Ap dung bat dang thuc de giai phuong trinh he pt

Trêng THCS B¾c Hång Phßng GD ThÞ x·
Hång LÜnh
¸p dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó g¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng
tr×nh
I, Lý do chän ®Ò tµi.
1. C¬ së lý luËn:
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n vµ båi dìng HSG to¸n ë trêng THCS. Çc bµi
to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh rÊt ®a d¹ng phong phó. §ã lµ mét kho
tµng bÝ mËt mµ ai yªu to¸n còng thÝch t×m tßi vµ kh¸m ph¸, nhng nh÷ng vÊn
®Ò kh¸m ph¸ ®îc chØ lµ mét phÇn nhá tromg kho tµng tri thøc. Chóng ta lµ
nh÷ng ngêi yªu to¸n kh«ng thÓ kh«ng b¾t tay t×m hiÓu mét vÊn ®Ò g× ®ã
®Ó gãp phÇn vµo sù phong phó cña to¸n häc nãi chung vµ gi¶i ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh nãi riªng. Trong ch¬ng tr×nh nµy t«i muèn tr×nh bµy mét
sè hiÓu biÕt cña m×nh vÒ “ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó g¶i ph¬ng tr×nh vµ
hÖ ph¬ng tr×nh”.
2. C¬ së thùc tiÔn:
Qua qu¸ tr×nh d¹y to¸n vµ båi dìng to¸n ë trêng THCS. Çc bµi to¸n vÒ ph-
¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh biÕt ®îc b¾t ®Çu tõ líp 7, 8, 9 nhÊt lµ sau khi
häc sinh líp 8 häc xong h»ng ®¼ng thøc th× çc bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh còng ®îc n©ng cao vÇ ph¸t triÓn. VÊn ®Ò ®Æt ra trong
qu¸ tr×nh båi dìng HSG çc líp 8, 9 th× viÖc t×m ra çch gi¶i ph¬ng tr×nh vµ
hÖ ph¬ng tr×nh nh thÔ nµo ®Ó häc sinh nhanh chãng t×m ra ph¬ng ph¸p
gi¶i t¹o cho HS cã høng thó t×m hiÓu vÒ bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph-
¬ng tr×nh. ChÝnh v× vËy mµ mÊy n¨m t×m tßi, nghiªn cøu thÓ nghiÖm qua
d¹y båi dìng t«i d· t×m ra mét sè ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gióp HS t×m ra ph-
¬ng ph¸p gi¶i. Trong ®ã cã ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng
tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
II, Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu.
Môc ®Ých lµ ®Ó n©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n phôc vô gi¶ng d¹y m«n
to¸n nãi chung vµ båi dìng HSG vÒ lÜnh vùc gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng
tr×nh.
NhiÖm vô nghiªn cøu ®Ó t×m ra çc tÝnh chÊt ®Æc trng cña mét sè ph-
¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh ®Ó gi¶i nã b»ng ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng
thøc nh»m ph¸t triÓn t duy to¸n häc tõ cô thÓ ®Õn tæng qu¸t vµ tõ tæng qu¸t
®Õn cô thÓ.
III, ph¹m vi nghiªn cøu
+ Ch¬ng tr×nh to¸n ë trêng THCS
+ §èi tîng HS ë khèi 8, 9.
IV, ph¬ng ph¸p nghiªn cøu.
+ §iÒu tra kh¶o s¸t thùc tÕ ®Ó n¾m ®îc chÊt lîng gi¶ng d¹y m«n to¸n ë
trêng THCS nhÊt lµ trong lÜnh vùc gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh vµ
båi dìng HSG.
Ngêi thùc hiÖn: Phan §×nh L¬ng 1

