1. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
44
מקומי קיצון
-
תרגילים
מס
'
1
:אותן ומיין הבאות הפונקציות של הקריטיות הנקודות את מצא
)(א
( )
z x y
= + −
2 2
1
,
)(ב
( )
z x y
= − −
2 2
1
,
)(ג
z x y xy x y
= + − − +
2 2
2
,
)(ד
z x y xy
= + −
3 3
3
,
)(ה
z x y xy
= + − +
2 2 36 430
3 3
,
)(ו
( )
z x y x y
= − −
2 3
6
,
)(ז
z x xy y x y
= + + − −
1
2
2
1
2
4 5
2 2
,
)(ח
z x xy x y
= + − −
14 27 69 54
3 2
.
מס
'
2
:אותן ומיין הבאות הפונקציות של הקריטיות הנקודות את מצא
)(א
z x y x xy y
= + − − −
4 4 2 2
2
,
)(ב
z x y x xy y
= + − + −
4 4 2 2
2 4 2
,
)(ג
z x y xy x y
= + − − + +
3 2
6 39 18 20
,
)(ד
z x y x y x y
= − −
12 3 2 4 2 3 3
מס
'
3
:אותן ומיין הבאות הפונקציות של הקריטיות הנקודות את מצא
)(א
x y z x y z
2 2 2
2 2 4 10
+ + − + − =
,
)(ב
x y z xz yz x y z
2 2 2
2 2 2 2
+ + − − + + + =
.
מס
'
4
)(א
הפונקציה נתונה
( )
z x y
= − +1
2
.
הוא הפונקציה של המינימלי הערך כי הוכח
0
.קיצון נקודות לה אין אך ,
)(ב
הפונקציה נתונה
z x y
= − +
1 2 2
.
היא הפונקציה של מכסימום נקודת כי הראה
( )
0 0 1
; ;
.
)(ג
הפונקציה נתונה
z x y x y
= + +
4 4 2 2
3
קיצון נקודת יש לפונקציה האם .
?
.נמק
2. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
45
תשובות
מס
'
1
)(א
( )
min ;
z z
= =
0 1 0
,
)(ב
( )
0 1 0
; ;
-
,אוכף נקודת
)(ג
( )
min ;
z z
= = −
1 0 1
,
)(ד
( )
min ;
z z
= = −
1 1 1
,
( )
0 0 0
; ;
-
,אוכף נקודת
)(ה
( )
min ;
z z
= = −
6 6 2
,
( )
0 0 430
, ,
-
,אוכף נקודת
)(ו
( )
max ;
z z
= =
2 3 108
,
)(ז
( )
2 1 4
; ;−
-
,אוכף נקודת
)(ח
( )
min ;
z z
= = −
1 1 82
,
( )
max ;
z z
= − − =
1 1 82
,
3
14
14
3
,
וגם
− −
3
14
14
3
,
-
.אוכף נקודות
מס
'
2
)(א
( ) ( )
min ; ;
z z z
= = − − = −
1 1 1 1 2
,
)(ב
( ) ( )
min ; ;
z z z
= − = − = −
2 2 2 2 8
,
)(ג
( )
min ;
z z
= = −
5 6 158
,
( )
1 6 54
; ;
− −
-
,אוכף נקודת
)(ד
( )
max ;
z z
= =
6 4 6912
.
מס
'
3
(
)א
( )
min ; ;
− − −
1 1 2
,
( )
max ; ;
− −
1 1 6
.
)(ב
( )
min ; ;
− − − − − − −
6 3 6 3 2 6 4
,
( )
max ; ;
− − − −
6 3 6 3 2 6 4
.
'מס של מלא פתרון
3
)(ב
1
.
לפי הפונקציה את נגזור
x
ולפי ,
y
:
2 2 2 2 0
2 2
2 2
x z z z xz yz z
z
x z
x y z
x x x x
x
+ − − − + + =
=
− +
+ − −
וגם
2 2 2 2 0
2 2
2 2
y z z z yz xz z
z
y z
x y z
y y x y
y
+ − − − + + =
=
− +
+ − −
2
.
