Методическая разработка для студентов по комбинаторике. Автор - Крупина И.Е.

1. Департамент образования Кировской области
Кировское областное государственное
образовательное автономное учреждение
среднего профессионального образования
«Колледж промышленности и автомобильного сервиса»
Математика
Учебное пособие по изучению темы «Комбинаторика»
для студентов образовательных учреждений
среднего профессионального образования
Киров, 2011
1

2. Одобрена предметной (цикловой) Составлена в соответствии с
комиссией Государственными требованиями к
Протокол №______от______________г. минимуму содержания и уровню
подготовки выпускника по специальности
Заместитель директора
Председатель______________________ по УМР___________________________
Составитель: Крупина И.Е.,преподаватель КОГОАУ СПО «Колледж промышленности и
автомобильного сервиса»
Рецензенты: Храпунова А.Р., преподаватель математики КОГОАУ СПО «Колледж
промышленности и автомобильного сервиса»
2

3. Пояснительная записка
Комбинаторика представляет собой важный раздел дискретной
математики. Она рассматривает возможные расположения, упорядочения или
выбора элементов некоторого множества. Это зрелая наука, которая имеет свой
предмет изучения, свою структуру, свои отработанные методы. Кратчайший и
наиболее эффективный путь её познания проходит через рассмотрение
разнообразных ситуаций, благодаря чему новые положения вводятся вполне
естественно.
Комбинаторика тесно связана с целым рядом областей математики:
теорией вероятности, теорией графов, теорией чисел, а также с прикладными
науками – программированием, кодированием информации и т.д. Знание
комбинаторики необходимо представителям самых разных профессий. С
комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам,
техникам. Данный курс даёт сумму знаний, которой вполне достаточно для
решения практических задач.
Цели изучения темы:
• углубление знаний студентов;
• овладение конкретными математическими понятиями;
• воспитание у студентов интереса к математике;
• развитие интуиции, логического и вероятностного мышления;
• знакомство с историей развития математики.
Задачи изучения темы:
• познакомить студентов с основными понятиями комбинаторики:
перестановки, размещения, сочетания;
• развить вычислительные навыки студентов.
В результате изучения темы студент должен:
Знать:
• основные понятия,
• понятия перестановки, размещения, сочетания;
3

4. • формулу бинома Ньютона, свойства биноминальных коэффициентов,
треугольник Паскаля.
Уметь:
• уметь находить факториал числа, решать примеры с факториалами;
• уметь решать стандартные комбинаторные задачи;
• уметь применять формулу бинома Ньютона.
Тематическое планирование
Тема рассчитана на 12 часов.
Количество часов
всего
теория
практика
№ Тема
1. Введение в комбинаторику. 2 2
Танграм. Методы решения
комбинаторных задач.
2. Основные понятия 6 2 4
комбинаторики.
3. Приложения комбинаторики. 4 2 2
Содержание.
1. Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения
комбинаторных задач. (2 часа)
Основные понятия теории множеств: объединение, пересечение,
произведение. Виды комбинаторных задач. Правило суммы и произведения.
Магические и латинские квадраты.
2. Основные понятия комбинаторики. (6 часов)
Перестановки. Понятие факториала. На простых примерах демонстрация
решения комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов,
иллюстрация этого метода с помощью дерева возможных вариантов.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями.
4

5. Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями. Определения и
свойства сочетаний, рекуррентная формула для вычисления сочетаний.
3. Приложения комбинаторики. (4 часа)
Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.
Знакомство с биографиями учёных. Студенты должны научиться
пользоваться треугольником Паскаля при возведении бинома в натуральную
степень. Знать свойства бинома Ньютона.
Начальные сведения из теории вероятностей. Классическое определение
вероятности. Вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики.
Рекомендуемая литература
Антипов И.Н., Виленкин Н.П. и др. Избранные вопросы математики.
Факультативный курс. М. Просвещение. 1983.
Антипов И.Н, Березин В.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9-
10 классах. М. Просвещение. 1983.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С. и др. Алгебра и математический
анализ. М. Мнемозина. 2004.
5