Hång LÜnh
+ §iÒu tra sù ph¸t triÓn t duy to¸n qua qu¸ tr×nh häc to¸n cña mét sè HS
kh¸ giái vÒ m«n to¸n.
+ §äc vµ nghiªn cøu kÜ SGK vµ çc tµi liÖu tham kh¶o vÒ m«n to¸n.
+ Thùc hµnh thÓ nghiÖm qua HS kh¸ giái.
V, §iÒu tra thùc tÕ.
T×nh h×nh çc n¨m qua vÒ viÖc HS t×m ra çch gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph-
¬ng tr×nh:
N¨m häc Khèi Sè HS kh¸
giái
Sè HS lµm ®îc nhanh chãng
dùa vµo tÝnh chÊt ®Æc trng
cña ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph-
¬ng tr×nh
2003 – 2004 8 30 15
9 30 20
2004 – 2005 8 33 20
9 33 25
2005 – 2006 8 35 22
9 35 27
2006 – 2007 8 38 25
9 38 30
VI. néi dung
A, Çc kiÕn thøc c¬ b¶n:
1, Cho A lµ biÓu thøc chøa Èn th×:
+ A2
≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn
+ 0A ≥ víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó A ≥ 0
+ A cã nghÜa khi chØ khi A ≥ 0
+ 0A ≥ víi mäi giÝa trÞ cña biÕn.
2, BÊt ®¼ng thøc C«si cho a1, a2, a3, …… an > 0 th×
1 2 3
1 2 3
....
. . ...
n
n
n
a a a a
a a a a
n
+ + + +
≥
DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi a1 = a2 = a3 = … an
3, BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki:
Cho hai bé sè bÊt k×: a1, a2, …, an
b1, b2, …., bn
Ta cã: ( a1b1 + a2b2 + … + anbn)2
≤ ( a1
2
+ a2
2
+ … + an
2
)( b1
2
+ b2
2
+ … + bn
2
)
DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi:
1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
= = =
B, ¸p dông çc biÓu thøc d¬ng gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh:
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 2 2
3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + + = − − (*)

Hång LÜnh
Gi¶i:
Ta cã: 3x2
+ 6x + 12 = 3x2
+ 6x + 3 + 9 = 3(x +1)2
+ 9 ≥ 9 víi mäi x.
5x2
+ 10x + 9 = 5x2
+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)2
+ 4 ≥ 4 víi mäi x.
⇒ 2 2
3 6 12 5 10 9 4 9 5x x x x+ + + + + ≥ + = (1)
Mµ 3 - 4x - 2x2
= 5 - 4x- 2x2
- 2 = 5 - 2(x2
+ 2x + 1)
= 5 - 2(x+1)2
≤ 5 víi mäi x (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ⇔ x = -1
Thö x = -1 ⇒ lµ nghiÖm cña (*)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2 3 5 ( 7)
2
2 1 3 1 5 1 0
3
4
6
x y z x y z
x y z
x
y
z
− + − + − = + + −
⇔ − − + − − + − − =
=

⇔ =
 =
3
1 2 1
2
xy
x y y x− + − = §K
1
1
y
x
≥

≥
⇔ 2 1 4 1 3x y y x xy− + − =
(1)
Do ( )
2
1 1 1 0x x y≥ ⇒ − − ≥ dÊu “=” x¶y ra khi y = 2
( )
2
1 2 1 1 0y y x≥ ⇒ − − ≥ dÊu “=” x¶y ra khi x = 2
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x = 2
y = 2
Bµi 4:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 10 13 26 24 8 4 1
4 4 6 9 4 4 25 20 4 4 1
2 3 2 5 2 4 1
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x
− + + − + = +
⇔ − + + − + + − + + − + = +
⇔ − + − + − + − = +
Ta cã:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3 3 3
2 5 2 5 2 5 2
5 2 3 4 1
x x x x
x x x x
VT x x x
− + − ≥ − ≥ −
− + − ≥ − ≥ −
⇒ ≥ − + − = +
DÊu “=” x¶y ra
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 4 1 0
2 1 2 2 1 0
1 1 2 1 1 0
xy x y xy y x
x y y y x x
x y y x
⇔ − − + − − =
⇔ − − + − − =
⇔ − − + − − =

Hång LÜnh
3 0
5 0 2
2 0
x
x x
x
− ≥

⇔ − ≥ ⇔ =
 − =
VËy S = { }2
Bµi 5:
a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
1 1 4
3
x y
x y xy
 + + + =