:הקריטיות הנקודות את נמצא
=
− +
+ − −
=
=
− +
+ − −
=
=
= +
z
x z
x y z
z
y z
x y z
x y
z x
x
y
2 2
2 2
0
2 2
2 2
0
2 2
:נקבל הנתונה בפונקציה ההצבה לאחר ,לכן
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x x
2 2 2
2
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 12 6 0 6 3 6 3
+ + + − + − + + + + + =
+ + = = − = − −
;
:הן הקריטיות הנקודות ,כלומר
3. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
46
( )
6 3 6 3 2 6 4
− − −
; ;
ו
-
( )
− − − − − −
6 3 6 3 2 6 4
; ;
3
.
:)הראשון הסעיף של בתוצאות (נשתמש השני מסדר הנגזרות את נמצא
לפי תחילה
x
.
2 2 2 2 0
2 2 2 2 0
2
x z z z xz yz z
z z z z z xz yz z
x x x x
x xx x x xx xx xx
+ − − − + + =
+ + − − − − + =
קריטיות שבנקודות משום
=
zx 0
מקבלים ,
:
2 2 2 0
+ − − + =
z z xz yz z
xx xx xx xx
.
:מכאן
=
+ − −
z
x y z
xx
2
2 2
,קריטיות בנקודות ולכן ,
=
− −
z
x
xx
2
2 6
.
קריטיות בנקודות כי נקבל )הסימטריה (בגלל אופן באותו
=
− −
z
x
yy
2
2 6
.
עת
:המעורבת הנגזרת את נמצא ה
2 2 2 2 0
2 2 2 0
x z z z xz yz z
z z z z z xz z yz z
x x x x
y x xy y xy x xy xy
+ − − − + + =
+ − − − − + =
קריטיות שבנקודות משום
=
zx 0
וגם
=
zy 0
:נקבל ,
2 2 0
z z xz yz z
xy xy xy xy
− − + =
,
:ומכאן
=
zxy 0
.
4
.
,לכן
( )
0
0
6
2
4 2
2
2
−
−
−
=
−
=
x
z
z
z
D xy
yy
xx
קיצו נקודות הן הנקודות שתי ,מכאן .
.ן
:הסוג את נבדוק
עבור
x1 6 3
= −
,
=
− −
=
−
z
x
xx
2
2 6
2
2 6
0
,
עבור וגם
x2 6 3
= − −
,
=
− −
=
z
x
xx
2
2 6
2
2 6
0
,לכן .
( )
6 3 6 3 2 6 4
− − −
; ;
-
,מכסימום נקודת
( )
− − − − − −
6 3 6 3 2 6 4
; ;
-
.מינימום נקודת
מס
'
4
)(ג
( )
min ;
z z
= =
0 0 0
.
4. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
47
ובתחום בתנאי קיצון
-
תרגילים
מס
'
1
:לידה הכתוב באילוץ הקיצון נקודות את מצא פונקציה לכל
)(א
z xy
=
אם ,
x y
+ = 1
.
)(ב
z x y
= +
אם ,
x y
2 2
1
+ =
.
)(ג
z x y
= +
2 2
אם ,
x y
+ = 1
.
)(ד
z x xy y
= + +
2 2
12 2
אם ,
.
4 25
2 2
x y
+ =
.
)(ה
z xy
=
אם ,
x y
4 4
32
+ =
.
)(ו
z x y
= − −
8 2 4
אם ,
x y
2 2
2 12
+ =
.
מס
'
2
)(א
המינימ המרחק את מצא
א
הפרבולה בין לי
y x
= 2
הישר לבין
x y
− − =
2 0
.
)(ב
ההיפרבולה בין ביותר הקצר המרחק את מצא
x y
2 2
27
− =
הישר לבין
y x
= −
2 3
.