6. Введение в комбинаторику. Танграм.
Методы решения комбинаторных задач.
Что изучает комбинаторика?
При решении многих практических задач приходится выбирать из
некоторой совокупности объектов элементы, располагая их в определённом
порядке.
Например:
1) 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они
могут сесть?
2) В столовой колледжа имеются 2 салата, 3 вторых, 4 напитка.
Сколько вариантов обедов можно составить?
3) В группе 25 студентов. На конкурс нужно выбрать 2 человека.
Сколькими способами это можно сделать?
4) В басне И.А. Крылова «Квартет»:
Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли
сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов
их рассадить существует?
В этих задачах речь идёт о комбинациях объектов. Такие задачи
называются комбинаторными.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы
о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям,
можно составить из заданных объектов.
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina -
сочетать, соединять. Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями
(соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого
конечного множества.
Выбором объектов и их расположением приходится заниматься чуть ли
не во всех областях человеческой деятельности – конструктору, учёному-
генетику, агроному, составителю кодов, лотерей, химику, комбинаторные задачи
6

7. применяются при игре в шашки, шахматы, при подсчёте вариантов в теории
вероятностей и т.д.
1. Исторический обзор.
С комбинаторными задачами люди сталкивались с глубокой древности. В
Древнем Китае увлекались составлением математических головоломок
(магические квадраты), в Древней Греции составляли геометрические
головоломки на разрезание и складывание фигур (до наших дней дошла
головоломка «Пифагор»).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход
Лейбницем.
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
(1646 - 1716 гг.) немецкий философ и
математик.
Многие называют его последним
ученым эпохи Возрождения, или первым
ученым эпохи Просвещения. До наших
дней никто иной не сочетал столь яркий
математический талант с такой широтой
гуманитарных склонностей. В этом
отношении Лейбница можно сравнить с
Аристотелем, с Леонардо да Винчи или
Рене Декартом. В 8 лет он самостоятельно
изучил латынь, а еще через два года —
древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позднее:
познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из
первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой
скрываются какие-то переселения древнейших народов.
7

8. • Лейбниц, наряду с Ньютоном, создатель математического анализа —
дифференциального и интегрального исчисления.
• Лейбниц также ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1,
на котором базируется современная компьютерная техника.
• Лейбниц создал механический калькулятор, выполняющий
сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была
продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском
обществе.
• В 1666 г. он опубликовал «Рассуждения о комбинаторном
искусстве», в которой рассмотрел вопросы сочетаний элементов, рассмотрел
применение комбинаторики в арифметике, логике, в стихосложении. В течение
своей жизни Лейбниц неоднократно обращался к вопросам комбинаторики.
Мечтой его жизни, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение
общей комбинаторной теории.
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие
выдающиеся ученые-математики. В 1713 г. было опубликовано сочинение
Якова Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной
полнотой были изложены и обобщены известные к тому времени
комбинаторные факты. Это сочинение отличалось полнотой и строгостью
изложения, доступностью. Оно являлось учебно-справочным изданием по
комбинаторике на протяжении двух столетий.
Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о
паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и
латинских квадратов.
8

9. Леонард Эйлер (1707 - 1783
г.г.) — выдающийся математик,
родился в Швейцарии, жил и работал
в России. Внёс значительный вклад в
развитие математики, а также
механики, физики, астрономии и ряда
прикладных наук. Эйлер принадлежит
к числу гениев, чьё творчество стало
достоянием всего человечества. До
сих пор школьники всех стран
изучают тригонометрию и логарифмы
в том виде, какой придал им Эйлер.
Студенты проходят высшую
математику по руководствам, первыми образцами которых явились
классические монографии Эйлера.
В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации
благодаря работам Дж. К. Рота, а затем Р. Стенли.
В настоящее время комбинаторику начинают изучать с начальной
школы.
2. Геометрические комбинации
Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный
определённым образом на 7 частей.
9

