確率論基礎
@hoxo_m
2016/12/04
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Watanabe理論勉強会 #7
• 本資料は
• Sumio Watanabe, Algebraic Geometry
and Statistical Learning Theory,
Cambridge University Press, 2009.
• 第7回読書会補⾜資料です。
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1.6 Probability Theory
• この節では確率論の基礎を要約する
• 確率論に詳しい読者は⾶ばしてよい
➡︎ 確率論がよく分かっていないので5章に
⼊る前に復習したい
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地図
• 距離空間 ＝ 集合＋距離
• 可測空間 ＝ 距離空間＋σ-代数
• 確率空間 ＝ 可測空間＋確率測度
• 確率変数 ＝ X: 確率空間 → 可測空間
• 確率分布 PX
• 確率変数の期待値 E[X]
• 確率変数の収束
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定義1.11 距離空間
• 集合 Ω
• 関数 D: Ω ✖ Ω → R
• D が距離とは
① ∀ x, y ∈ Ω, D(x, y) = D(y, x) ≧ 0
② D(x, y) = 0 ⇔ x = y
③ ∀ x, y, z ∈ Ω, D(x, y) + D(y, z) ≧ D(x, z)
• 距離を持つ集合 Ω を距離空間という
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位相空間について
• 距離空間の位相は開近傍によって定まる
– x の開近傍: Uε = { y ∈ Ω ; D(x, y) < ε }
• 可分空間: 可算稠密部分集合を持つ TS
• コーシー列 {xn}:
– 任意の δ > 0 に対して M が存在し
m, n > M ⇒ D(xm, xn) < δ
• 完備: 全てのコーシー列が収束する
• ポーランド空間: 完備かつ可分な TS
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Example 1.8
＜本書で登場する距離空間 3つ＞
(1) 有限次元実ユークリッド空間 Rd
– 距離 D(x, y) = |x – y| = (Σi=1..d(xi – yi)2)½
– ユークリッドノルム
– 完備かつ可分となる
(2) Rd の部分集合も距離空間
– 有限集合や可算集合を考えることもある
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Example 1.8 (3)
• K: Rd のコンパクト部分集合
• K から Rd’ への連続関数全体の集合
Ω = { f ; f: K → Rd’ }
• 距離 D(f, g) = maxx∈K | f(x) – g(x) |
• Ω は距離空間となる
• K のコンパクト性から Ω は完備かつ可分
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地図
• 距離空間 ＝ 集合＋距離
• 可測空間 ＝ 距離空間＋σ-代数
• 確率空間 ＝ 可測空間＋確率測度
• 確率変数 ＝ X: 確率空間 → 可測空間
• 確率分布 PX
• 確率変数の期待値 E[X]
• 確率変数の収束
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定義1.12 (1) 可測空間
• Ω: 距離空間
• B: Ω の部分集合を要素とする σ-代数
• σ-代数(完全加法族):
① A1, A2 ∈ B ⇒ A1 ∩ A2 ∈ B (※不要)
② Ω ∈ B (※原⽂には無いがこちらを追加)
③ A ∈ B ⇒ Ac ∈ B (Ac は補集合)
④ A1, A2, A3, … ∈ B ⇒ ∪Ai ∈ B (可算個)
• (Ω, B) を可測空間と呼ぶ
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定義1.12 (2) 確率空間
• 可測空間 (Ω, B)
• 確率測度 P
関数 P: B → [0, 1]
① P(Ω) = 1
② 交わりの無い A1, A2, A3, … ∈ B に対して
P(∪Ai) = ΣP(Ai)
• (Ω, B, P) を確率空間と呼ぶ
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ボレル集合体 (Borel Field)
• 位相空間 Ω において、全ての開集合を含
む最⼩の σ-代数をボレル集合体と呼ぶ
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Remark 1.18
• 確率空間 (RN, B, P)
• RN: N次元実ユークリッド空間
• B: ボレル集合体
• 確率分布(測度) P を次で定義する(p(x) ≧ 0)
• p(x) を確率密度関数と呼ぶ
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地図
• 距離空間 ＝ 集合＋距離
• 可測空間 ＝ 距離空間＋σ-代数
• 確率空間 ＝ 可測空間＋確率測度
• 確率変数 ＝ X: 確率空間 → 可測空間
• 確率分布 PX
• 確率変数の期待値 E[X]
• 確率変数の収束
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定義1.13 確率変数 (1)
• 確率空間 (Ω, B, P)
• 可測空間 (Ω1, B1)
• 関数 X: Ω → Ω1
• X が可測であるとき、確率変数と呼ぶ
• 可測関数：
– 任意の B1 ∈ B1 に対して X-1(B1) ∈ B
• Ω1-valued 確率変数と呼ばれることも
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定義1.13 確率変数 (2)
• 関数 µ(B1) = P(X-1(B1)) は (Ω1, B1) 上の
確率測度である
• したがって (Ω1, B1, µ) は確率空間となる
• µ を確率変数 X の確率分布と呼ぶ
• また、X は µ に従うと⾔う
• µ は X の像空間(image space)の確率分布
• 次と同値
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Remark 1.9
(1) 確率論では次の簡易表記がよく使われる