)(ג
המכסימלי המכפלה את מצא
הוא שסכומם חיוביים מספרים ארבעה של ת
20
.
)(ד
לפי לזה זה המתייחסים מספרים שלושה נתונים
: 2 : 3
1
מהם שאחד מספרים ושני ,
פי גדול
-
4
כל סכום .מהשני
המספרים חמישה
ל שווה
-
. 50
מכסימלי היא החמישה כל של מכפלתם שעבורם המספרים כל את מצא
.ת
*
)(ה
היקף בעלי משולשים נתונים
18
.ס"מ
הוא מכסימלי שטח בעל המשולש ,האלה המשולשים בין כי הוכח
צלעות שווה
.
*
)(ו
קבוע פנים שטח בעלות בתיבות מתבוננים
S
.
.קוביה היא מכסימלי נפח בעלת התיבה זה בתנאי כי הוכח
מס
'
3
)(א
המוחל המינימום ואת המכסימום את מצא
של טים
z x y x y
= + − + +
2 2
6 4 2
:שקודקודיו במלבן
( )
A 1 3
,−
,
( )
B 12
,
,
( )
C 4 2
,
,
( )
D 4 3
,−
.
)(ב
של המוחלטים המינימום ואת המכסימום את מצא
( )
z xy x y
= + +1
:ע"י המוגבל בתחום
x = 1
,
x = 2
,
y = −15
,
,
y
x
=
1
.
)(ג
של המוחלטים המינימום ואת המכסימום את מצא
( )
z x y x y
= − −
2
4
ע"י המוגבל במשולש
x = 0
,
y = 0
,
x y
+ = 6
.
)(ד
של המוחלטים המינימום ואת המכסימום את מצא
z x y
= −
2 2
המעגל ע"י המוגבל בעיגול
x y
2 2
4
+ =
.
5. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
48
)(ה
:הפונקציה נתונה
( )
z x y x y
= − − + −
2 2
4
:שצלעותיו המלבן בתוך
x = 1
,
y = −1
,
x = 5
,
y = −4
.
מס
'
4
:הנתון בתחום הפונקציות של המוחלט המכסימום ואת ,המוחלט המינימום את מצא
)(א
z x y
= − −
2 3
:בתחום
0 1
+
x y
וגם
0 1
x
וגם
0 1
y
.
)(ב
z x y x y
= + − +
2 2
12 16
:בתחום
x y
2 2
25
+
.
)(ג
z x xy y
= − +
2 2
:בתחום
x y
+ 1
.
)(ד
z x y x y
= + − + −
2 2
4 4 8 1
:בתחום
x y
2 2
4 50
+
.
)(ה
z x x y y
= + + +
4 2 2 4
5
:בתחום
x y
2 2
1
+
וגם
y x
וגם
y x
−
.
x=1
y = -1
y = -4
x=5
6. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
49
תשובות
מס
'
1
)(א
max ;
z z
=
=
1
2
1
2
1
4
.
)(ב
max ;
z z
=
=
1
2
1
2
2
,
min ;
z z
= − −
= −
1
2
1
2
2
.
)(ג
max ;
z z
=
=
1
2
1
2
1
2
.
)(ד
( )
min ;
z z
= = −
2 3 50
m
,
max ;
z z
=
=
3
2
4 106
1
4
.
)(ה
( ) ( )
min ; ;
z z z
= − = − = −
2 2 2 2 4
,
( ) ( )
max ; ;
z z z
= = − − =
2 2 2 2 4
.
)(ו
( )
max ;
z z
= − − =
2 2 20
,
( )
min ;
z z
= = −
2 2 4
.
מס
'
2
)(א
הוא המינימלי המרחק
7
4 2
.
)(ב
הוא ביותר הקצר המרחק
6
5
.
)(ג
הם המספרים כל
5
המכסימלית והמכפלה ,
625
.
)(ד
הם המספרים
5
,
10
,
15
וגם
4
,
16
מכפלתם .
48000
.
'מס של מלא פתרון
2
)(ב
1
.