10. 10

11. 3. Методы решения комбинаторных задач
Задача. Дано множество чисел {1,2,3,4}. Составить:
а) двузначные числа, б) четырёхзначные числа
Решение: Метод перебора: двузначные числа – 12, 13, 14,
21, 23, 24,
31, 32, 34,
41, 42, 43. Всего 12 чисел.
«Дерево вариантов»:
1234
1243
1324 6 чисел
1342
1423
1432
Всего четырёхзначных чисел 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
Упражнения
1. Коля, Боря, Вова и Юра заняли 1, 2, 3 и 4 место на соревновании.
Известно, что у Коли ни 1, ни 4 место. Боря занял 2 место. Вова не
последний. Какое место у каждого мальчика?
1 2 3 4
Коля - - + -
Боря - + - -
Вова + - -
Юра - - - +
11

12. 2. Петя и Вася пишут контрольную по математике. Каждый может
получить любую из оценок 2,3,4,5. Сколько существует вариантов получения
ими оценок?
П2 В2 П2 В3 П2 В4 П2 В5
П3 В2 П3 В3 П3 В4 П3 В5
П4 В2 П4 В3 П4 В4 П4 В5
П5 В2 П5 В3 П5 В4 П5 В5, всего 16 вариантов.
• Решить задачи:
1) Сколькими способами можно выложить в ряд 2 белых и 2 чёрных
шарика?
2) В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили
взять два каких-либо фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?
3) У Ани 4 платья и 3 пары туфель. Собираясь на вечеринку, она
думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?
4) В Норильске, Москве, Ростове и Пятигорске живут 4 супружеские
пары. Имена этих супругов: Антон, Борис, Давид, Григорий, Ольга, Мария,
Светлана, Екатерина. Известно, что
- Антон живёт в Норильске;
- Борис и Ольга супруги;
- Григорий и Светлана не живут в одном городе4
- Мария живёт в Москве;
- Светлана – ростовчанка.
Кто на ком женат и кто где проживает?
12

13. 5) Имеются ткани 3 цветов. Сколько можно сшить флажков с тремя
различными горизонтальными полосами?
6) Фамилии четырёх друзей: Иванов, Петров, Семёнов, Николаев, а их
имена: Иван, Пётр, Семён, Николай. Известно, что только у Николаева имя
совпадает с фамилией; Семёнова зовут не Петром. Определите имена и фамилии
друзей.
Иван Петр Семён Николай
Иванов - + - -
Петров - - + -
Семёнов + - - -
Николаев - - - +
Правило произведения
Теорема: Если множество А состоит из m элементов, а множество В – из
n элементов, то число различных пар равно m ∙ n
Задача 1. Имеются 4 вида конвертов без марок и 5 видов марок.
Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?
Решение: 4 ∙ 5 = 20
Задача 2. В магазине имеются 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида
галстуков. Сколькими способами можно купить пиджак, брюки и галстук?
Решение: 7∙ 5 ∙ 4 = 140
13

14. Магические квадраты
МагиCческий, или волшебный квадрат — это квадратная таблица
, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом
столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой.
Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми
числами от 1 до n2.
Магические квадраты существуют для всех порядков , за
исключением n = 2.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется
магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного
квадрата зависит только от n и определяется формулой
Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:
Порядок n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
M (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
4 9 2
3 5 7
8 1 6
14

15. Единственный нормальный магический квадрат 3×3 был известен ещё в
Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200
до н.э.
Магический квадрат третьего порядка существует всего один, все
остальные магические квадраты 3-го порядка получаются из него же поворотом.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Самый ранний уникальный магический квадрат 4 × 4 обнаружен в
надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Всего их существует 880.
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд
чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены
два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами.
Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) - квадрат
Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:
67 1 43 3 61 19 37
13 37 61 43 31 5 41
31 73 7 7 11 73 29
67 17 23 13
15