• P( f(x) > 0 ) ≡ P({ ω ∈ Ω; f(X(ω)) > 0 })
• 定義より
P( f(x) > 0 ) = µ({ x ∈ Ω1; f(x) > 0 })
(2) 確率変数 X が従う確率測度(分布) µ を
PX と表記する
• ⼀般に X と PX は⼀対⼀ではない
• 確率分布が定まっても確率変数は定まらない
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Remark 1.9 (2) 例
• 確率空間 (Ω, 2Ω, P)
• Ω = { 0, 1, 2, 3 } (※ 原⽂では {1,2,3,4})
• P({i}) = 1/4 ( i = 0, 1, 2, 3 )
• 次の確率変数 X と Y の確率分布は同じ
• 確率分布からは X と Y は区別できない
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Remark 1.9 (2) 例
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0 1
2 3
0
1
0 1
X
Ω Ω1
Ω1
Y
PX(0) = 1/2
PX(1) = 1/2
PY(0) = 1/2
PY(1) = 1/2

Remark 1.9 (3)
• 本書の定義や定理の中には、確率変数 X
の像空間 Ω1 と確率分布 PX だけしか必要
がない場合がある
• このような場合、確率空間 (Ω, B, P) の明
⽰的な記述は省略される
• その結果、次のようになる
– 確率分布 PX に従う Ω1-valued 確率変数 X に
対して次の等式が成り⽴つ・・・
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地図
• 距離空間 ＝ 集合＋距離
• 可測空間 ＝ 距離空間＋σ-代数
• 確率空間 ＝ 可測空間＋確率測度
• 確率変数 ＝ X: 確率空間 → 可測空間
• 確率分布 PX
• 確率変数の期待値 E[X]
• 確率変数の収束
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定義1.14 期待値
• 確率変数 X: (Ω, B, P) → (Ω1, B1)
• X は確率分布 PX に従う
• 期待値:
• S ⊂ Ω1 の期待値:
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• 確率変数 X: (Ω, B, P) → (Ω1, B1)
• 可測空間 (Ω2, B2)
• 可測関数 f: Ω1 → Ω2
• このとき、f(X) は (Ω, B, P) 上の確率変数
• f(X) の期待値
• EX[f(X)] とも書く
Remark 1.20 (1)
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※ 期待値を考えるには
ベクトル空間のような
加算乗算可能となる条件が必要

Remark 1.20 (2) (3)
• 同じ確率分布に従う2つの確率変数 X と Y
は同じ期待値を持つ
➡︎ E[X] の情報から E[Y] を予測できる
• 統計的学習理論において、学習誤差から
汎化誤差の期待値を推定することは重要
である
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Remark 1.20 (4)
• チェビシェフの不等式 (※マルコフでは?)
• E[|X|] = C のとき任意の M > 0 に対して
C = E[|X|] ≧ E[|X|]{|X| > M}
≧ M E[1]{|X| > M} = M P(|X| > M)
➡︎ P(|X| > M) ≦ C / M
• 確率論では同様の導出がよく⾏われる
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Remark 1.20 (5) (6)
• 次が成り⽴つ
E[|X|] < ∞ ⇔ limM→∞ E[|X|]{|X|≧M} = 0
• 次を満たす定数 δ > 0 と M0 > 0 が存在
するならば E[|X|] < ∞
任意の M > M0 に対して
P(|X| > M) ≦ 1 / M1+δ
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地図
• 距離空間 ＝ 集合＋距離
• 可測空間 ＝ 距離空間＋σ-代数
• 確率空間 ＝ 可測空間＋確率測度
• 確率変数 ＝ X: 確率空間 → 可測空間
• 確率分布 PX
• 確率変数の期待値 E[X]
• 確率変数の収束
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定義1.15 確率変数の収束
• 確率空間 (Ω, B, P) 上の
• 確率変数の列 {Xn} と確率変数 X
① 概収束 (almost surely, almost everywhere):
P({ω ∈ Ω; limn→∞ Xn(ω) = X(ω)}) = 1
② p次平均収束(p > 0):
limn→∞ E[(Xn − X)p] = 0
③ 確率収束: 任意の ε に対して
limn→∞ P(D(Xn, X) > ε) = 0
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Remark 1.21
• よく知られている確率変数の収束の性質
① Xn が X に概収束または p次平均収束す
るとき、Xn は X に確率収束する
② Xn が X に確率収束するとき、Xn は X に
法則収束する (定義は5章)
③ ⼀般に、概収束は p次平均収束の必要条
件でも⼗分条件でもない
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まとめ
• 確率論の⽴場から、本書では次で定義さ
れる確率変数の極限定理を与える
ただし X1, X2, …, Xn は確率変数 X と同じ確率
分布に従う独⽴な確率変数
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まとめ
• 中⼼極限定理: 確率変数の平均と分散
• 統計的学習理論: ゼータ関数の最⼤の極
(pole)と特異変動(singular fluctuation)
• ⼤偏差理論(large deviation theory)より
Fn / n → pS (S: X のエントロピー)
• Main Formula Ⅱ(p.34) と Ⅲ(p.38) は、
⼤偏差理論よりも正確な結果
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5章へつづく
32出典：野呂俊介『スピーシーズドメイン(5)』