+ − =
§K:
0
1 0, 1 0
xy
x y
≥

+ ≥ + ≥
mµ
0
3 0
0
x
x y xy
y
>
+ = + > ⇒ 
>
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 4 1 4 1 16 6 0
2 1 4 1 4 1 4 1 4 0
1 2 1 2 0
1 2 3
1 2
x y xy x y
x y xy x x y y
x y x y
x y
x x y
y
+ − − + − + + − =
+ − + + − + + + + − + + =
− + + − + + − =
 =

⇔ + = ⇔ = =

+ =
b, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
2
1 2
1 2 1 4
z xy
x yz xy
 + =

− = −
§K:
4 1
0
xy
xy
≤

≥
1 1
4 2
xy xy⇒ ≤ ⇒ ≤
⇒ 2 1xy ≤ “=” xÈy ra ⇔ xy =
1
4
2
1 1z + ≥ “=” xÈy ra⇔ z = 0
z = 0 ⇒
1
1
4
x
y
z o
=


=

=
hoÆc
1
1
4
0
x
y
z
= −


= −

=
Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2 2
2
3
1 0
x xy y
z yz
 − + =

+ + =

Hång LÜnh
2 22
2 2
2 2 2 2
2
3 3 13
2 44
1 1
4 4 2 4
y yy xx xy y
y y y yz xy z
    − = −  ÷− + = −  ÷     
⇔ ⇔ 
  + + = − + = − ÷   
2
2
2
1 0
4 1 2
4
1 0
4
y
y
y
y

− ≥
⇒ ⇒ = ⇒ = ±
 − ≥

( ) ( ){ }1;2; 1 ; 1; 2;1S⇒ = − − −
2 2
4 2 2 8 5 2 3x x x x− + − + − + − = +
( ) ( )2 2
2 4 4 3 2 8 8 2 3x x x x⇔ − − + + − − − = +
( ) ( )
2 2
2 2 3 2 2 2 3x x⇔ − − ± − − = +
( )
( )
2
2
2 2 2 " " 2
3 2 2 3 " " 2
x x
x x
 − − ≤ = ⇔ =
⇒ 
 − − ≤ = ⇔ =
( ) ( )
{ }
2 2
2 2 3 2 2 2 3
2
2
x x
x
S
⇒ − − + − − = +
⇔ =
⇒ =
a, 1 5 1 3 2 § K : 1x x x x− − − = − ≥
5 1 5 1
1 5 1
x x x x
x x
⇒ < ⇒ − < −
⇒ − < −
1 5 1 0x x⇒ − − − <
Mµ 3 2 0x − > ⇒ pt cã { }S = ⊗
b, Gi¶i:
3 2 2
2 :
33 2
x x
DK x
xx
−
+ = ≥
−
3 2
2
3 2
x x
xx
−
⇒ + ≥
−
DÊu “=’
3 2
3 2
x x
xx
−
⇔ =
−
2 2 1
3 2 3 2 0
2
x
x x x x
x
=
⇔ = − ⇔ − + = ⇒  =
{ }1;2S⇒ =

Hång LÜnh
Bµi 9: Gi¶i
1 2 1 : 1x x DK x− = + + ≥
1 1
2 1 1
x x
x x
⇒ + > −
⇒ + + > −
{ }S⇒ = ⊗
Bµi 10: Gi¶i :
2
1 1 1
2
2 1
4
x y z
xy z

+ + =


 − =

(1)
Tõ (1)
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 4
2 4
x y z x y xy z z
   
⇒ + = − ⇒ + + = + − ÷  ÷
  
2 2
1 1 4
0
x y z
⇒ + + =
2 2
2 2
22
1 1 1 1
4 2 0
1 4 1 4
4 4 0
1 1
2 2 0
1 1
2 2
x y y x
x x y y
x y
x y z
 
⇒ + + − − = ÷
 
  
⇔ − + + − + = ÷ ÷
   
  
⇔ − + − = ÷ ÷
   
⇒ = = ⇒ =
2, ¸p dông B§T C« si:
Bµi 1:
2 2 2
2
2 2
1 1 2
1 7
1 1
2 4
x x x x x x
x x x x x
+ − + − + + = − +
 