הנקודה בין המרחק בנוסחת נשתמש
( )
x y
0 0
,
הישר לבין
Ax By C
+ + = 0
:
d
Ax By C
A B
=
+ +
+
0 0
2 2
המרח לכן
הנקודה בין ק
( )
x y
0 0
,
:הוא הנתון הישר לבין
d
x y
=
− −
2 3
5
0 0
2
.
פונקצ את נגדיר
:הנתון הישר לבין המישור נקודות בין המרחק ית
( )
d x y
x y
, =
− −
2 3
5
.
אי ערכים מקבלת שהפונקציה כיוון
-
הקיצון לנקודות שוות שלה הקיצון נקודות , שליליים
ריבועה של
:הפונקציה את לחקור אפשר ,כלומר ,
( ) ( )
( )
f x y d x y
x y
, ,
= =
− −
2
2
2 3
5
3
.
מהישר שמרחקיהן הנקודות
2 3 0
x y
− − =
ההיפרבולה על נמצאות לחקור מעוניינים
:הנתונה
x y
2 2
27
− =
.
:הבא באופן הבעיה את לנסח אפשר לכן
הפונקציה של המינימום את מצא
( )
( )
f x y
x y
, =
− −
2 3
5
2
ש בתנאי
-
x y
2 2
27
− =
.
7. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
50
4
.
:'לגרנג פונקצית את נרכיב
( )
( )
( )
L x y
x y
x y
, ,
=
− −
+ − −
2 3
5
27
2
2 2
:הן החלקיות הנגזרות לכן
( ) ( )
= − − + = − − − − = − −
L x y x L x y y L x y
x y
4
5
2 3 2
2
5
2 3 2 27
2 2
; ;
:הקריטיות הנקודות את ונמצא המשוואות מערכת את נפתור
( )
( )
4
5
2 3 2 0
2
5
2 3 2 0
27 0
2 2
x y x
x y y
x y
− − + =
− − − − =
− − =
:הראשונות המשוואות בשתי נטפל
( ) ( )
( ) ( )
4
5
2 3 2 0
4
5
2 3 2
2
5
2 3 2 0
2
5
2 3 2
2
x y x x y x
x y y x y y
x y
− − + = − − = −
− − − − = − − − =
=
:ומקבלים השלישית במשוואה מציבים
x y y y x
2 2 2
27 3 27 3 6
− = = = =
,
:הן הקריטית הנקודות שתי כלומר
( )
6 3
,
ו
-
( )
− −
6 3
,
.
5
.
:הנתון מהישר )ההיפרבולה על (הנמצאות הקריטיות הנקודות של מרחקיהן את נחשב
( ) ( )
( )
d d
6 3
2 6 3 3
5
6
5
6 3
2 6 3 3
5
12
5
, ; ,
=
− −
= − − =
− + −
=
ההיפרבולה נקודת לכן
ביותר הקרובה
היא לישר
( )
6 3
,
הוא ביותר הקצר והמרחק ,
6
5
.
:הערה
.במשוואה משוואה חילוק ביצענו הראשונות המערכת משוואות שתי של בפיתוח
ש להיווכח צריכים היינו לכן
-
2 3 0
x y
− −
(המקרים
x y
= = =
0 0 0
; ;
מובילים גם
ל
-
2 3 0
x y
− − =
.)
אם ,למעשה
2 3 0
x y
− − =
אז ,
y x
= −
2 3
.
ל מובילה ההיפרבולה במשוואת ההצבה
-
( )
x y x x x x
2 2 2 2 2
27 2 3 27 3 12 36 0
− = − − = − + − =
.פתרון אין האחרונה למשוואה
קריטי נקודות שאין אומרת זאת המשוואות מערכת מבחינת
הגיאומטרית ומהבחינה , נוספות ות
.נחתכים לא וההיפרבולה שהישר
נ היו וההיפרבולה הישר שאם מובן
ח
היה ביניהם ביותר הקצר המרחק , תכים
0
.
