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基礎強化数学 第13回

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基礎強化数学 第13回

基礎強化数学 第13回

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第13回
三角比、三角形への応用、
弧度法、加法定理、グラフ
~「概念」と「公式」を押さえよう~
数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回)
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ)
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ)
第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ)
第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ)
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ)
第10回 数列①(B)
第11回 数列②(B)
第12回 整式の割り算、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ)
第13回 三角比、三角形への応用、弧度法、加法定理、グラフ(Ⅰ、Ⅱ)
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ)
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ)
第16回 平面上のベクトル(B)
第17回 空間のベクトル(B)
第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用(A)
第19回 データの分析(Ⅰ)
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ)
三角比
90°
45°
45°
1
1
2
90°
30°
60°
1
2
3
sin、cos、tan
𝜃
𝑥
𝑟
𝑦
sin 𝜃 =
𝑦
𝑟
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑥
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
sin 𝜃
cos 𝜃
sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1
𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 1 =
1
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑦
𝑟
𝑥
𝑟
=
𝑦
𝑥
= tan 𝜃
𝑦2
𝑟2
+
𝑥2
𝑟2
=
𝑟2
𝑟2
÷ cos2
𝜃
𝜃は鋭角 三角比は
+の値
𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝜃)
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛(90° − 𝜃)
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
1
𝑡𝑎𝑛(90° − 𝜃)
公
式
1
公
式
2
公
式
3
●基本の基本
●三角比の基本
●三角比の相互関係
シータ
𝜃
𝑥
𝑟
𝑦
𝑥
𝑦
𝑂 1
1
−1
𝜃
1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦
(𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑠𝑖𝑛 𝜃)
𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝜃
=
=
単位円
半径1の円
基本的に、
①𝜃は有名角(30°or45°の倍数)
② sin θ、cos θの値の絶対値は0、
1
2
、
2
2
、
3
2
、 1
要暗記
①単位円を描く
②与えられた角度に基づいた動径を書き込む
③動径と円の交点の座標から、sin θやcos θ を出す
④ 𝑡𝑎𝑛 θ は、 から出す
動径
公式1
●三角比の拡張
●三角比の解答プロセス
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin B
=
𝑐
sin C
𝐴
𝐵 𝐶
𝑎
𝑏
𝑐
外接円の半径
𝐴
𝐵 𝐶
𝑎
𝑏
𝑐 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴
対応
対応
𝑆 =
1
2
sin 𝐴 𝑏𝑐 𝑆 =
1
2
𝑟(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
𝐴
𝐵 𝐶
𝑎
𝑏
𝑐
①正弦定理
②余弦定理
③三角形の面積 ④内接円の半径
= 2𝑅
三角形への応用
弧度法
180° π
360° 2π
90°
π
2
𝑂 𝑋
始線
動径
𝑃
120°
𝑂
𝑋
𝑃
−120°
𝑂 𝑋
𝑃
480°
マイナスの角度
2周目以降の角度
一般角 弧度法
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  • 2. 数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回) 第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ) 第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ) 第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ) 第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ) 第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ) 第10回 数列①(B) 第11回 数列②(B) 第12回 整式の割り算、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ) 第13回 三角比、三角形への応用、弧度法、加法定理、グラフ(Ⅰ、Ⅱ) 第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ) 第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ) 第16回 平面上のベクトル(B) 第17回 空間のベクトル(B) 第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用(A) 第19回 データの分析(Ⅰ) 第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ)
  • 3. 三角比 90° 45° 45° 1 1 2 90° 30° 60° 1 2 3 sin、cos、tan 𝜃 𝑥 𝑟 𝑦 sin 𝜃 = 𝑦 𝑟 cos 𝜃 = 𝑥 𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑦 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = sin 𝜃 cos 𝜃 sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1 = 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑦 𝑟 𝑥 𝑟 = 𝑦 𝑥 = tan 𝜃 𝑦2 𝑟2 + 𝑥2 𝑟2 = 𝑟2 𝑟2 ÷ cos2 𝜃 𝜃は鋭角 三角比は +の値 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛(90° − 𝜃) 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 1 𝑡𝑎𝑛(90° − 𝜃) 公 式 1 公 式 2 公 式 3 ●基本の基本 ●三角比の基本 ●三角比の相互関係 シータ
  • 4. 𝜃 𝑥 𝑟 𝑦 𝑥 𝑦 𝑂 1 1 −1 𝜃 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑠𝑖𝑛 𝜃) 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = = 単位円 半径1の円 基本的に、 ①𝜃は有名角(30°or45°の倍数) ② sin θ、cos θの値の絶対値は0、 1 2 、 2 2 、 3 2 、 1 要暗記 ①単位円を描く ②与えられた角度に基づいた動径を書き込む ③動径と円の交点の座標から、sin θやcos θ を出す ④ 𝑡𝑎𝑛 θ は、 から出す 動径 公式1 ●三角比の拡張 ●三角比の解答プロセス
  • 5. 𝑎 sin 𝐴 = 𝑏 sin B = 𝑐 sin C 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 外接円の半径 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 対応 対応 𝑆 = 1 2 sin 𝐴 𝑏𝑐 𝑆 = 1 2 𝑟(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 ①正弦定理 ②余弦定理 ③三角形の面積 ④内接円の半径 = 2𝑅 三角形への応用
  • 6. 弧度法 180° π 360° 2π 90° π 2 𝑂 𝑋 始線 動径 𝑃 120° 𝑂 𝑋 𝑃 −120° 𝑂 𝑋 𝑃 480° マイナスの角度 2周目以降の角度 一般角 弧度法
  • 7. 加法定理 sin α + β = 𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠β + cosαsinβ cos α + β = 𝑐𝑜𝑠α𝑐𝑜𝑠β − 𝑠𝑖𝑛α𝑠𝑖𝑛β tan(α + β) = tan α + tan β 1 − 𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β 2倍角の公式 sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 tan 2α = 2 tan α 1 − tan2 α 半角の公式 sin2 α 2 = 1 − cos α 2 cos2 α 2 = 1 + cos α 2 tan2 α 2 = 1 − cos α 1 + cos α βをαへ sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 ex 1 sin θ + 3 cos θを変形せよ。 𝑥 𝑦 𝑂 1, 3 2 1 3 60° sin 60° = 3 2 cos 60° = 1 2 (与式)= 2 cos 60° sin θ + 2 sin 60° cos θ = 2 sin θ cos 60° + cos θ sin 60° = 2 sin θ + π 3 斜辺の長さ ※合成 𝑠𝑖𝑛と𝑐𝑜𝑠のたし算
  • 8. ① 𝑦 = sin θ ② 𝑦 = cos θ ③ 𝑦 = tan θ 原点に関して対称 𝑦軸に関して対称 原点に関して対称 (偶関数) (奇関数) グラフ
  • 9. ④ 𝑦 = sin (θ− ) 𝑦方向に 倍 θ方向に 倍 θ方向に だけ平行移動 𝑦 = sin θのグラフを