⇔ + − + − + + = − + ÷
 
Ta cã §K:
2
2
1 0
1 0
x x
x x
 + − ≥

− + + ≥
Khi ®ã ¸p dông:
1
" " 1
2
a
a khi a
+
≤ = =
ta cã:
2 2
2 2 1 1
1 1
2 2
x x x x
x x x x
+ − − + +
+ − + − + + ≤ +
2 2
1 1 1x x x x x⇒ + − + − + + ≤ +
MÆt kh¸c:
( )
( ) ( )
2 2
2
2 1 2 1
1 1 1
x x x x x
x x x
− + = + + − +
= + + − ≥ +

Hång LÜnh
VËy
( )
2 2 2
2
2
2
1 1 2 1
1 1
1 1 1
1 1
x x x x x x x
x x
x x x
x
+ − + − + + = − + = +
 + − =

⇔ − + + = ⇔ =

− =
VËy x=1 lµ nghiÖm
Bµi 2:
2
3 2
2
2
1 2 1
2 2
1 ( 1)(2 1)
2 2
x x
x x x
x x
x x x
+ + = − + +
⇔ + + = − + +
(1)
Ta cã x2
- x + 1 > 0 víi mäi x suy ra §K
1
2
x
−
≥
¸p dông C«si cho 2 sè x2
– x + 1 > 0
2x + 1 > 0
Ta cã:
2 2
2 1 2 1
( 1)(2 1) 1
2 2 2
x x x x x
x x x
− + + +
− + + ≤ = + +
VËy dÊu “=” x¶y ra ⇔ x2
– x + 1 = 2x +1
⇔ x2
– 3x = 0 ⇔ x = 0 TM
hoÆc x = 3 TM
VËy S = { }0;3
Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
1 2 3
12
2 3 3
x y z
x y z

+ + =

 + + =
(1)
Víi x, y, z > 0
Tõ (1) ta cã:
1 2 3
6
4 4 4
x y z
x y z
+ + + + + =
V× x, y, z > 0 ta ¸p dông B§T C«si cho 2 sè
(1)
1
1
4
x
x
+ ≥ dÊu “=” x¶y ra khi
1
2
x =
(2)
2 1
2 2 2
4 4
y y
x y
 
+ = + ≥ ÷
 
dÊu “=” x¶y ra khi
1
2
y =
(3)
3 1
3 3 3
4 4
z z
z z
 
+ = + ≥ ÷
 
1
2
z =
Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã:
1 2 3
2 3 1 2 3 6
4 4 4
x y z
x y z
+ + + + + ≥ + + =
1
2
x y z= = = TM
vËy nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ: S =
1 1 1
, ,
2 2 2
  
  ÷
  
Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2007 x2008
– 2008 x2007
+ 1 = 0

