1. ‫על־יסודיים‬ ‫ספר‬ ‫לבתי‬ ‫בגרות‬ .‫א‬ :‫הבחינה‬ ‫סוג‬ ‫ישראל‬ ‫מדינת‬
‫אקסטרניים‬ ‫לנבחנים‬ ‫בגרות‬ .‫ב‬ ‫החינוך‬ ‫משרד‬
2013 ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ :‫הבחינה‬ ‫מועד‬
316 ,035806 :‫השאלון‬ ‫מספר‬
‫הבגרות‬ ‫בחינת‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫הצעת‬
‫ה‬‫ק‬‫י‬‫ט‬‫מ‬‫ת‬‫מ‬
‫ראשון‬ ‫שאלון‬ — ‫לימוד‬ ‫יחידות‬ 5
‫לנבחן‬ ‫הוראות‬
.‫וחצי‬ ‫שעות‬ ‫שלוש‬ :‫הבחינה‬ ‫משך‬ .‫א‬
.‫פרקים‬ ‫שלושה‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ :‫ההערכה‬ ‫ומפתח‬ ‫השאלון‬ ‫מבנה‬ .‫ב‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫והסתברות‬ ‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫במישור‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 100 — ‫סה"כ‬
:‫בשימוש‬ ‫מותר‬ ‫עזר‬ ‫חומר‬ .‫ג‬
.‫לתכנות‬ ‫הניתן‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫גרפי‬ ‫לא‬ ‫מחשבון‬ )1(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫או‬ ‫גרפי‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
.)‫(מצורפים‬ ‫נוסחאות‬ ‫דפי‬ )2(
:‫מיוחדות‬ ‫הוראות‬ .‫ד‬
.‫בלבד‬ ‫מספרה‬ ‫את‬ ‫סמן‬ ;‫השאלה‬ ‫את‬ ‫תעתיק‬ ‫אל‬ )1(
‫כאשר‬ ‫גם‬ ,‫הפתרון‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫במחברת‬ ‫רשום‬ .‫חדש‬ ‫בעמוד‬ ‫שאלה‬ ‫כל‬ ‫התחל‬ )2(
.‫מחשבון‬ ‫בעזרת‬ ‫מתבצעים‬ ‫החישובים‬
.‫ומסודרת‬ ‫ברורה‬ ‫ובצורה‬ ‫בפירוט‬ ,‫חישובים‬ ‫כולל‬ ,‫פעולותיך‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הסבר‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
.‫מהמשגיחים‬ ‫שקיבלת‬ ‫בדפים‬ ‫או‬ ‫הבחינה‬ ‫במחברת‬ ‫להשתמש‬ ‫יש‬ ‫לטיוטה‬ )3(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫אחרת‬ ‫בטיוטה‬ ‫שימוש‬
.‫כאחד‬ ‫ולנבחנים‬ ‫לנבחנות‬ ‫ומכוונות‬ ‫זכר‬ ‫בלשון‬ ‫מנוסחות‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ ‫ההנחיות‬
! ‫ה‬ ‫ח‬ ‫ל‬ ‫צ‬ ‫ה‬ ‫ב‬
/‫לדף‬ ‫מעבר‬ ‫/המשך‬

2. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 2 -
1 ‫שאלה‬
.‫קמ"ש‬ v ‫של‬ ‫קבועה‬ ‫במהירות‬ ‫ורכב‬ ,‫אופניו‬ ‫על‬ ‫להרצליה‬ ‫אביב‬ ‫מתל‬ ‫יצא‬ ‫דן‬
‫במהירות‬ ‫מסלול‬ ‫באותו‬ ‫ורכבה‬ ,‫להרצליה‬ ‫אביב‬ ‫מתל‬ ‫אופניה‬ ‫על‬ ‫יצאה‬ ‫אילנית‬ ‫גם‬ ,‫דן‬ ‫של‬ ‫היציאה‬ ‫מרגע‬ ‫שעה‬ 2
1
‫כעבור‬
.‫דן‬ ‫של‬ ‫ממהירותו‬ ‫קמ"ש‬ 2 ‫ב־‬ ‫הגדולה‬
.‫להרצליה‬ ‫אילנית‬ ‫הגיעה‬ ‫הפגישה‬ ‫לאחר‬ ‫שעה‬ 2
1
‫ו־‬ ,‫להרצליה‬ ‫בדרך‬ ‫נפגשו‬ ‫ודן‬ ‫אילנית‬
‫ק"מ‬ 25 ‫מ־‬ ‫קטן‬ ‫להרצליה‬ ‫אביב‬ ‫מתל‬ ‫הרכיבה‬ ‫מסלול‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ , v ‫המהירות‬ ‫נמצאת‬ ‫מספרים‬ ‫תחום‬ ‫באיזה‬ ‫מצא‬
.‫ק"מ‬ 9 ‫מ־‬ ‫וגדול‬
1 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
)‫(שעות‬ ‫זמן‬)‫(קמ"ש‬ ‫מהירות‬)‫(ק"מ‬ ‫דרך‬
‫הפגישה‬ ‫עד‬ ‫דן‬tvv t:
‫הפגישה‬ ‫עד‬ ‫אילנית‬t 2
1
-v 2+( )( )v t2 2
1
+ -
‫הפגישה‬ ‫אחרי‬ ‫אילנית‬
2
1v 2+( 2)v 2
1
:+
:‫הפגישה‬ ‫עד‬ ‫המסלול‬ ‫אורך‬. ( 2) ( )I v t v t 2
1
: = + -
:‫המסלול‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫עוברת‬ ‫אילנית‬ ‫שבו‬ ‫הזמן‬t t2
1
2
1
- + =
:‫הוא‬ ‫המסלול‬ ‫כל‬ ‫אורך‬ ‫לכן‬. ( )II S t v 2= +
:I ‫מ־‬ ‫מקבלים‬ ‫ופישוט‬ ‫סוגריים‬ ‫פתיחת‬ ‫ידי‬ ‫על‬t v4
1
2
1
= +
:‫ונקבל‬ II ‫ב־‬ t ‫נציב‬.S v v0 25 12= + +
‫האי־שוויונים‬ ‫מפתרון‬. v v0 25 1 259 21 1+ +
:‫מקבלים‬‫קמ"ש‬ v41 1‫קמ"ש‬ 8
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

3. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 3 -
2 ‫שאלה‬
.‫א‬
.‫ב‬
:‫שבביטוי‬ ‫הריקה‬ ‫למשבצת‬ , , ,2 1H G ‫מהסימנים‬ ‫אחד‬ ‫מכניסים‬ ‫אם‬ )1(
1 2 3 ... (1 2 3 ... )n n2 2 2 2 2+ + + + + + + +4
.‫המתאים‬ ‫בסימן‬ ‫בחר‬ .‫טבעי‬ n ‫לכל‬ ‫הנכון‬ ‫אי־שוויון‬ ‫מתקבל‬
.‫טבעי‬ n ‫לכל‬ ‫מתקיים‬ )1( ‫א‬ ‫שבתת־סעיף‬ ‫האי־שוויון‬ ‫כי‬ ‫אחרת‬ ‫בדרך‬ ‫או‬ ‫באינדוקציה‬ ‫הוכח‬ )2(
, , , ...,( )n58 62 66 4 6+ :‫הם‬ ‫שאיבריה‬ ‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫נתונה‬
. )n 122 ( n ‫באמצעות‬ ‫הסדרה‬ ‫סכום‬ ‫את‬ ‫הבע‬
.‫ב‬ ‫לסעיף‬ ‫א‬ ‫סעיף‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫אין‬ :‫הערה‬
2 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫הוא‬ ‫המתאים‬ ‫הסימן‬ )1(). n = 1 ‫עבור‬ ‫מתקיים‬ ‫לא‬ ‫אי־השוויון‬ ‫אז‬ ‫כי‬ ,1‫(ולא‬ #
: n = 1 ‫עבור‬ ‫בדיקה‬ )2(1 12 2#
... ( ... )k k1 2 3 1 2 32 2 2 2 2#+ + + + + + + + :‫כלשהו‬ ‫טבעי‬ k ‫עבור‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
:‫צ"ל‬ ‫כלומר‬ , k + 1 ‫עבור‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫כי‬ ‫נוכיח‬
... ( ) ( ... )k k k k1 2 3 1 1 2 3 12 2 2 2 2 2#+ + + + + + + + + + + +
:‫הוכחה‬
:‫נובע‬ ‫האינדוקציה‬ ‫מהנחת‬... ( ) ( ... ) ( )k k k k1 2 3 1 1 2 3 12 2 2 2 2 2 2#+ + + + + + + + + + + +
:‫להוכיח‬ ‫מספיק‬ ‫לכן‬( ... ) ( ) ( ... )k k k k1 2 3 1 1 2 3 12 2 2#+ + + + + + + + + + + +
... ( )k
k
k1 2 3 2 1+ + + + = + :‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫של‬ ‫סכום‬ ‫פי‬ ‫על‬
... ( )k k
k
k1 2 3 1 2
1
2+ + + + + + =
+
+
:‫להוכיח‬ ‫נותר‬ ‫לכן‬
( ) ( )
( )
( )
k
k k
k
k4 1 1 4
1
2
2
2 2
2
2#+ + +
+
+
2
: ( )k 1 2+ ‫החיובי‬ ‫בגורם‬ ‫הצמצום‬ ‫לאחר‬( )k k
4
4
4
22 2
#
+ +
2
k k k4 4 42 2#+ + +
‫טבעי‬ n ‫לכל‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫לכן‬
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

4. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 4 -
)2( .‫א‬ .2 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
:‫להוכחה‬ ‫אחרת‬ ‫דרך‬
:‫נסמן‬...A k1 2= + + +
1+B k=
:‫להוכיח‬ ‫נותר‬ ‫לכן‬( )A B A B2 2 2#+ +
2
B B+$A B A A22 2 2 2#+ +
2
B:A0 2#
.‫להוכיח‬ ‫שנותר‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫הוכחנו‬ B 02 ‫ו־‬ A 02 ‫ש־‬ ‫מאחר‬
.‫ב‬:‫הנתון‬ ‫לפי‬d 4= ‫ו־‬ a 581=
. k ‫ב־‬ ‫בסדרה‬ ‫האיברים‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫נסמן‬
. ( )I a k58 4 1k = + - :‫חשבונית‬ ‫בסדרה‬ ‫כללי‬ ‫לאיבר‬ ‫הנוסחה‬ ‫לפי‬
:‫הנתון‬ ‫לפי‬.II a n4 6k = +
:‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬k n 12= -
(2 58 4( 13))S
n
n2
12
k :=
-
+ - :‫לכן‬
0
( )( )S n n12 32 2k = - +
/5 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

5. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 5 -
3 ‫שאלה‬
.‫גברים‬ 3k ‫ו־‬ ‫נשים‬ k ‫נמצאים‬ II ‫בחדר‬ .)k 12 ( ‫גברים‬ k ‫ו־‬ ‫נשים‬ k ‫נמצאים‬ I ‫בחדר‬
.‫מאוזנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬
. I ‫מחדר‬ ‫אנשים‬ 2 ,‫החזרה‬ ‫בלי‬ ‫זה‬ ‫אחר‬ ‫בזה‬ ‫בוחרים‬ , 3 ‫ב־‬ ‫המתחלק‬ ‫מספר‬ ‫מתקבל‬ ‫אם‬
. II ‫מחדר‬ ‫אנשים‬ 2 ,‫החזרה‬ ‫בלי‬ ‫זה‬ ‫אחר‬ ‫בזה‬ ‫בוחרים‬ , 3 ‫ב־‬ ‫מתחלק‬ ‫שאינו‬ ‫מספר‬ ‫מתקבל‬ ‫אם‬
. II ‫מחדר‬ ‫נשים‬ 2 ‫לבחור‬ ‫מההסתברות‬ 7
15
‫פי‬ ‫גדולה‬ I ‫מחדר‬ ‫נשים‬ 2 ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬ ,‫זה‬ ‫באופן‬ ‫בוחרים‬ ‫כאשר‬
.‫א‬
.‫ב‬
.‫ג‬
. k ‫את‬ ‫מצא‬
.‫שתואר‬ ‫באופן‬ ‫נשים‬ 2 ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.‫שתואר‬ ‫באופן‬ ‫אחד‬ ‫גבר‬ ‫לפחות‬ ‫שנבחר‬ ‫ידוע‬
? I ‫מחדר‬ ‫גברים‬ 2 ‫בדיוק‬ ‫שנבחרו‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬
3 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬. 6
4
3
2
= :‫היא‬ II ‫בחדר‬ ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬ . 6
2
3
1
= :‫היא‬ I ‫בחדר‬ ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬
:‫מכאן‬
P f ‫נשים‬ 2
I ‫מחדר‬
p
k
k
k
k
3 1
11
2 2: := -
-
:‫היא‬ I ‫מחדר‬ ‫נשים‬ 2 ‫לבחור‬ ‫ההסתברות‬
P f ‫נשים‬ 2
II ‫מחדר‬
p
k
k
k
k
3
2
4 4 1
1
: := -
-
:‫היא‬ II ‫מחדר‬ ‫נשים‬ 2 ‫לבחור‬ ‫וההסתברות‬
:‫הנתון‬ ‫לפי‬P f ‫נשים‬ 2
I ‫מחדר‬
p = 7
15
P f ‫נשים‬ 2
II ‫מחדר‬
p
0
k = 4 :‫מקבלים‬ , k 1- ‫ב־‬ ‫צמצום‬ ‫אחרי‬ ,‫המשוואה‬ ‫מפתרון‬
.‫ב‬
P)‫נשים‬ 2( = P f ‫נשים‬ 2
I ‫מחדר‬
p + P f ‫נשים‬ 2
II ‫מחדר‬
p
P)‫נשים‬ 2( 3
1
2
1
7
3
3
2
4
1
15
3
105
11
: : : := + =
/6 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

6. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 6 -
3 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
.‫ג‬
P f ‫גברים‬ 2
I ‫מחדר‬ / ‫לפחות‬
1 ‫גבר‬
p =
P
f ‫גברים‬ 2
I ‫מחדר‬
p
P f
‫לפחות‬
1 ‫גבר‬ p
P f ‫לפחות‬
1 ‫גבר‬
p 1= - P)‫נשים‬ 2( 1 105
11
= -
P f ‫גברים‬ 2
I ‫מחדר‬
p
3
1
2
1
7
3
: :=
:‫לכן‬P f ‫גברים‬ 2
I ‫מחדר‬ /
‫לפחות‬
1 ‫גבר‬
p
188
15
=
/7 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

7. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 7 -
4 ‫שאלה‬
‫בהתאמה‬ EH ‫ו־‬ KH ‫הצלעות‬ ‫על‬ ‫נמצאות‬ G ‫ו־‬ M ‫נקודות‬ . KHE ‫משולש‬ ‫נתון‬
. GM EKz ‫ש־‬ ‫כך‬
. EH ‫הצלע‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ F ‫נקודה‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ L ‫בנקודה‬ ‫נפגשים‬ FK ‫ו־‬ GM ‫הקטעים‬ ‫המשכי‬
. KML KFHB B= :‫נתון‬
.‫א‬. FLGKHE 3+3 ‫כי‬ ‫הוכח‬
.‫ב‬. LG = ‫ס"מ‬ 5 , EH = ‫ס"מ‬ 12.5 , GE
EF
5
3
= :‫גם‬ ‫נתון‬
. EK ‫של‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1(
. KH
MH
‫היחס‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
4 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫נתון‬GM EKz
KML KFHB B=
:‫צ"ל‬KHE FLGT T+
:‫הוכחה‬
KML KFHB B a= = :‫נסמן‬
180o ‫ל־‬ ‫משלימות‬ ‫מקבילים‬ ‫בין‬ ‫חד־צדדיות‬ ‫זוויות‬ EKH 180oB a= -
KFHB ‫ל־‬ ‫צמודה‬ ‫זווית‬ LFG 180oB a= -
0
EKH LFGB B=
‫שוות‬ ‫הן‬ ‫מקבילים‬ ‫בין‬ ‫מתחלפות‬ ‫זוויות‬ KEH FGLB B=
0
.‫ז.ז‬ ‫פי‬ ‫על‬ FLGKHE T+T
/8 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
H
E K
L
G
M
F

8. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 8 -
4 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
.‫ב‬:‫גם‬ ‫נתון‬LG = ‫ס"מ‬ 5 EH = ‫ס"מ‬ 12.5 GE
EF
5
3
=
:‫נובע‬ ‫מהנתון‬ )1(
FG
EF
2
3
=
‫דמיון‬ ‫לפי‬ ‫או‬ ‫תלס‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
:FLG ‫ו־‬ FKE ‫במשולשים‬LG
EK
FG
EF
=
0
LG
EK
2
3
=
0
EK = 7.5
:‫נובע‬ ‫א‬ ‫שבסעיף‬ ‫מהדמיון‬ )2(
FG
EK
LG
EH
=
0
FG = 3
0
EG = 7.5
0
GH = 5
‫דמיון‬ ‫לפי‬ ‫או‬ ‫תלס‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
:HMG ‫ו־‬ HKE ‫במשולשים‬KH
MH
EH
GH
=
0
.KH
MH
12 5
5
5
2
= =
/9 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

9. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 9 -
5 ‫שאלה‬
. G ‫בנקודה‬ BC ‫את‬ ‫חותך‬ AF ‫המיתר‬ .‫במעגל‬ ‫חסום‬ ABC ‫משולש‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ D ‫בנקודה‬ BC ‫את‬ ‫חותך‬ AE ‫המיתר‬
BAF CAEB B= BF BG= :‫נתון‬
. ACEAGB 3,3 ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
B C
DG
F E
A
. GC = ‫ס"מ‬ 6 , AC = ‫ס"מ‬ 5 , CE = ‫ס"מ‬ 2 :‫גם‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
. AE ‫המיתר‬ ‫של‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫חשב‬
5 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬BAF CAEB B= BF = BG :‫נתון‬
:‫צ"ל‬ACEAGB T,T
:‫הוכחה‬‫שווים‬ ‫מיתרים‬ ‫על‬ ‫נשענות‬ ‫שוות‬ ‫היקפיות‬ ‫זוויות‬ BF = CE
0
BG = CE
‫שוות‬ ‫הן‬ ‫קשת‬ ‫אותה‬ ‫על‬ ‫הנשענות‬ ‫היקפיות‬ ‫זוויות‬ ABC AECB B=
0
180o ‫הוא‬ ‫במשולש‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬ AGB ACEB B=
0
‫ז.צ.ז‬ ‫פי‬ ‫על‬ ACEAGB T,T
.‫ב‬:‫גם‬ ‫נתון‬GC = ‫ס"מ‬ 6 AC = ‫ס"מ‬ 5 CE = ‫ס"מ‬ 2
:‫נובע‬ ‫א‬ ‫בסעיף‬ ‫מהחפיפה‬AC = AG = 5
AB = AE
cos AGC 5
3
B = :‫מתקיים‬ AGC ‫שווה־שוקיים‬ ‫במשולש‬
0
cos AGB 5
3
B =-
‫הקוסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
:ABG ‫במשולש‬
2 5 2 2 5 ( )AB 5
32 2 2 : : := + - -
0
AB= ‫ס"מ‬ 41 & AE = ‫ס"מ‬ 41
/10 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

10. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 10 -
6 ‫שאלה‬
. ABC ‫שווה־צלעות‬ ‫משולש‬ ‫נתון‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫המשולש‬ ‫בתוך‬ ‫נמצאת‬ T ‫נקודה‬
. AT = ‫ס"מ‬ t , BT = ‫ס"מ‬ d , CT = ‫ס"מ‬ n , TBCB a= :‫נתון‬
.‫ס"מ‬ 2 ‫הוא‬ ‫המשולש‬ ‫צלע‬ ‫אורך‬
. ( )sin d
n t
30 4
o
2 2
a - =
-
‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. d ‫ו־‬ a ‫באמצעות‬ ATC ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
6 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:BTC ‫במשולש‬ ‫הקוסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬. cosI n d d2 2 22 2 2 : : a= + -
:TBA ‫במשולש‬ ‫הקוסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬o2 2 2 :. 2 2 2 (60 )cosII t d d: a= + - -
:‫מקבלים‬ II ‫ומ־‬ I ‫מ־‬( )cos cosd
n t
4 60o
2 2
a a
-
= - -
0
:‫הקוסינוסים‬ ‫להפרש‬ ‫הזהות‬ ‫לפי‬sin sind
n t
4 2 2
60
2
60 2o o2 2 a-
=-
-
0
( 30 )sind
n t
4
o
2 2
a
-
= -
.‫ב‬S S S SATC ABC ABT TBC= - -T T T T
0
2 2 60 2 (60 ) 2sin sin sinS d d2
1
2
1
2
1
ATC
o o: : : : : :a a= - - -T
0
( ( ) )sin sinS d3 60ATC
o a a= - - +T
/11 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
a
T
B C
A
nd
2 2
2
t

11. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 11 -
7 ‫שאלה‬
. a 02 ,‫פרמטר‬ ‫הוא‬ a . ( )f x
x a3
6
2 2=
+
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
:)‫הצורך‬ ‫במידת‬ a ‫באמצעות‬ ‫(הבע‬ ‫מצא‬ .‫א‬
. f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ )1(
.)‫כאלה‬ ‫יש‬ ‫(אם‬ ‫הצירים‬ ‫עם‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ )2(
.)‫כאלה‬ ‫יש‬ ‫(אם‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫לצירים‬ ‫המאונכות‬ ‫האסימפטוטות‬ ‫את‬ )3(
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ ,)‫כאלה‬ ‫יש‬ ‫(אם‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ )4(
. f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ .‫ב‬
. x a!= ‫ובהן‬ ‫בלבד‬ ‫פיתול‬ ‫נקודות‬ ‫שתי‬ ‫יש‬ f(x) ‫שלפונקציה‬ ‫ידוע‬ .‫ג‬
,‫חיובית‬ f ''(x) ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫שבו‬ ‫התחום‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫והבע‬ , f(x) ‫של‬ ‫בגרף‬ ‫היעזר‬ )1(
.‫נמק‬ .‫שלילית‬ ‫היא‬ ‫שבו‬ ‫התחום‬ ‫ואת‬
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ , f'(x) ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫של‬ x ‫ה־‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ )2(
. x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ x a= ‫הישר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , f'(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ד‬
.‫המבוקש‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫צירים‬ ‫במערכת‬ ‫סמן‬
7 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬).‫אי־שלילי‬ ‫ומספר‬ ‫חיובי‬ ‫מספר‬ ‫של‬ ‫סכום‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ,‫חיובי‬ ‫תמיד‬ ‫(המכנה‬ x ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ f(x) )1(
:y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ )2(. x‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫אין‬ . ( , )
a
0
2
2
:‫אופקית‬ ‫אסימפטוטה‬ )3(
.‫אנכית‬ ‫אסימפטוטה‬ ‫אין‬
y = 0
)4(( )
( )
' x
x a
x
f
3
12
2 2 2=
+
-
( )' xf 0= & 0x =
x 02 ‫עבור‬( ) 0' xf 1
x 01 ‫עבור‬( ) 0' xf 2
( , )
a
0
2
2 ‫בנקודה‬ ‫מקסימום‬ ‫שיש‬ ‫מכאן‬
/12 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

12. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 12 -
7 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
.‫ב‬
x
y
.‫ג‬( ) ( ) 0'' ''f a f a= - = :‫נובע‬ ‫מהנתון‬
.,‫מעלה‬ ‫כלפי‬ ‫קעורה‬ f(x) ‫אלה‬ ‫בתחומים‬ ‫כי‬ , x a1- ‫או‬ x a2 ‫עבור‬ ( )''f x 02 )1(
.+‫מטה‬ ‫כלפי‬ ‫קעורה‬ f(x) ‫זה‬ ‫בתחום‬ ‫כי‬ , a x a1 1- ‫עבור‬ ( ) 0''f x 1
)2(x a2aa x a1 1-a-x a1-x
+0-0+( )''f x
343( )'f x
x a=- ‫שבה‬ ‫בנקודה‬ ‫מקסימום‬ ‫יש‬ ( )'f x ‫ל־‬
x a= ‫שבה‬ ‫בנקודה‬ ‫מינימום‬ ‫ויש‬
.‫ד‬. f'(0) = 0 ‫ו־‬ x 02 ‫עבור‬ ‫שלילית‬ f'(x) :)4(‫א‬ ‫סעיף‬ ‫פי‬ ‫על‬
: a ‫ל־‬ 0 ‫שבין‬ ‫בגבולות‬ x ‫ה־‬ ‫לציר‬ ‫מתחת‬ ‫נמצא‬ S ‫המבוקש‬ ‫השטח‬ ‫לכן‬
a
y
x
a
( ) [ ( )]'S x dx f xf
a
0
0
=- =-#
S
a2
1
2=
/13 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

13. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 13 -
8 ‫שאלה‬
. x 30G G r ‫בקטע‬ ( ) sin sinf x x x2
1
= - + ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
:‫מצא‬ ‫הנתון‬ ‫בקטע‬ .‫א‬
.‫מוגדרת‬ ‫הפונקציה‬ x ‫ערכי‬ ‫אילו‬ ‫עבור‬ )1(
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ ,‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ )2(
.‫הנתון‬ ‫בקטע‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ )1( .‫ב‬
.‫בדיוק‬ ‫נקודות‬ ‫בשתי‬ ‫הפונקציה‬ ‫לגרף‬ ‫המשיק‬ ‫ישר‬ ‫משוואת‬ ‫מצא‬ )2(
.‫נמק‬ ? sin sinx x2
1
2 ‫האי־שוויון‬ ‫מתקיים‬ ‫שעבורם‬ ‫הנתון‬ ‫בקטע‬ x ‫של‬ ‫ערכים‬ ‫יש‬ ‫האם‬ .‫ג‬
8 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
.‫א‬:‫הנתון‬ ‫בקטע‬ x ‫כל‬ ‫עבור‬ )1(sinx 0$)sinx 0$ ‫כאשר‬ ‫רק‬ ‫מוגדר‬ sinx (
2
x2 3# #r r ‫או‬ x0# # r
:) x01 1r ‫או‬ x2 31 1r r ‫(עבור‬ )2(
( )
( )
'
sin
cos sin
x
x
x x
f
2
1
=
-
( )' sinx xf 0 1 0&= - = ‫או‬ cosx 0=
22
Z
[
]]
]]
x 2
r
= x 2
r
=
x 2
5
r= x 2
3r
= ‫ההגדרה‬ ‫בתחום‬ ‫לא‬
x 2
5r
=
3r
2
5r2rr
2
r0x
0
2
1
-
00
2
1
-
0f(x)
3434
:‫בנקודות‬ ‫מקסימום‬( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 0 2 0 3 0r r r
:‫בנקודות‬ ‫מינימום‬( , ) ( , )2 2
1
2
5
2
1r r
- -
/14 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

14. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 14 -
8 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬ ‫המשך‬
.‫ב‬
x
y
r 2r 3r0
2
5r
2
r
)1(
)‫המינימום‬ ‫נקודות‬ ‫שתי‬ ‫דרך‬ ‫העובר‬ ‫(ישר‬ y 2
1
=- )2(
.‫ג‬. ( )f x 02 ‫ל־‬ ‫שקול‬ sin sinx x2
1
2 ‫האי־שוויון‬
.‫ההגדרה‬ ‫בתחום‬ x ‫לכל‬ ( )f x 0# ‫כי‬ , sin sinx x2
1
2 ‫האי־שוויון‬ ‫מתקיים‬ ‫שעבורם‬ ‫ערכים‬ ‫אין‬ ‫לכן‬
/15 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

15. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ,‫מתמטיקה‬ - 15 -
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
9 ‫שאלה‬
. )‫שווים‬ ‫חלקים‬ ‫דווקא‬ ‫(לאו‬ ‫חלקים‬ ‫לשני‬ k ‫שאורכו‬ ‫חוט‬ ‫מחלקים‬
.‫ריבוע‬ ‫יוצרים‬ ‫האחר‬ ‫ומהחלק‬ ‫מעגל‬ ‫יוצרים‬ ‫החוט‬ ‫של‬ ‫אחד‬ ‫מחלק‬
. 4
5
r
r
+ ‫הוא‬ ‫המעגל‬ ‫היקף‬ ‫כאשר‬ ‫מינימלי‬ ‫הוא‬ ‫הצורות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫השטחים‬ ‫סכום‬
. k ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬
9 ‫לשאלה‬ ‫פתרון‬
:‫המעגל‬ ‫היקף‬) x k0# # ( x
:‫הריבוע‬ ‫היקף‬k x-
:‫השטחים‬ ‫סכום‬2
( ) ( )S
x k x
42
2:r r= +
-
0
( )
'
x k
S 8
4
r
r r
=
+ -
.' I x
k
S 0 4& r
r
= = +
)[ , ]k0 ‫בקטע‬ ‫נמצאת‬
k
4r
r
+ ‫(הנקודה‬
:‫מינימום‬ ‫בדיקת‬0''S 8
4
2r
r
=
+
:‫הנתון‬ ‫לפי‬.II x 4
5
r
r
= +
:‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬k 5=