
> 0 ¸p dông bÊt ®¼ng
thøc C«si cho hai sè d¬ng x vµ x
1
ta cã : x + x
1
x
x
1
.2≥ = 2 .DÊu = xÈy
ra khi
x = x
1
=> x= 1; x = -1 (Lo¹i ).
6
7. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
VËy GTNN cña A = 1 - 4
3
4
1
= , víi x= 1.
Bµi 4: Ta cã : B=
126
146
2
2
+−
+−
xx
xx
= 1+ 3)3(
2
2
+−x
. Ta thÊy B cã GTLN th×
3)3(
2
2
+−x
ph¶i ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt , vµ do ®ã (x-3)2
+ 3 ph¶i ®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt .
Ta cã (x- 3)2
+ 3 ≥ 3 víi mäi x . VËy GTLN cña B = 3
5
, víi x = 3.
Bµi 5: Ta cã F =
x
xx
3
16152
++
. Víi x >0 chia tö cho mÉu ta cã F = 5
3
16
3
++
x
x
v× x
> 0
Nªn 3
x
> 0; x3
16
> 0 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã : 3
x
+ x3
16
x
x
3
16
3
2≥ =
3
8
; DÊu = xÈy ra khi x = 4. VËy GTNN cña F = 5 + 3
8
= 3
23
; víi x = 4.
Bµi 6: Ta cã : A = 4
2
1 x
x
+
víi x ≠ 0 th× A = 2
2
1
1
x
x
+
. A ®¹t GTLN khi 2
1
x
+ x2
nhá nhÊt , ta thÊy x2
vµ 2
1
x
lµ hai sè d¬ng nªn theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta
cã:
x2
+ 2
1
x 2
2 1
.2
x
x≥ = 2 . DÊu = xÈy ra khi x4
= 1 => x= 1; x = -1.
VËy GTLN cña A = 2
1
, víi x= 1; x = -1.
Bµi 7: Ta cã : Y =
x
xx )8)(2( ++
. Víi x > 0 Y = x + x
16
+ 10
x
x
16
.2≥ + 10 = 18
( Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng x vµ x
16
). DÊu = xÈy ra khi x =
4.
VËy GTNN cña Y = 18; víi x = 4 .
Bµi 8: Ta cã : Y =
1
122 23
−
−−+
x
xxx
( víi x ≠ 1) Y = ( x + 2
3
)2
- 4
5
4
5
−≥ .
DÊu = xÈy ra khi x = - 2
3
.
VËy GTNN cña Y = - 4
5
; víi x = - 2
3
.
c. kÕt luËn :
C¸c bµi to¸n vÒ t×m GTLN; GTNN lµ mét d¹ng to¸n kh«ng thÓ thiÕu trong ch-
¬ng tr×nh to¸n cÊp 2 . C¸c bµi to¸n nµy lµ mét trong nh÷ng chñ ®Ò quan träng
®Ó båi dìng häc sinh giái vµ luyÖn thi vµo cÊp 3; luyÖn thi vµo trêng chuyªn.
Víi kinh nghiÖm cña b¶n th©n trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· suy tÇm c¸c
bµi to¸n vÒ t×m GTLN; GTNN vµ c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n
7
8. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
nµy . §ã chÝnh lµ néi dung t«i thÓ hiÖn trong chuyªn ®Ò . Do kinh nghiÖm
cña b¶n th©n cßn h¹n chÕ nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt rÊt mong sù
®ãng gãp cña c¸c thÇy c« gi¸o ; cña c¸c em häc sinh ®Ó chuyªn ®Ò ®îc hoµn
thiÖn h¬n. Mäi gãp ý xin liªn hÖ sè ®iÖn tho¹i 0982 172 094 T«i xin ch©n
thµnh c¶m ¬n .
VÜnh Têng th¸ng 2 n¨m 2008
Cao Quèc Cêng
8