16. Построение магических квадратов
Математики изобрели несколько методов построения магических
квадратов. Рассмотрим метод террас, который применяется для построения
магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим
его на примере магического квадрата пятого порядка.
С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так,
чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В
полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке
косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах,
не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него
так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4
изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре,
только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата.
5 1
4 10 6 2
3 9 15 11 7 3
2 8 14 20 16 12 8 4
1 7 13 19 25 21 17 13 9 5
6 12 18 24 22 18 14 10
11 17 23 23 19 15
16 22 24 20
21 25
Рис. 1 Рис. 2
16

17. 3 16 9 22 15 11 24 7 20 3
20 8 21 14 2 4 12 25 8 16
7 25 13 1 19 17 5 13 21 9
24 12 5 18 6 10 18 1 14 22
11 4 17 10 23 23 6 19 2 15
Рис. 3 Рис. 4
Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный
магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до
n2), но и квадрат, заполненный любыми другими
числами, лишь бы разность между каждым 6 32 18 44 30
последующим и предыдущим числом была 40 16 42 28 4
постоянной. Так, на рис. 5 вы видите 14 50 26 2 38
нетрадиционный магический квадрат пятого 48 24 10 36 12
порядка, заполненный чётными числами от 2 до 22 8 34 20 46
50, построенный методом террас.
Рис. 5
Латинские квадраты
Латинским квадратом n × n называется квадрат, в каждой строке и в
каждом столбце которого находятся числа от 1 до n. Задачей отыскания
латинских квадратов занимался Леонард Эйлер.
1 2 3 .
1 2 3 4
3 1 2
2 1 4 3
2 3 1
3 4 1 2
4 3 2 1
17

18. В качестве примера, приводящего к латинским квадратам, рассмотрим
упрощенную задачу о составлении расписания. Пусть пять преподавателей Pi ( i
= 1, 2, ..., 5) колледжа в течение пяти последовательных уроков должны
провести занятия в пяти группах Kj ( j = 1, 2, ..., 5). При этом каждый из
преподавателей обязан дать один урок в каждой группе. В этой ситуации
оказывается, существует 1344 возможных различных расписаний. Ниже
приведено одно из них:
К1 К2 К3 К4 К5
Р1 1 2 3 4 5
Р2 2 1 4 5 3
Р3 3 4 5 2 1
Р4 4 5 1 3 2
Р5 5 3 2 1 4
Упражнения
1) составьте магический квадрат 3 × 3
2) составьте латинский квадрат 3 × 3
3) составьте латинский квадрат 4 × 4
4) составьте магический квадрат 7 × 7
5) В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его
заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
6) Король решил выдать замуж трёх дочерей. На смотр явились 100
женихов. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе жениха?
18

19. Основные понятия комбинаторики.
1.Факториал числа
Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию,
определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции
происходит от английского математического термина factor – «сомножитель».
Обозначается она n!.
Знак факториала «!» был введён в 1808 году во французском учебнике
Хр. Крампа.
Для каждого целого положительного числа n функция n! равна
произведению всех целых чисел от 1 до n.
n! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ n
Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что 0! должен
быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в
«Арифметике бесконечных».
Функция n! растёт с увеличением n очень быстро.
1!=1,
2!=2,
3!=6,
4!=24,
5!=120,
…..
10!=3 628 800.
При преобразовании выражений, содержащих факториал, по-
лезно использовать равенство
(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!
Упражнения
Вычислить:
10! 8!− 7!
1) 3)
8! 7!
11! 4!+ 5!
2) 4)
5!⋅ 6! 5!− 4!
19

