1. ‫על־יסודיים‬ ‫ספר‬ ‫לבתי‬ ‫בגרות‬ .‫א‬ :‫הבחינה‬ ‫סוג‬ ‫ישראל‬ ‫מדינת‬
‫אקסטרניים‬ ‫לנבחנים‬ ‫בגרות‬ .‫ב‬ ‫החינוך‬ ‫משרד‬
2013 ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ :‫הבחינה‬ ‫מועד‬
314 ,035804 :‫השאלון‬ ‫מספר‬
‫הבגרות‬ ‫בחינת‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫הצעת‬
‫ה‬‫ק‬‫י‬‫ט‬‫מ‬‫ת‬‫מ‬
‫ראשון‬ ‫שאלון‬ — ‫לימוד‬ ‫יחידות‬ 4
‫לנבחן‬ ‫הוראות‬
.‫וחצי‬ ‫שעות‬ ‫שלוש‬ :‫הבחינה‬ ‫משך‬ .‫א‬
.‫פרקים‬ ‫שלושה‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ :‫ההערכה‬ ‫ומפתח‬ ‫השאלון‬ ‫מבנה‬ .‫ב‬
,‫אנליטית‬ ‫גאומטריה‬ ,‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫הסתברות‬
‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫במישור‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 100 — ‫סה"כ‬
:‫בשימוש‬ ‫מותר‬ ‫עזר‬ ‫חומר‬ .‫ג‬
.‫לתכנות‬ ‫הניתן‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫גרפי‬ ‫לא‬ ‫מחשבון‬ )1(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫או‬ ‫גרפי‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
.)‫(מצורפים‬ ‫נוסחאות‬ ‫דפי‬ )2(
:‫מיוחדות‬ ‫הוראות‬ .‫ד‬
.‫בלבד‬ ‫מספרה‬ ‫את‬ ‫סמן‬ ;‫השאלה‬ ‫את‬ ‫תעתיק‬ ‫אל‬ )1(
‫כאשר‬ ‫גם‬ ,‫הפתרון‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫במחברת‬ ‫רשום‬ .‫חדש‬ ‫בעמוד‬ ‫שאלה‬ ‫כל‬ ‫התחל‬ )2(
.‫מחשבון‬ ‫בעזרת‬ ‫מתבצעים‬ ‫החישובים‬
.‫ומסודרת‬ ‫ברורה‬ ‫ובצורה‬ ‫בפירוט‬ ,‫חישובים‬ ‫כולל‬ ,‫פעולותיך‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הסבר‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
.‫מהמשגיחים‬ ‫שקיבלת‬ ‫בדפים‬ ‫או‬ ‫הבחינה‬ ‫במחברת‬ ‫להשתמש‬ ‫יש‬ ‫לטיוטה‬ )3(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫אחרת‬ ‫בטיוטה‬ ‫שימוש‬
.‫כאחד‬ ‫ולנבחנים‬ ‫לנבחנות‬ ‫ומכוונות‬ ‫זכר‬ ‫בלשון‬ ‫מנוסחות‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ ‫ההנחיות‬
! ‫ה‬ ‫ח‬ ‫ל‬ ‫צ‬ ‫ה‬ ‫ב‬
/‫לדף‬ ‫מעבר‬ ‫/המשך‬

2. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 2 -
1 ‫שאלה‬
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫הסתברות‬ ,‫אנליטית‬ ‫גאומטריה‬ ,‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 3-1 ‫השאלות‬ ‫מבין‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. ABCD ‫ומריבוע‬ ‫עיגול‬ ‫מחצי‬ ‫מורכב‬ ‫חלון‬ .1
,‫העיגול‬ ‫חצי‬ ‫של‬ ‫קוטר‬ ‫היא‬ AD ‫הריבוע‬ ‫צלע‬
.‫בציור‬ ‫כמתואר‬
‫מ"ר‬ 0.2187 ‫ב־‬ ‫גדול‬ ‫הריבוע‬ ‫שטח‬
.‫העיגול‬ ‫חצי‬ ‫משטח‬
‫החיצונית‬ ‫המסגרת‬ ‫של‬ ‫ההיקף‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.‫החלון‬ ‫של‬
. .3 14r = ‫ב־‬ ‫השתמש‬ ‫בחישוביך‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ( , )B 2 8- ‫ו־‬ ( , )A 10 4 ‫הנקודות‬ ‫נתונות‬ .2
‫שמרחקה‬ ‫כך‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ P ‫נקודה‬
. B ‫מנקודה‬ ‫למרחקה‬ ‫שווה‬ A ‫מנקודה‬
. P ‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
. ADBP ‫המרובע‬ ‫של‬ ‫קדקודים‬ ‫הן‬ P ‫ו־‬ B , A ‫הנקודות‬
. BD PAz , BP ADz :‫נתון‬
. D ‫הקדקוד‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
.‫נמק‬ . BDA ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫הרדיוס‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ג‬
3‫בעמוד‬‫המשך‬
A D
CB
A
B
y
x
1 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
)‫ציור‬ ‫(ראה‬ AD R2= :‫נסמן‬
R2
1 2r : R ‫שרדיוסו‬ ‫העיגול‬ ‫חצי‬ ‫שטח‬
R4 2 : ADCB ‫הריבוע‬ ‫שטח‬
.R R4 2
1
0 21872 2r= + :‫הנתון‬ ‫לפי‬ ‫לכן‬
0
R = ‫מטר‬ .0 3 :‫לכן‬ ,R 02
.0 3#r : R ‫שרדיוסו‬ ‫העיגול‬ ‫חצי‬ ‫היקף‬
.3 2 0 3# $ : ADCB ‫הריבוע‬ ‫צלעות‬ ‫שלוש‬ ‫היקף‬
. .0 3 3 2 0 3# # $r + = ‫מטר‬ 2.742 :‫המסגרת‬ ‫היקף‬
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A D2R
2R2R
2R CB

3. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 3 -
2 ‫שאלה‬
.‫החלון‬ ‫של‬
. .3 14r = ‫ב־‬ ‫השתמש‬ ‫בחישוביך‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ( , )B 2 8- ‫ו־‬ ( , )A 10 4 ‫הנקודות‬ ‫נתונות‬ .2
‫שמרחקה‬ ‫כך‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ P ‫נקודה‬
. B ‫מנקודה‬ ‫למרחקה‬ ‫שווה‬ A ‫מנקודה‬
. P ‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
. ADBP ‫המרובע‬ ‫של‬ ‫קדקודים‬ ‫הן‬ P ‫ו־‬ B , A ‫הנקודות‬
. BD PAz , BP ADz :‫נתון‬
. D ‫הקדקוד‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
.‫נמק‬ . BDA ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫הרדיוס‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ג‬
3‫בעמוד‬‫המשך‬
CB
A
B
y
x
2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
, ( , ) , ( , ) , ( , )PA PB P x B A0 2 8 10 4P= - :‫הנתון‬ ‫לפי‬ .‫א‬
0
( ) ( )x x10 4 2 8P P
2 2 2 2- + = - - +
0
2 ( , )x P 2 0P &=
,‫זה‬ ‫את‬ ‫זה‬ ‫חוצים‬ ‫האלכסונים‬ ‫במקבילית‬ .‫ב‬
x 2
10 2
4=
-
= :‫הם‬ ‫האלכסונים‬ ‫מפגש‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫לכן‬
y 2
4 8
6=
+
=
x x x
2 2
2
4P D D+
= =
+
:‫מכאן‬
0
x 6D
=
y y y
2 6 2
0P D D+
= =
+
0
y 12D =
( , )D 6 12 : D ‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A
B
D
P x
y

4. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 4 -
.2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
6 2
12 8
2
1
+
-
= :‫הוא‬ BD ‫שיפוע‬ .‫ג‬
6
12
210
4-
=-- :‫הוא‬ AD ‫שיפוע‬
BD AD= :‫לכן‬ , 1- ‫ל־‬ ‫שווה‬ ‫השיפועים‬ ‫מכפלת‬
0
.‫עליו‬ ‫נשענת‬ 90o ‫של‬ ‫היקפית‬ ‫זווית‬ ‫כי‬ ,‫קוטר‬ ‫הוא‬ BA
0
‫רדיוס‬ ( ) ( )BA2
1
2
1
10 2 4 82 2= = + + -
0
‫רדיוס‬ 2 10=
/5 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

5. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 5 -
3 ‫שאלה‬‫נספח‬ + 314 , 035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬
-3-
:‫החקלאי‬ ‫של‬ ‫במחסן‬ .‫אדומים‬ ‫ופרחים‬ ‫לבנים‬ ‫פרחים‬ ‫מייצא‬ ‫חקלאי‬ .3
.‫ורדים‬ ‫הם‬ ‫הלבנים‬ ‫מהפרחים‬ 12
1
.‫ורדים‬ ‫הם‬ ‫האדומים‬ ‫מהפרחים‬ 3
2
.‫חבצלות‬ ‫הם‬ ‫והשאר‬ ,‫ורדים‬ ‫הם‬ ‫הפרחים‬ ‫מכלל‬ 25%
.‫שבמחסן‬ ‫הפרחים‬ ‫מבין‬ ‫פרח‬ ‫באקראי‬ ‫בוחרים‬ .‫א‬
?‫אדום‬ ‫הוא‬ ‫שהפרח‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬ )1(
?‫ורד‬ ‫שהוא‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬ ‫אדום‬ ‫הוא‬ ‫שהפרח‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬ )2(
. 300 ‫הוא‬ ‫במחסן‬ ‫האדומים‬ ‫הוורדים‬ ‫שמספר‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
?‫במחסן‬ ‫הפרחים‬ ‫מספר‬ ‫מהו‬
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫במישור‬ ‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 6-4 ‫השאלות‬ ‫מבין‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. I ‫במעגל‬ ‫חסום‬ AKLM ‫מרובע‬ .4
. II ‫מעגל‬ ‫העבירו‬ K ‫ו־‬ A ‫קדקודים‬ ‫דרך‬
E ‫בנקודה‬ ‫נפגשים‬ LK ‫ו־‬ MA ‫הצלעות‬ ‫המשכי‬
.II ‫המעגל‬ ‫שעל‬
E ‫בנקודה‬ II ‫למעגל‬ ‫משיק‬ FE ‫הישר‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
. LM ‫למיתר‬ ‫מקביל‬ FE ‫הישר‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. AEK EMLT T+ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫ב‬
. KL = ‫ס"מ‬ 2 , KE = ‫ס"מ‬ 7 , AE = ‫ס"מ‬ 6 :‫נתון‬ .‫ג‬
. LEM ‫המשולש‬ ‫לשטח‬ AEK ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )1(
. AKLM ‫המרובע‬ ‫לשטח‬ AEK ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )2(
4‫בעמוד‬‫המשך‬
A
II
K
L
M I
E
F
3 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
‫אדומים‬ ‫פרחים‬ — A :‫נסמן‬
‫ורדים‬ ‫שהם‬ ‫פרחים‬ — B
( / )P B A 12
1
= , ( / )P B A 3
2
= , ( ) .P B 0 25= :‫הנתון‬ ‫לפי‬ )1( .‫א‬
0 0
( ) ( )P B A P A12
1
+ = , ( ) ( )P B A P A3
2
+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))P B P B A P B A P A P A3
2
12
1
1+ += + = + -
0
. ( ) ( ( ))P A P A0 25 3
2
12
1
1= + -
0
( )P A 7
2
=
( / ) ( )
( )
.P A B P B
P A B
0 25
3
2
7
2
21
16+ $
= = = )2(
‫במחסן‬ ‫הפרחים‬ ‫מספר‬ — N :‫נסמן‬ .‫ב‬
( )P A B N
300
+ =
0
N3
2
7
2 300
$ =
0
N 1575=
/6 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

6. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 6 -
4 ‫שאלה‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 6-4 ‫השאלות‬ ‫מבין‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. I ‫במעגל‬ ‫חסום‬ AKLM ‫מרובע‬ .4
. II ‫מעגל‬ ‫העבירו‬ K ‫ו־‬ A ‫קדקודים‬ ‫דרך‬
E ‫בנקודה‬ ‫נפגשים‬ LK ‫ו־‬ MA ‫הצלעות‬ ‫המשכי‬
.II ‫המעגל‬ ‫שעל‬
E ‫בנקודה‬ II ‫למעגל‬ ‫משיק‬ FE ‫הישר‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
. LM ‫למיתר‬ ‫מקביל‬ FE ‫הישר‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. AEK EMLT T+ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫ב‬
. KL = ‫ס"מ‬ 2 , KE = ‫ס"מ‬ 7 , AE = ‫ס"מ‬ 6 :‫נתון‬ .‫ג‬
. LEM ‫המשולש‬ ‫לשטח‬ AEK ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )1(
. AKLM ‫המרובע‬ ‫לשטח‬ AEK ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )2(
4‫בעמוד‬‫המשך‬
A
II
K
L
M I
E
F
4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
‫ההיקפית‬ ‫לזווית‬ ‫שווה‬ ‫למיתר‬ ‫משיק‬ ‫בין‬ ‫זווית‬ FEK EAKB B a= = .‫א‬
.‫השני‬ ‫מצדו‬ ‫זה‬ ‫מיתר‬ ‫על‬ ‫הנשענת‬
. 180o ‫ל־‬ ‫משלימות‬ ‫צמודות‬ ‫זוויות‬ MAK 180oB a= -
0
. 180o ‫הוא‬ ‫במעגל‬ ‫חסום‬ ‫במרובע‬ ‫נגדיות‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬ MLKB a=
0
MLK FEKB B=
0
.‫מקבילים‬ ‫הישרים‬ ‫אז‬ ,‫שוות‬ ‫מתחלפות‬ ‫זוויות‬ LM FEz
EAK ELMB B a= = :‫א‬ ‫סעיף‬ ‫לפי‬ .‫ב‬
‫משותפת‬ EB
.‫ז‬ .‫ז‬ ‫פי‬ ‫על‬ LEMAEK 3+3 :‫לכן‬
/7 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

7. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 7 -
.4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
‫השטחים‬ ‫יחס‬ ‫דומים‬ ‫במשולשים‬
E
AEK
LE
AE
L M
2
=
3
3
S
S
b l )1( .‫ג‬
.‫הדמיון‬ ‫יחס‬ ‫לריבוע‬ ‫שווה‬
AE = ‫ס"מ‬ 6 , KL = ‫ס"מ‬ 2 , KE = ‫ס"מ‬ 7 :‫הנתון‬ ‫לפי‬
LE KL KE= +
LE
AEK
M 2 7
6
9
42
= + =
3
3
S
S
b l :‫מכאן‬
LEM AEK.I S4
9
=3 3S )2(
LEM S- AEK.II S SAKLM = 3 3k
AEKS S4
5
AKLM = 3; :‫מקבלים‬ II ‫ומ־‬ I ‫מ־‬
AEK
AEK
S
S
4
5 5
4
AKLM
AEK
= =3
3
3
k
S
S
/8 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

8. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 8 -
5 ‫שאלה‬
‫נספח‬ + 314 , 035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬
-4-
)AM = AK( AMK ‫שווה־שוקיים‬ ‫במשולש‬ .5
, AM ‫לשוק‬ ‫תיכון‬ ‫הוא‬ KD
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ AK ‫לשוק‬ ‫גובה‬ ‫הוא‬ ME ‫ו־‬
. DAE DEAB B= ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. A bM 2= , AM K 2B a= :‫נתון‬
. ADE ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ a ‫ו־‬ b ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
: DEMK 2:= ‫כי‬ ‫גם‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ .‫ג‬
. a ‫את‬ ‫חשב‬ )1(
. DE MKz ‫כי‬ ‫הוכח‬ )2(
. AMLK ‫מעוין‬ ‫נתון‬ .6
. ML ‫הצלע‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ E ‫נקודה‬
AE ‫הקטע‬ ‫את‬ ‫חותך‬ KM ‫האלכסון‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ P ‫בנקודה‬
, EAKB a= , AML 120oB = :‫נתון‬
. a ‫הוא‬ ‫המעוין‬ ‫צלע‬ ‫אורך‬
.‫נמק‬ . PKA ‫הזווית‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
. PK ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ a ‫ו־‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ )2(
. G ‫בנקודה‬ AK ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬ . AK ‫לצלע‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬ P ‫הנקודה‬ ‫דרך‬ .‫ב‬
. 46oa = ‫כי‬ ‫גם‬ ‫נתון‬
. GL ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬
5‫בעמוד‬‫המשך‬
M
D E
K
A
A
a
M E
P
L
K
5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
.‫היתר‬ ‫לחצי‬ ‫שווה‬ ‫ליתר‬ ‫התיכון‬ ‫ישר־זווית‬ ‫במשולש‬ DE AM AD2
1
= = :MEA ‫ישר־הזווית‬ ‫במשולש‬ .‫א‬
0
.‫שוות‬ ‫זוויות‬ ‫נמצאות‬ ‫במשולש‬ ‫שוות‬ ‫צלעות‬ ‫מול‬ DEADAEB B=
sinAD ED ADEE $ B=ADS 2
1
3 .‫ב‬
0
( )sinb b 180 4E $ $ a= -ADS 2
1 o
3
0
( )sinb 4a=EADS 2
1 2
3
MK DE2= :‫הנתון‬ ‫לפי‬ )1( .‫ג‬
0
MK b AM2$= = :‫לכן‬ , DE AM2
1
=
0
MK AM AK= = :‫לכן‬ , AM AK=
0
‫שווה־צלעות‬ ‫הוא‬ AMK3
0
2 60oa =
0
03 oa =
/9 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

9. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 9 -
.‫ג‬ ‫סעיף‬ 5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
AMK 60oB = : )1( ‫ג‬ ‫תת־סעיף‬ ‫לפי‬ )2(
ADE 180 4 60o oB a= - = :‫ב‬ ‫סעיף‬ ‫לפי‬
0
ADE AMKB B=
0
.‫מקבילים‬ ‫הישרים‬ ‫אז‬ ,‫שוות‬ ‫מתאימות‬ ‫זוויות‬ DE MKz
/10 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

10. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 10 -
6 ‫שאלה‬
. a ‫את‬ ‫חשב‬ )1(
. DE MKz ‫כי‬ ‫הוכח‬ )2(
. AMLK ‫מעוין‬ ‫נתון‬ .6
. ML ‫הצלע‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ E ‫נקודה‬
AE ‫הקטע‬ ‫את‬ ‫חותך‬ KM ‫האלכסון‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ P ‫בנקודה‬
, EAKB a= , AML 120oB = :‫נתון‬
. a ‫הוא‬ ‫המעוין‬ ‫צלע‬ ‫אורך‬
.‫נמק‬ . PKA ‫הזווית‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
. PK ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ a ‫ו־‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ )2(
. G ‫בנקודה‬ AK ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬ . AK ‫לצלע‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬ P ‫הנקודה‬ ‫דרך‬ .‫ב‬
. 46oa = ‫כי‬ ‫גם‬ ‫נתון‬
. GL ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬
5‫בעמוד‬‫המשך‬
A
a
M E
P
L
K
6 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
.‫שוות‬ ‫במעוין‬ ‫נגדיות‬ ‫זוויות‬ LKA AML 120oB B= = )1( .‫א‬
0
.‫נגדיות‬ ‫זוויות‬ ‫חוצה‬ ‫אלכסון‬ ‫במעוין‬ PKA 60oB =
,‫הסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫פי‬ ‫על‬ )2(
( ( ))sin sin
PK a
180 60o oa a
=
- +
:‫מתקיים‬ PKA ‫במשולש‬
0
( )sin
sin
PK
a
60oa
a
=
+
, ,90 60 30o o o :‫הן‬ GPK ‫במשולש‬ ‫הזוויות‬ .‫ב‬
0
sinGK PK30o$=
0
( )sin
sin
GK
a
2 46 60
46
o o
o
=
+
0
.GK a0 374=
,‫הקוסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫פי‬ ‫על‬
cosGL GK KL GK KL AKL22 2 2 $ $ $ B= + - :‫מתקיים‬ GLK ‫במשולש‬
0
. . cosGL a a a0 374 2 0 374 120o2 2 2 2 2$ $ $ $= + -
0
.GL a1 23=
/11 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A
M
P
E
G
L
K
60o
30o

11. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 11 -
7 ‫שאלה‬
,‫פולינומים‬ ‫של‬ ‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫שורש‬ ‫פונקציות‬ ‫ושל‬ ‫רציונליות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 9-7 ‫השאלות‬ ‫מבין‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. ( )f x x x x4 6= - ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .7
.‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
.‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ ,‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )3(
.‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ .‫ב‬
f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫את‬ ‫לתאר‬ ‫עשוי‬ , IV , III , II , I ‫הגרפים‬ ‫מבין‬ ‫גרף‬ ‫איזה‬ .‫ג‬
.‫נמק‬ ? x1 10# # ‫בתחום‬
y
IV III II I
x
y
x
y
x
y
x
‫הגרפים‬ ‫מוצגים‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ .8
( ) ( )f x x a 2= - :‫הפונקציות‬ ‫של‬
( )
( )
g x
x a
16
2=
-
. 0 ‫מ־‬ ‫גדול‬ ‫פרמטר‬ ‫הוא‬ a
‫המקבילות‬ ‫האסימפטוטות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.)‫הצורך‬ ‫במידת‬ a ‫באמצעות‬ ‫(הבע‬ g(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫לצירים‬
. x a 2= + ‫שבה‬ ‫הנקודה‬ ‫היא‬ ‫הפונקציות‬ ‫של‬ ‫הגרפים‬ ‫בין‬ ‫החיתוך‬ ‫מנקודות‬ ‫אחת‬
x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫הוא‬ S1
.)‫בציור‬ ‫המקווקו‬ ‫(השטח‬ x a 2= + ‫הישר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , g(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫הוא‬ S2
.)‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬ x a 3= + ‫ו־‬ x a 2= + ‫הישרים‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
. S
S
2
1
‫היחס‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫ב‬6‫בעמוד‬‫המשך‬
y
x
S1 S2
7 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
4 0x$ :‫להתקיים‬ ‫צריך‬ )1( .‫א‬
0
x 0$ :‫ההגדרה‬ ‫תחום‬
( )x f0 0 0&= = )2(
0 6 0 ( 6)y x x x x x4 4&= - = = -
0
x 0= , x 9=
( , )9 0 , (0 ,0) :‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫נקודות‬
/12 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

12. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 12 -
.7 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
( )f x x x x4 6= - )3( .‫א‬
0
f'( ) 6x x x
x x
x x
4
2 4
4
4
6 6 4
$= + - =
-
f'(x) 0 x x6 6 4&= =
0
x x42 =
0
x 4= :‫לכן‬ , x 02 ‫הוא‬ f'(x) ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬
: f(x) ‫של‬ ‫וירידה‬ ‫עלייה‬ ‫תחומי‬
940x
038-40f(x)
(0 , 0) :‫התחום‬ ‫בקצה‬ ‫מקסימום‬ ‫נקודת‬
( , )4 8- :‫מינימום‬ ‫נקודת‬
.‫ב‬y
x
, x 4= ‫ב־‬ ‫מינימום‬ ‫יש‬ f(x) ‫לפונקציה‬ .‫ג‬
. x 42 ‫עבור‬ f'( )x 02 ‫ו־‬ x1 41# ‫עבור‬ f'( )x 01 :‫לכן‬
IV :‫הוא‬ ‫שהגרף‬ ‫מכאן‬
/13 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

13. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 13 -
8 ‫שאלה‬
y
x
y
x
y
x
y
x
‫הגרפים‬ ‫מוצגים‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ .8
( ) ( )f x x a 2= - :‫הפונקציות‬ ‫של‬
( )
( )
g x
x a
16
2=
-
. 0 ‫מ־‬ ‫גדול‬ ‫פרמטר‬ ‫הוא‬ a
‫המקבילות‬ ‫האסימפטוטות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.)‫הצורך‬ ‫במידת‬ a ‫באמצעות‬ ‫(הבע‬ g(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫לצירים‬
. x a 2= + ‫שבה‬ ‫הנקודה‬ ‫היא‬ ‫הפונקציות‬ ‫של‬ ‫הגרפים‬ ‫בין‬ ‫החיתוך‬ ‫מנקודות‬ ‫אחת‬
x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫הוא‬ S1
.)‫בציור‬ ‫המקווקו‬ ‫(השטח‬ x a 2= + ‫הישר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , g(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫הוא‬ S2
.)‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬ x a 3= + ‫ו־‬ x a 2= + ‫הישרים‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
. S
S
2
1
‫היחס‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫ב‬6‫בעמוד‬‫המשך‬
y
x
S1 S2
8 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
x a= :‫אסימפטוטות‬ .‫א‬
y 0=
( ) 0f x x a&= = : x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ f(x) ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ .‫ב‬
0
( )
( )
S x a dx
x a
3 3
2
3
0
3
8
a
a
a
a
1
2
2 3 32
= - =
-
= - =
+ +
; E#
( )
S
x a
dx x a
16 16
3
16
2
16
3
8
a
a
a
a
2 2
2
3
2
3
=
-
= - - = - + =
+
+
+
+
9 C#
S
S
1
2
1
= :‫הוא‬ ‫היחס‬
/14 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

14. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 14 -
9 ‫שאלה‬‫נספח‬ + 314 , 035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬
-6-
f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫מוצג‬ ‫בציור‬ .9
. x0 4# # ‫בתחום‬
. x = 2 ‫שבה‬ ‫בנקודה‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ f'(x) ‫של‬ ‫הגרף‬
‫הגרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫הוא‬ S1
f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬
.)‫בציור‬ ‫המקווקו‬ ‫(השטח‬ ‫הצירים‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
, f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫הוא‬ S2
.)‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬ x 4= ‫הישר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬
. S 41= , ( )f 0 0= :‫נתון‬ )1( .‫א‬
. f(2) ‫את‬ ‫חשב‬
. S 42 = :‫גם‬ ‫נתון‬ )2(
. f(4) ‫את‬ ‫חשב‬
,‫הנתון‬ ‫בתחום‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הפנימית‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודת‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
.‫נמק‬ .‫סוגה‬ ‫את‬ ‫וקבע‬
.‫הנתון‬ ‫בתחום‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ .‫ג‬
!‫בהצלחה‬
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
S1
S2 4
y
x0 2
f'(x)
9 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
2
. ( ) ( ) ( ) ( )'I S f x dx f x f f2 01
0
2
= = = -
0
6 @# )1( .‫א‬
. , ( )II S f4 0 01= = :‫הנתון‬ ‫לפי‬
( )f 2 4= :‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬
( ( ) ( ))dx f f4 2= - = - -( )xf'
4
. ( )III S f x2
2
4
= -
2
6 @# )2(
. ( )IV f 2 4= :‫ומצאנו‬ , S 42 = :‫הנתון‬ ‫לפי‬
( )f 4 0= :‫מקבלים‬ IV ‫ו־‬ III ‫מ־‬
/15 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

15. 314 ,035804 '‫מס‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 15 -
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
.9 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
:‫מקבלים‬ ‫הגרף‬ ‫לפי‬ .‫ב‬
x2 41 G2x0 21Gx
-0+f'(x)
43f(x)
(2 , 4) :‫בנקודה‬ ‫מקסימום‬ ‫יש‬ f(x) ‫לפונקציה‬ ‫לכן‬
:‫הקודמים‬ ‫הסעיפים‬ ‫תוצאות‬ ‫פי‬ ‫על‬ .‫ג‬
y
x0 2 4