Hång LÜnh
⇔ 1 + 2007 x2008
= 2008 x2007 ⇒ x > 0
¸p dông B§T C«si cho 2008 sè d¬ng
1; x2008
; x2008
; x2008
…; x2008
( 2007 sè x2008
)
Ta cã: x2008
+ x2008
+ … + 1 ≥ 2008
2008
2008 2007
1.( )x = 2008. x2007
dÊu “=” x¶y ra khi chØ khi 1 = x2008 ⇔ x = 1 v× x > 0
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1
Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3
– x2
– 8x + 40 = 8
4
4 4x +
§K 4x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1
Víi § K x ≥ -1 ta ¸p dông B§T C«si cho bèn sè: 4; 4; 4; x+1 ta cã:
4 + 4 + 4 + x + 1 ≥ 4
4
4.4.4.( 1)x + = 8
4
4( 1)x +
⇒ 13 + x ≥ 8
4
4( 1)x + ⇔ 13 + x ≥ x3
– 3 x2
– 8x + 40
⇔ x3
– 3 x2
– 9 x + 27 ≤ 0 ⇔ ( x – 3 )2
( x + 3 ) ≤ 0
Do x ≥ - 1 ⇒ x + 3 > 0 ⇒ ( x – 3 )2
≤ 0 ⇒ x = 3 TM
VËy x = 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2
7 5 12 38x x x x− + − = − + (1)
§ K 5 ≤ x ≤ 7
Khi ®ã ¸p dông B§T ¸p dông B§T C«si cho hai sè
7 – x vµ 1 ta cã:
7 1
7
2
x
x
− +
− ≤
x – 5 vµ 1 ta cã:
5 1
5
2
x
x
− +
− ≤
⇒
7 1 5 1
7 5 2
2 2
x x
x x
− + − +
− + − ≤ + =
dÊu “=” x¶y ra khi chØ khi 7 – x = 1
x – 5 = 1 ⇒ x = 6
Ta l¹i cã: x2
– 12x + 38 = ( x – 6 )2
+ 2 ≥ 2 dÊu “=” x¶y ra khi chØ khi x = 6
VËy S = { }6
Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 2
1 1 2x x x x x x+ − + − + + = − +
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
3, bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki
( )
2
2
2 3 5 2 3 12 14
2 3 5 2 3 2 2
x x x x
x x x
− + − = − +
⇔ − + − = − +
§K:
2 3 0
1,5 2,5
5 2 0
x
x
x
− ≥
⇔ ≤ ≤
− ≥
¸p dông Bu nhi a cèp xki cho (1:1) vµ ( 2 3x − : 5 2x− )

Hång LÜnh
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 2.2 4x x x x − + − ≤ + − + − ≤ =
  
2 3 5 2 2 2 3 5 2 0x x Do x x− + − ≤ − + − >
DÊu “=” x¶y ra 2 3 5 2 2x x x⇔ − = − ⇔ =
( )
2
3 2 2 2x − + ≥ dÊu”=” xÈy ra ⇔ x = 2
VËy pt cã nghiÖm duy nhÊt x = 2
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh
a, ( )
6
2 5 2 1
2
A x x= − + − =
§K:
5
2
2
x≤ ≤
Ta cã : ( ) ( )
2 2
2
2 2 25 5 1
2.1 . 2 2 1 2 . 3
2 2 2
A x x x x
    
 ÷= − + − ≤ − + − + = ÷  ÷ ÷  ÷ ÷    
6
0
2
A A≥ ⇒ ≤
⇒ ( )1 xÈy ra ⇔
5 13
2. 2
2 6
x x x− = − ⇒ = (TM§K)
13
6
S
 
=  
 
b, 2 1 3 5 2 13 :1 5x x DK x− + − = ≤ ≤
( ) ( )( )
2
2 2
2 1 3 5 2 3 1 5 13.4x x x x− + − ≤ + − + − =
2 1 3 5 2 13x x− + − ≤
PT x¶y ra 3 1 2 5x x⇔ − = −
29
13
x TM⇒ =
29
13
S
 
⇒ =  
 
c,
( ) ( )
2
2 2
4 5 2 2 3
2 3 1 1 0
x x x
x x
+ + = +
⇔ + − + + =
1x⇔ = −
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2
2 10 12 40 :2 10x x x x DK x− + − = − + ≤ ≤
( )
22
12 10 6 4 4x x x− + = − + ≥
DÊu “=” x¶y ra khi x = 6
Ta cã ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 10 2 10 1 1 16x x x x− + − ≤ − + − + =
2 10 4 : 2 10 0x x Do x x− + − ≤ − + − >
D©u “=” xÈy ra x = 6 (TM)
⇒ { }6S =

Hång LÜnh
Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2
1 3 2( 3) 2 2x x x x− + + = − + − (1)
¸p dông B§T Bunhiac«pxki cho 1x − ; x – 3 vµ 1 ; 1 ta cã:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 22 2
2
1 3 1 1 1 3
1 3 2( 1) 2( 3)
x x x x
x x x x
 − + − ≤ + − + −
 