20. Упростить выражение:
( m + 3)! (m − 1)!
1) 3) ( m − 3)!
m!
n! 8!b − 7! a
2) (n − 1)! 4)
7!
Решить уравнение:
(k + 1)! ( к − 2)!
1) ( m + 2)! = 72 2) = 30 = 12
m! (k − 1)! ( к − 4)!
1. В группе, в которой 25 студентов, нужно выбрать старосту,
культорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать?
2. «Любовь без взаимности». Трое юношей: Коля, Петя и Юра
влюблены в трёх девушек - Таню, Зину и Галю. Но эта любовь без взаимности.
Коля любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Зину; Петя
любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Галю; Зина не любит
Юру. Кто в кого влюблён?
2. Перестановки из п элементов
В басне И.А. Крылова «Квартет» Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да
косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку
нет… А сколько же способов их рассадить существует?
20

21. Вспомним «дерево вариантов».
Обозначим животных цифрами.
Пусть 1 – козёл,
2 – осёл,
3 – мартышка,
4 – мишка.
Получим, что возможных вариантов их
расстановки 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
В задаче были подсчитаны всевозможные комбинации из четырёх
элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположение в них
элементов. Такие комбинации называются перестановками из нескольких
элементов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга
только порядком расположения в них элементов, называются перестановками
из n элементов.
Лейбницем в 1666 г. в работе «Рассуждение о комбинаторном искусстве»
впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок.
Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn
(Р- первая буква французского слова permutation – перестановка).
С помощью правила произведения можно обосновать, что
Рn= n∙(n-1) ∙… ∙3∙2∙1.
После применение переместительного закона умножения перепишем
формулу в виде:
Pn=1∙2∙3∙…∙ (n-1) ∙n.
Для сокращённой записи произведения первых n натуральных чисел
используется факториал n!
Рn= n!
21

22. Упражнения
1) 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут
сесть? (120)
2) Сколько фигурок можно составить из Танграма? (5040)
3) Свидетель ДТП заметил номер машины, совершившей наезд. Он
запомнил, что в номере буквы АВ и цифры 2, 3, 4, но не помнит их порядок.
Сколько вариантов номеров нужно проверить милиции, чтобы найти
нарушителя? (6)
4) Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны,
можно записать с помощью цифр 0,1,2,3,4? (96)
5) Турист решил объехать 10 городов Золотого кольца. Сколько у него
существует вариантов выбора маршрута?
6) На балу собрались 10 дам и 10 кавалеров. Сколькими способами они
могут разбиться на пары ?
7) Имеется множество чисел N = {1,2,3,4,5}.
Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?
Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны?
Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны?
Размещения
Задача. Имеется множество чисел N = {1,2,3,4,5}.
а) Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны?
Решение: Данные комбинации чисел будут перестановками, Р5 = 5! = 120
б) Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?
Решение: Это уже не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5
способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя способами, т.е. число
трёхзначных чисел будет 5⋅ 4 ⋅ 3 = 60
22

23. в) Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых
различны?
Решение: Это также не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5
способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя способами, четвёртую
– двумя способами, т.е. число четырёхзначных чисел будет
5⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 120
Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить k-
расстановок?
При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются
друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же
элементов, но расположенных в разном порядке.
Такие комбинации, отличающиеся друг от друга порядком элементов и
составом, называются размещениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется
любое подмножество данного множества, состоящее из любых k элементов,
взятых в определённым порядке из данных n элементов.
k
Число размещений из n элементов по k обозначают Аn (читают А из n по
k).
Размещения – это упорядоченные подмножества данного множества.
По правилу произведения число упорядоченных k-элементных
подмножеств множества N, состоящего из n элементов, находится как
произведение чисел: n (n – 1) (n – 2) (n – 3)….( n – k + 1). Или число размещений
из n элементов по k вычисляется по формуле:
n!
Аn =
k
(n − k )!
Можно сказать что размещения из п элементов по п – это перестановки из
п-элементов. Сравним число таких комбинаций, вычисленное по формуле
размещений и по формуле перестановок:
23

