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MBK擬ポテンシャルの作成法
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- 2. 擬ポテンシャルとは何か 金属や固体において、イオン核の領域と、核の外側 の伝導電子は近似的に区別することができる。 核の外側の伝導電子は近似的に平面波の形をして いる。 従って、イオン核の効果をある有効ポテンシャルで置 き換えると、扱いやすくなる。 この有効ポテンシャルは、核の外側では、現実のイオ ン核が与えるのと同じ波動関数を与える。 この擬ポテンシャルに関する結論は非常に多くの経 験事実とまた理論的な論証によって支持されている。
- 3. TM型擬ポテンシャルの問題点 現在は、広くTM型擬ポテンシャルが使用されている。 TM型擬ポテンシャルは、次のような特徴を持っている。 ノルム保存型擬ポテンシャルであり、カットオフ半径 内にある価電子が作る静電的ポテンシャルを正しく 与えることができる。 また原子の擬波動関数の対数微分と真の波動関数 の対数微分の値及びそのエネルギー依存性がエネ ルギーの一次まで一致する。 しかし、エネルギーの広い領域で、散乱特性を再現 することができない。また、単一の擬ポテンシャルで、 価電子帯および伝導帯の両者の正確な記述は困難 である。 N.Troullier and J.L.Martins, Phys. Rev. B 43, 1993(1991).
- 4. MBK擬ポテンシャルの特長 Vanderbiltのノルム保存型擬ポテンシャル（MBK擬 ポテンシャル）は、他のノルム保存型擬ポテン シャル（HSC型、Hamannによるもの、TM型など）と 比べても、次のような長所がある。 エネルギーの広い領域で、散乱特性を再現する。 たとえば、単一の擬ポテンシャルで、価電子帯お よび伝導帯の両者の正確な記述が可能。 最終的な形はTM型擬ポテンシャルに近く、使い やすい（既存のコードの大幅な書き換えが不必 要）。 I. Morrison, D. M. Bylander and L. Kleinman, Phys. Rev. B 47, 6728(1993). D.R.Hamann, M.Schluter and C.Chiang, Phys. Rev. Lett. 43, 1494(1979). D.R.Hamann, Phys. Rev. B 40, 2980(1989).
- 5. MBK擬ポテンシャルの特徴 MBK擬ポテンシャルは非局所ポテンシャルとして次式で与えられる。 このVNLの表式をとると、参照エネルギー近傍での全電子計算の散乱特 性が再現されることが保証される。 擬ポテンシャルの参照エネルギーとして複数の選択が可能（TM型との 大きな相違点）。 Vanderbiltによると、 であるが、擬波動関数φ(r)は一般化ノルム保存条件 を満たさなくてはならない。 David Vanderbilt, Phys. Rev. B 41, 7892(1990).
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- 8. 擬波動関数をいかに展開するか ここで、擬波動関数Φ(r)をどんな関数で展開するかが 問題である。 ここで、Troullier-Martinsの擬波動関数を思い出せば、 であるので、TM擬波動関数は一般化ノルム保存条件 以外の条件をすべて満たし、なおかつ解析的に形が 求まるので非常に便利である。 従って、φ(r)は、TM擬波動関数に何らかの関数を加え る形で作成する。 この関数は、積分が解析的に求まりカットオフ半径内 で完全系を張る関数、例えば球Bessel関数がよい。
- 9. 擬波動関数の展開 従って、φ(r)はTM擬波動関数と球Bessel関数を用 いて、以下のようにして展開できる。 ここで、φTM:TM擬波動関数、jn:n次の球Bessel関数、 rc:カットオフ半径、xk:n次の球Bessel関数のk番目の 零点、である。 そして、 ψ(r)とφ(r)の一般化ノルム保存条件と、 カットオフ半径rcにおける0次から4次までの微係 数の一致の条件を満たすような係数cを求めれば、 擬波動関数φ(r)が求まる。
- 10. 擬ポテンシャルV’locの性質 この擬波動関数φを用いると、ハミルトニアンHは以下 のように書ける。 ここで、T:運動エネルギー演算子、V’loc:スクリーニング された局所ポテンシャル、VNL:非局所擬ポテンシャル、 である。ここで、V’locは以下の性質を満たすように作 成する。 ただし、Vloc:アンスクリーニングされた局所ポテンシャ ル、VH:ハートリーポテンシャル、VXC:交換相関ポテン シャル、ρv:適用された系における価電子の電子密度、 ρc:内殻電子の電子密度、VAE:全電子ポテンシャル、で ある。
- 11. MBK擬ポテンシャルの形式 ここで、行列Bは、 を満たすが、一般化ノルム保存条件のために上式の 右辺は0になる。今Bは実行列なので、結局Bij=Bjiとな る。つまりBは実対称行列である。従って、Bは対角化 が可能であり、 となる。これは、Blochlプロジェクターを用いたTM型擬 ポテンシャルと全く同じ形式であり、この部分のソー スコードは、ノルム保存型擬ポテンシャルを用いる第 一原理計算プログラムを書き換える必要がないこと がわかる。