Урок математики в 7 классе "Применение формул сокращенного умножения для вычисления квадратов чисел"

1. Цель: сформулировать у учащихся умения и навыки
применения формул сокращенного умножения при возведении
чисел в квадрат, уметь их применять при выполнении упражнений,
решении задач, развивать логическое мышление, память,
математическую речь, воспитывать внимательность,
настойчивость.
Ход урока
1. Организационный момент.
Добрый день, дети!
На предыдущих уроках вы работали над выработкой навыков
применения формул сокращенного умножения.
Вспомните эти формулы.
2. Актуализация опорных знаний.
Предлагаю вам восстановить тождества:
( )
2
a b+ = 2
b+
2
2a ab= − +
( ) 2
a b a− = −
( )2
b a b− = +
3. Постановка цели деятельности.
При применении формул сокращенного умножения появляются
сложности при возведении чисел в квадрат. Например, можно вычислить в
столбик, калькуляторами пользоваться нельзя. Поэтому, сегодня мы
рассмотрим приемы возведения чисел в квадрат, которые основываются на
законах арифметических действий, формулах сокращенного умножения.

2. Вы будете применять эти навыки не только на уроках алгебры, но и на
уроках геометрии, физики, астрономии и других.
Итак, откроем тетради и запишем тему урока: «Возведение чисел в
квадрат».
4. Восприятие и осознание.
Рассмотрим пример:
( )
2 2 2 2
10 10 2 10 100 20a a a a a+ = + × + = + + =
( ) ( )( )2 2
10 2 10 10 10a a a a a= + + = + + + , тому
( )2 2
13 13 3 10 3 16 10 9 169= + + = × + = ;
( )
2 2 2 2
20 20 2 20 400 40a a a a a+ = + × + = + + =
( ) ( )( )2 2
20 2 20 20 20a a a a a= + + = + + + ;
( )
2 2 2 2
30 30 2 30 900 60a a a a a+ = + × + = + + =
( ) ( )( )2 2
30 2 30 30 30a a a a a= + + = + + + .
По аналогии можно возвести в квадрат числа от 11 до 99.
Например:
( )2 2
27 27 7 20 7 34 2 10 49 729= + + = × × + = ;
( )2 2
91 91 1 90 1 92 9 10 1 8281= + + = × × + = ;
( ) ( )
22
7.5 7.5 0.5 7 0.5 8 7 0.25 56.25= + + = × + = ;
2 2
1 1 1 1 1 1
9 9 9 10 9 90
2 2 2 2 4 4
     
= + + = × + = ÷  ÷  ÷
     
.
Применим эту формулу для трехзначного числа:
( )
2 2 2
100 10000 2 100a a a+ = + × + =
( ) ( )( )2 2
100 2 100 100 100a a a a a= + + = + + + ;
( )
2 2 2
200 40000 2 200a a a+ = + × + =
( ) ( )( )2 2
200 2 200 200 200a a a a a= + + = + + + ;
( )
2 2 2
300 90000 2 300a a a+ = + × + =
( ) ( )( )2 2
300 2 300 300 300a a a a a= + + = + + + .

3. По такой схеме можно возвести в квадрат числа от 101 до 999.
Например:
( ) ( )2 2
122 122 22 100 22 2 20 2 14884= + + + + = ;
( ) ( )2 2
455 455 55 400 55 5 50 5 207025= + + + + = .
Какое же геометрическое объяснение такого возведения?
Рассмотрим задачу: найти площадь квадрата со стороной 35см.
Решим задачу с помощью модели. Имеем модель квадрата, сторона
которого равна 35см.
Передвигая, как показано на модели, заштрихованный прямоугольник,
получаем прямоугольник со сторонами 40см. и 30см. Определив его площадь
и добавив площадь квадрата со стороной 5см., получаем площадь квадрата со
стороной 35см., поэтому
( ) ( )2 2 2
35 35 5 30 5 40 30 25 4 3 100 25 1225 см= + + = × + = × × + = .
Дети, теперь остановимся на различных случаях применения формулы
( ) ( ) 2 2
a b a b a b+ − = − .
Задача. Найти площадь прямоугольника со сторонами 33см. и 27см.
Решение
Вместо этого найдем площадь квадрата со стороной 30см. и площадь
квадрата со стороной 3 см., и от первого вычтем второе, то есть:
( ) ( ) ( )2 2 2
33 27 30 3 30 3 30 3 891 см× = + − = − = .
В некоторых случаях формулу разности квадратов записывают в таком
виде:
( ) ( )2 2
a a b a b b= − + +
30
5
35
5