24. n! n! Pn = n!
Аn =
n
= = n! , т.е.
(n − n)! 0!
Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй
части своей знаменитой книги «Искусство предугадывания», опубликованной в
1713 г. Он же ввел соответствующий термин.
Яков (Якоб) Бернулли
Математик, физик, астроном и механик
Яков Бернулли (1654 — 1705) родился в Базеле
(Швейцария). Отец хотел, чтобы сын был
священником, и поэтому Я. Бернулли,
поступив в Базельский университет, в
основном изучал теологию и языки. Он владел
немецким, французским, английским,
итальянским, латинским и греческим языками.
Но больше всего его привлекала математика, которую он изучал тайком от отца.
Наиболее значительные достижения Якова I в развитии анализа бесконечно
малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей. В
1687г., ознакомившись с первыми работами Г.Лейбница по дифференциальному
исчислению (1684г.), Бернулли применил новые идеи к изучению свойств ряда
кривых: логарифмические спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии и
др. Определил площадь сферического треугольника, вычислил площади
конусоидальных и сфероидальных поверхностей, произвел многочисленные
квадратуры и спрямления. Книга Бернулли "Арифметические приложения о
бесконечных рядах и их конечных суммах" (1689-1704гг.) явилась первым
руководством по теории рядов. Бернулли – это целая семья математиков.
Совместно с братом Иоганном I, Яков положил начало вариационному
исчислению. Выдвинул и частично решил изопериметрическую задачу и задачу
о брахистохроне, или кривой быстрейшего спуска, поставленную братом
24

25. Иоганном. В труде "Искусство предложения" Яков I в 1713г. решил некоторые
задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли;
доказал так называемую теорему Бернулли - частный случай закона больших
чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к
статистике; построил математическую модель для описания серии независимых
испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей
приобрела важнейшее значение в практической деятельности.
Решение задач
Задача № 1. Сколько двузначных чисел можно составить из чисел 1,2,3,4?
4! 4! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
Это размещения из 4 элементов по 2. А4 = = = = 12
2
(4 − 2)! 2! 1⋅ 2
Задача № 2. Сколько всего 7-значных телефонных номеров, в каждом из
которых цифры не повторяются?
Это размещения из 10 элементов по 7.
Задача № 3. Сколькими способами могут занять 1, 2, 3
места 8 команд - участниц городского турнира по волейболу?
8! 8! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
А83 = = = = 336
(8 − 3)! 5! 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
Задача 4. Сколько двузначных чисел, цифры
которых разные, можно составить из чисел
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?
Это размещения из 10 по 2, но нужно исключить те числа, первая цифра
которых 0, таких чисел 9.
10! 10! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
А10 − 9 =
2
− 9= − 9= − 9 = 90 − 9 = 81
(10 − 2)! 8! 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
25

26. Сочетания
Задача: Имеются 5 различных соков. Сколько различных коктейлей
можно получить из этих соков, если смешивать в каждом по три вида соков?
Зависит ли вкус коктейля от того, в каком
порядке находятся в нём соки? Конечно, нет. Т.е.
это не размещения.
Подсчитаем вначале, сколько будет
размещений из 5 по 3:
5!
А5 =
3
= 60
(5 − 3)!
Но размещения АБВ и БВА в коктейле дают один и тот же результат,
всего таких перестановок Р3 = 3! = 6.
Значит, число коктейлей в 6 раз меньше возможного числа размещений,
5!
60: 6 = 10, или
(5 − 3)!⋅ 3!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число всех комбинаций из n элементов по k,
отличающиеся друг от друга только составом элементов, называются
сочетаниями из n элементом по k.
k
Обозначаются С n , (от фран. Combinaison – сочетание ).
Формула для числа сочетаний получается из формулы числа
размещений. В самом деле, составим сначала все k-сочетания из n элементов, а
потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными
способами. Но из каждого k- сочетания можно сделать Рk перестановок.
Значит, справедлива формула: Pk ⋅ C nk = Ank или
k
An
k!⋅ C = A
k
n
k
n
откуда: C =
k
n
k!
26

27. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:
n!
С =k
n
(n − k )!⋅ k!
Задача . Имеются киви, лимон, помидор, виноград. Вычислим, сколькими
способами можно их взять, если можно брать по 2 штуки. А если брать по 3
штуки?
Проверим наше решение по формуле числа сочетаний
Число сочетаний имеет некоторые свойства
27

