slide-uri Curs Matematică - Facultatea de Management USAMV - Lect.univ.dr. Livia David

1. Elemente de analiza matematica
pentru economisti
Educatia nu este raspunsul la o intrebare, educatia
este calea spre raspunsul la toate intrebarile
“Nimic nu costa mai mult decat nestiinta”
Grigore Moisil (1906-1973)

2. Functii
• Euler (in anul 1794): functia este o marime variabila care depinde de alta
marime variabila.
• Definitie: Functia este relatia prin care
asociem oricarui element din domeniul de
definitie un unic element in codomeniu.
• Notatie: f: A → B, unde A=domeniul de
definitie, B=codomeniul, A si B sunt multimi
nevide.

3. • x f(x) y
• x = argument, variabila independenta, punct;
• y=f(x) = imaginea lui x prin functia f, variabila dependenta de
x, valoarea lui f in punctul x;
• Definitie: Graficul functiei f :A → B este multimea
( , ) / , , ( )  f G  x y xA yB y  f x
• Observatie:
f G  A B

4. Notatie
y f x  
Output
Input
Numele
functiei

5. Functii reale
Fie functia f: A→ B
 Daca A si B sunt multimi de numere reale,
atunci f se numeste functie reala de o variabila
reala.
 Daca A RnsiB  R
, atunci f se numeste
functie reala de mai multe variabile reale (sau
de variabila vectoriala).

6. Parabola
estereprezentarea grafica a functiei degradul al II- lea
exeplu
:
f : RR , f ( x )
 x
2

7. Dreapta
este reprezentarea grafica a functiei de gradul I
f : RR, f (x)  3,45x 10,2

8. Testul dreptei verticale
Daca orice verticala intersecteaza graficul
in cel mult un punct, atunci relatia este
functie
functie functie Nu e functie

9. Nu e functie
FUNCTIE!
FUNCTIE
Nu e functie

10. Fiind dat h(z) = z2 - 4z + 9, calculati h(-3)
-3 (-3)2-4(-3)+9 30
9 + 12 + 9
h(-3) = 30

11. Fiind dat f(x) = 3x - 2, gasiti:
1) f(3)
= 7
3 3(3)-2 7
2) f(-2)
= -8
-2 3(-2)-2 -8

12. Functii reale de mai multe variabile
reale
z
x2 + y2 = 16
y
x
f(x, y) = x2 + y2
x2 + y2 = 4
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 0
x2 + y2 = 9

13. Functii reale de doua variabile reale
Moduri de a descrie o functie reala de doua
variabile reale:
 Grafic sau diagrama
 Tabel de valori
 Exprimare prin text
 Analitic (printr-o formula sau ecuatie
algebrica)

14. O functie reala de doua variabile reale este o
functie definita pe o submultime D  RR
cu
valori in R prin care asociem oricarei perechi
ordonate (x,y) din D un unic numar real notat
z= f(x,y)

15. Exemple
1. Fie functia f definita prin
f (x, y)  x  xy  y2  2
• Calculati f(0, 0), f(1, 2), si f(2, 1).
Solutie:
2 f (0,0)  0  (0)(0)  0  2  2
2 f (1,2)  1 (1)(2)  2  2  9
2 f (2,1)  2  (2)(1) 1  2  7
• Domeniul de definitie al unei functii reale de doua
variabile reale este o submultime a planului xOy, iar
reprezentarea grafica a functiei este o multime de
puncte in spatiul fizic .
Example 1, page 536

16. 16
2.
f (x, y)  3x2 y  2  y3
    2 3
f (0,3)  3 0 (3)  2  3
 25
    2 3
f (2,1)  3 2 (1)  2 1
 15

17. 17
3.
Se da functia f sub forma
tabelara .Calculati:
f(20, 10) = ?
f(40, 20) = ?
f(10, 20)  f(20, 10) = ?
Solutie:
x
y
10 20 30 40
10 1 107 162 3
20 6 194 294 14
30 11 281 426 25
40 16 368 558 36
f 20,10107
f 40,20 14
f 10,20 f 20,10 6  107 113

18. 4. In regions with severe winter weather, the wind-chill
index is often used to describe the apparent
severity of the cold.
• This index W is a subjective temperature that
depends on the actual temperature T and the
wind speed v.
• So W is a function of T and v, and we can write W
= f (T, v).

19. • Table 1 records values of W compiled by the
National Weather Service of the US and the
Meteorological Service of Canada.
Wind-chill index as a function of air temperature and wind speed
Table 1

20. Domeniul de definitie al functiilor de
doua variabile
1. Aflati domeniul de definitie al functiei
f (x, y)  2x  xy  0,3y3  7y
Solutie: Domeniul este intregul plan xOy.

21. Reprezentarea grafica a functiei
f (x, y)  2x  xy  0,3y3  7y

22. Exemplul 2
Domeniul de definitie al functiei
1
f (x, y)
x y


este planul xOy mai putin dreapta y=x

23. Reprezentarea grafica a functiei
1
f (x, y)
x y



24. Exemplul 3
h(x, y)  1 x2  y2
Solutie:
• Observam ca 1 – x2 – y2  0 este echivalent cu
x2 + y2  1 care este multimea punctelor (x, y)
ce se afla in interiorul cercului de raza 1 cu
centrul in origine:
x
y
x2 + y2 = 1
1
–1 1
–1
Example 2, page 536

25. Reprezentarea grafica a functiilor reale
de doua variabile reale
• Reprezentarea grafica a functiei z=f(x,y) este o
suprafata in spatiu.

26.  Pentru fiecare(x, y) din domeniul lui f, exista o valoare z pe
(x, y, z)
(x, y)
suprafata.
z
y
x
z = f(x, y)

27. Derivate partiale
f


x


y
f
x


f
y








x


y
f f
    
  
    
    
  
     
2 f f
    
  
     
x y x y
2
    
  
    
f f
2
y y y
x
y
2
2
x x x
2 f f
y x y x
2 2 f f
y x x y
 

   
When both are
continuous

28. Derivate partiale de ordinul intai
• Presupunem ca f(x, y) este o functie de doua
variabile x si y.
• Atunci, derivata partiala a lui f in raport cu x in
punctul (x, y) este
f f x h y f x y
x  h
  
0
presupunand ca limita exista.
• Derivata partiala a lui f in raport cu y in
punctul (x, y) este
f f x y k f x y
y  k
  
daca limita exista.
( , ) ( , )
lim
h


0
( , ) ( , )
lim
k



29. Interpretarea geometrica aderivatelor
partiale
z
f(x, y)
y = b plan
a
x
b y
(a, b)
( , )
f
panta f x b
x



dreptei
f(x, b)
f
x


Ce inseamna ?

30. x
f(c, y) ( , )
y
Interpretarea geometrica aderivatelor
partiale
f(x, y)
c
(c, d)
x = c plan
f
panta dreptei f c y
y



f
y


Ce inseamna ?
z
d