1.
証明プログラミング超入門
2015/01/24 情報科学若手の会冬の陣
門脇 香子(@kdxu)

2.
自己紹介
• 門脇 香子 (@kdxu)
• お茶の水女子大学 浅井研 M1
• 好きなもの : 型と自転車と音楽
• http://kodoku.tokyo

3.
概要
• 証明プログラミングとは？
• Agda による例(布教)
目標 : 高校数学レベルの簡単な証明
• (時間が余れば)ライブコーディング

4.
証明プログラミングとは？
• ある種の性質を保障したプログラムが書ける
数学の定理を証明したり，停止性などの性質が保障された
コンパイラなどを実装できる
• コードの停止性，正当性などを証明できる
活用例 : OpenSSLの脆弱性の発見
CompCert(安全性が保証されたCコンパイラ)
• テストではなく証明で正しさを保証する！
• 安全，COOL，AWESOME !

5.
Agda について
• もっとも有名な定理証明支援系の1つ
• 依存型という型を使用できる
• Coq より「プログラミング言語」寄り
• Syntax としては Haskell に近い
• 証明を項として表し直接操作する

6.
インストール&セットアップ
• 要 Haskell-Platform
• $ cabal install agda
• $ agda-mode setup
• 推奨エディタはAquamacsだそうです

7.
書いてみよう
• まずA1.agdaというファイルを作り
module A1 agda
と先頭に書く．(ファイル名と同じにする）
• C-c C-l でloadできます

8.
まずは型定義
• data で新しい型を定義できる
• indent に注意しましょう
• Set の部分集合としてのBool型という意味

9.
まずは型定義
• 自然数の型
• ペアノの公理による定義
• zeroがNat型ということと，xがNat型ならsuc x
もNat型だということを示している

10.
関数定義
• 普通の足し算の定義
• (suc m) + n = (suc (m + n))
• C-c C-n で関数を評価できます

11.
関数定義
• 中値記法もできます

12.
関数定義

13.
何か証明してみよう
• Nat 型と Bool 型の簡単な定義はできた
• ここでなにか簡単な定理を証明してみます
• 同値性の証明をするならば同値関係のデータ型が必
要(equality)
-> どのように定義するのか？

14.
同値性
• 2つのものが同じということは，以下のように定義できる
• 例 : zero (suc zero) はダメ
x x の形をしていない．型はあるが，値が存在しない
なので，reflという型にならない
• reflにハマる値が存在するか で定義できる

15.
定理 = 関数
• 例えば 0 + n n を示したい
-> 返り値がreflとなるように関数を書ければよい
• 関数の型は
(n : Nat) -> (0 + n n)
となる
• ここで suc 関数に対する再帰的処理が必要になる

16.
定理 = 関数
• これを Agda は 型が等しい と判断してくれない
• ここで suc 関数に対する再帰的処理が必要になる
• 一般的に定理を再帰的に示す関数 cong を定義

17.
証明完了！
• zero と suc nで場合分けしている (C-c C-c n)
zero の場合は zero + zero は zeroなので直ちにrefl
suc n の場合は n に関して再帰的に証明をする

18.
Tips : 依存型
• Agda では依存型(Dependent Types)という型が使えます
• 「値に依存する型」を作ることができる型
• 例 Vec N 型
• 型の段階で長さの比較や空リスト判定を保証できる

19.
おすすめ教材
• Ulf Norell 氏の Dependently Typed Programming in
Agda
(http://www.cse.chalmers.se/ ulfn/darcs/AFP08/
LectureNotes/AgdaIntro.pdf)
• Brutal [Meta]Introduction to Dependent Types in
Agda
(http://oxij.org/note/BrutalDepTypes/)
• お茶大製「みんなのAgda wiki」
(http://agda.wiki.fc2.com/)

20.
研究紹介
• 私は今日紹介した Agda という言語を用いて安全
な型推論器を構成しています
• 依存型の性質を用いて型変数の番号をうまく管理す
ることで，セルの書き換えを用いずにUnification
を行うことにより実装しています
• https://github.com/kdxu/InferAgda

21.
おわり
証明ができると世界が開けます．
証明プログラミングを楽しみましょう！