− + − ≤ − + −
(2)
(1) vµ (2) x¶y ra khi chØ khi: 1 3x x− = −
⇔ x2
– 6x + 9 = x – 1
⇔ x2
– 7x + 10 = 0 ⇔ x = 2
hoÆc x = 5
x = 2 kh«ng tho¶ m·n; x = 5 tho¶ m·n
vËy { }5S =
Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
4
2 4 4 3
2 1x x x x− − = −
4
2 4 3
2 1 ( 1)x x x x⇔ − − = −
§ K : x4
≤ 2
4
2 4 4
( 2 1 1x x x− − = + ( x ≠ 0 )
4
4 2
2
1
2 x x x
x
⇔ − + = +
Ta cã:
2
2
1
2x
x
+ ≥ dÊu “=” x¶y ra
2
2
1
x
x
⇔ = 2
1x⇔ = (1)
MÆt kh¸c: ( )( )
24
4 2 2 4 2
2 1 1 2x x x − ≤ + − + ÷
 
⇔
( ) ( ) ( )
4 2
4 4 4 2 4 4
4 4
2
2 4 2 4.2 2 16
2 16 2
x x x x x x
x x
− + ≤ − + ≤ − + =
⇒ − + ≤ =
(2)
DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi x = 1
Tõ (1) vµ (2) suy ra ph¬ng tr×nh cã nghiÖm cña nã lµ 1 TM
VËy S = { }1
Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
26 3
3 2
1
x
x x
x x
−
= + −
− −
Bµi tËp 2:
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
2 2
6 3 1
1
x xy x y
x y
 − + = −

+ =
C. Tæng kÕt :
Trªn ®©y lµ mét sè suy nghÜ cña b¶n th©n vÒ çc bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh mµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc t«I ®· rót ra ®îc vµ m¹nh d¹n
®a ra trao ®æi cïng b¹n bÒ ®ång nghiÖp, cïng çc thÇy gi¸o, c« gi¸o ®Ó ®i
®Õn môc ®Ých chung lµ n©ng cao chÊt lîng d¹y häc. Vµ bíc ®Çu ®· gÆt h¸i
®îc nh÷ng kÕt qu¶ ®¸ng tr©n träng. Cô thÓ lµ häc sinh tiÕp thu vµ lÜnh héi
tri thøc mét çch linh ho¹t, chñ ®éng vµ s¸ng t¹o h¬n .

Hång LÜnh
Çc bµi to¸n ®a ra lµm vÝ dô cã thÓ cha l«gic, phï hîp; khai th¸c cha
triÖt ®Ó, ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu lêi gi¶i hay vµ hÊp dÉn h¬n. VÊn ®Ò t«i
t«i biÕt ®îc qua bµi viÕt nµy chØ lµ nh÷ng kinh nghiÖm nhá trong qu¸ tr×nh
d¹y häc.
MÆc dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng, song nh÷ng kinh nghiÖm Ýt ái cña b¶n
th©n, ch¾c ch¾n trong qu¸ tr×nh viÕt kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt vµ
h¹n chÕ.
kÝnh mong ®îc quý thÇy c« gi¸o vµ b¹n ®äc gãp ý söa ch÷a ®Ó ®Ò tµi ngµy
cµng thiÕt hùc vµ bæ Ých h¬n.
D. kiÕn nghÞ:
* §èi víi gi¸o viªn:
+ CÇn cã nh÷ng tµi liÖ phong phó vÒ bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng
tr×nh.
+ §îc nghª b¸o ço çc chuyªn ®Ò cña bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng
tr×nh.
+ D¹ng to¸n nµy cÇn ®îc nghiªn cøu vµ më réng.
* §èi víi häc sinh:
+ CÇn tham gia ®Çy ®ñ çc chuyªn ®Ò vÒ d¹ng to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph-
¬ng tr×nh.
+ Tæ choc cho HS ®¨ng kÝ häc tù chän chuyªn ®Ò ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph-
¬ng tr×nh.
+ Cã çc tµi liÖu liªn quan ®Õn bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Hµ TÜnh, th¸ng 4 n¨m 2008

Ap dung bat dang thuc de giai phuong trinh he pt

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (16)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Ap dung bat dang thuc de giai phuong trinh he pt

Similar to Ap dung bat dang thuc de giai phuong trinh he pt (20)

Ap dung bat dang thuc de giai phuong trinh he pt