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基礎強化数学 第9回

基礎強化数学 第9回

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第9回
微分係数と導関数、
3次関数のグラフ、
積分法
~根本からしっかり!~
12) 当たりくじ3本を含む10本のくじがある。
①ここから同時に2本引くとき、少なくとも1本が当たる確率を求めよ。
②ここから1本ずつ2回続けてくじを引くとき、2本とも当たる確率を、
(a)引いたくじを毎回もとに戻す場合、
(b)引いたくじをもとに戻さない場合、に分けてそれぞれ求めよ。
解説
第7回
当
は
× 3
× 7
1回しか引かない
2回以上引く → 試行の反復=確率のかけ算
① 1 −
7𝐶2
10𝐶2
= 1 −
21
45
=
24
45
=
8
15
② 𝑎
3
10
×
3
10
=
9
100
𝑏
3
10
×
2
9
=
1
15
11) 2次関数𝑦 = 𝑥2
− 2𝑚𝑥 − 𝑚 + 2のグラフと𝑥軸の正の部分が
異なる2点で交わるように、定数𝑚の値の範囲を定めよ。
解説
第8回
𝑥
𝑦
2次係数は+ →
条件1: 𝑥軸と異なる2点で交わる
【解法①】
条件2: 軸が𝑦軸より右側
条件3: 𝑦軸との交点が0より大きい
【解法②】
右辺=0の解のうち、
小さいほうの解が0より大きい
【解法③】
解をα, βとすると、α > 0かつβ > 0
つまりα + β > 0かつαβ > 0
→解と係数の関係を利用
※不等式の両辺2乗
数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回)
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ)
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ)
第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ)
第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ)
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ)
第10回 数列①(B)
第11回 数列②(B)
第12回 整式の割り算、分数式、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ)
第13回 三角比、三角形への応用、三角方程式・不等式、加法定理(Ⅰ、Ⅱ)
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ)
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ)
第16回 平面上のベクトル(B)
第17回 空間のベクトル(B)
第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用(A)
第19回 データの分析(Ⅰ)
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ)
Ⅱ
Ⅱ Ⅱ
接線の傾き
𝑥が1から1 + 𝒂まで変化する
ときの𝑓(𝑥)の平均変化率
微分係数と導関数
ex1 𝑓 𝑥 = 𝑥2の𝑥 = 1における微分係数𝑓′(1)は?
𝑦 = 𝑥2
𝑥
𝑦
𝑂 1
𝑓(1)
𝑦 = 𝑥2
𝑥
𝑦
𝑂 1
1
1 + 𝑎
𝑓′ 1 = lim
𝒂→0
𝑓 1 + 𝑎 − 𝑓(1)
1 + 𝑎 − 1
= lim
𝒂→0
2𝑎 + 𝑎2
𝑎
= lim
𝒂→0
2 + 𝒂 = 2
傾き
の中の𝒂を限りなく
0に近づけるとどうなるか?
+𝒂
1 1
𝑓(1 + 𝑎)
ex2 𝑓 𝑥 = 𝑥2
の導関数𝑓′(𝑥)は?
𝑓′ 𝑥 = lim
𝒂→0
𝑓 𝑥 + 𝑎 − 𝑓(𝑥)
𝑥 + 𝑎 − 𝑥
= lim
𝒂→0
2𝑥𝑎 + 𝑎2
𝑎
= lim
𝒂→0
2𝑥 + 𝒂 = 2𝑥
𝑥 = 2における接線の傾きは 𝑓′ 2 = 4
𝑥 = −4における接線の傾きは 𝑓′
−4 = −8
⋯
微分係数
「接線の傾き」を導く関数
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑓′
𝑥 = 𝑥 −1
微分
ラクな求め方
★
ex3 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 2上の𝑥 = 2における接線の方程式は?
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2とおくと
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 1
傾きは 𝑓′ 2 = 3
求める接線の方程式を 𝑦 = 3𝑥 + 𝑏 とおくと
通る点は
2, 𝑓 2 = 2, 4
4 = 3 ∙ 2 + 𝑏 よって𝑏 = −2
よって 𝑦 = 3𝑥 − 2

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