4. Рассмотрим ее применение на примере:
1) ( ) ( )
2 2
6.3 6 6.3 0.3 39.69= × + =
2) ( ) ( )
2 2
99.8 100 99.6 0.2 9960.04= × + =
3) 2 2
28 30 26 2= × + или 2
20 36 8× +
Задача. Вычислить площадь квадрата со стороной 29,7 см.
Решение
Надо вычислить (29,7)2
. вычисление площади квадрата со стороной
29,7 см. заменим вычислением площади прямоугольника со сторонами 30см.
и 29,4 см., затем добавим площадь квадрата со стороной 0,3 см., то есть
( ) ( ) ( )2 2 2
29.7 30 29.4 0.3 882.09 см= × + =
Далее остановимся, дети, на геометрическом объяснении формулы
( ) ( ) 2 2
a b a b a b− + = − , переписанной в обратном порядке, то есть
( ) ( )2 2
a b a b a b− = − + .
Предлагаю вам построить квадрат со стороной a, его площадь равна а2
,
отрезать от него квадрат со стороной b, площадь которого составляет b2
,
тогда от части, что осталась, срезав прямоугольник и соответствующим
образом передвинув его, получите прямоугольник со сторонами a-b и a+b.
Вычислить: 1) 2 2
25.3 5.3− , 2) 2 2
84 16− .
Решение
1) 2 2
25.3 5.3 20 30.6 612− = × = ;
2) 2 2
84 16 100 68 6800− = × = .
5. Закрепление полученных знаний на примерах.
1. Вычислить:
а) 2
11 ; б) 2
99 ; в) 2
101 ; г) 2 2
95 15− ; д) 2 2
136 64− ;
29,4
29,7 0,3
(0,3)2

5. е)
2 2
1 1
3 1
3 3
   
− ÷  ÷
   
; ж) 104 96× ; з) 0.95 1.05× .
2. Не производя вычислений определить площадь земельного
участка больше и на сколько: у квадрата со стороной в 50 м. или
прямоугольника со сторонами: а) 56м. и 44м.; б) 101,5м. и 98,5м?
Прошу учащихся ответить на вопросы.
1. Что показывает формула ( ) 2 2
2a b a ab b+ = + + ?
(Показывает, как будет меняться площадь квадрата, если каждую его
сторону уменьшить на несколько единиц.)
2. Что выражает формула ( )
2 2 2
2a b a ab b− = − + ?
(Она выражает изменения площади квадрата, если каждую его сторону
уменьшить на несколько единиц.)
3. На какой вопрос отвечает формула ( ) ( ) 2 2
a b a b a b− + = − ?
(Она отвечает на вопрос, как изменяется площадь квадрата, если одну
его сторону уменьшить на несколько единиц, а другую увеличить на столько
же единиц, если периметр не переменный.)
Делаем вывод, что в первых двух случаях изменение площади зависит
от стороны первоначального квадрата, так и от изменения стороны. В
третьем случае изменение площади зависит только от изменения величины
стороны, но не зависит от стороны первоначального квадрата.
6. Итог.
1. Чему вы научились на уроке?
2. Мы достигли цели урока?
7. Домашнее задание

6. е)
2 2
1 1
3 1
3 3
   
− ÷  ÷
   
; ж) 104 96× ; з) 0.95 1.05× .
2. Не производя вычислений определить площадь земельного
участка больше и на сколько: у квадрата со стороной в 50 м. или
прямоугольника со сторонами: а) 56м. и 44м.; б) 101,5м. и 98,5м?
Прошу учащихся ответить на вопросы.
1. Что показывает формула ( ) 2 2
2a b a ab b+ = + + ?
(Показывает, как будет меняться площадь квадрата, если каждую его
сторону уменьшить на несколько единиц.)
2. Что выражает формула ( )
2 2 2
2a b a ab b− = − + ?
(Она выражает изменения площади квадрата, если каждую его сторону
уменьшить на несколько единиц.)
3. На какой вопрос отвечает формула ( ) ( ) 2 2
a b a b a b− + = − ?
(Она отвечает на вопрос, как изменяется площадь квадрата, если одну
его сторону уменьшить на несколько единиц, а другую увеличить на столько
же единиц, если периметр не переменный.)
Делаем вывод, что в первых двух случаях изменение площади зависит
от стороны первоначального квадрата, так и от изменения стороны. В
третьем случае изменение площади зависит только от изменения величины
стороны, но не зависит от стороны первоначального квадрата.
6. Итог.
1. Чему вы научились на уроке?
2. Мы достигли цели урока?
7. Домашнее задание