28. Задача 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать 3 дежурных.
Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3.
15! 15!
С15 =
3
= = 455
(15 − 3)!⋅ 3! 12!⋅ 3!
Задача № 2. В группе 7 человек успешно занимаются математикой.
Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в олимпиаде?
7! 7!
С7 =
2
= = 21
(7 − 2)!⋅ 2! 5!⋅ 2!
Задача 3. В классе 30 учеников. Нужно разделить их на «миги» по 5
человек. Сколькими способами это можно сделать? (142506)
Упражнения
1) В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить
ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?
2) Иван-царевич едет в гости в соседнее королевство и везет в подарок
трем дочерям короля перстень, браслет и ожерелье. Что кому дарить, он пока не
решил. Сколько у него вариантов распределить подарки?
3) Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка
«Хочу пойти гулять куда-нибудь», а все остальные строки разные и получены из
28

29. первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в
этом стихотворении?
4) В некотором государстве кабинет министров состоит из 10 человек.
Сколькими способами они могут выбрать из состава кабинета премьер-
министра, первого и второго вице-премьеров?
Дополнительные задачи:
1. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно
создать из 14 преподавателей? (ответ: 3432)
2. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано
рукопожатий? (ответ: 66)
3. На плоскости даны 5 точек, никакие три из них не лежат на одной
прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки? (ответ: 10)
4. Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике? (ответ: 35)
5. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца.
Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем? (5⋅3=15)
6. У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и
золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на
каждую требуется надеть ровно один шарик? Р5 = 5! = 120
7. Вите хочется купить пять разных книг. Книги стоят одинаково, а денег
хватает только на три книги. Сколькими способами Витя может выбрать три
5! 5!
книги из пяти? С53 = = = 10
(5 − 3)!⋅ 3! 2!⋅ 3!
29

30. 8. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех
горизонтальных полос, если имеется материя 5 различных цветов?
5! 5! 120
А5 =
3
= = = 60
(5 − 3)! 2! 2
9. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, если каждую цифру можно брать только один раз?
10. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его
помощника. Сколькими способами это можно сделать?
11.Сколькими способами можно купить две порции мороженого, если в
продаже есть вафельные стаканчики, конусы, шоколадные брикеты и
эскимо?
12.Сколькими способами можно выложить на полке в ряд 5 книг?
13.«Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли
сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких-
нибудь музыкальных инструментов из имеющихся там 13. Сколько
способов выбора есть у Мишки?
14.В гимназии в 9 классе в понедельник 6 уроков: математика, русский,
литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов
расписания в этом классе можно составить на понедельник?
15. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии Ваньков, Петров, Санеев и
Колов. Известно, что: Ваня и Санеев – отличники; Петя и Ваньков –
троечники; Ваньков ростом выше Петрова; Коля ростом ниже
Петрова; Саша и Петя одинакового роста; Определите фамилию
каждого мальчика.
16.На заводе работали три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии
Борисов, Иванов и Семёнов. Известно, что: у слесаря нет ни братьев,
ни сестёр и он самый младший из друзей; Семёнов, женатый на сестре
Борисова, старше токаря. Определите фамилии друзей.
30

31. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона
Треугольник Паскаля
ПАСКАЛЬ, БЛЕЗ (1623–1662),
французский религиозный мыслитель,
математик и физик, один из величайших
умов 17 столетия.
Его дарования проявились очень рано: в 12
лет он самостоятельно, пользуясь
собственным словарем и схемами, которые
рисовал в комнате для игр, пришел к
некоторым геометрическим выводам и
доказал 32-й теорему Евклида о сумме углов треугольника. В 16 лет он написал
замечательный Опыт о конических сечениях, содержащий теорему (называемую
теперь теоремой Паскаля), согласно которой во всяком шестиугольнике,
вписанном в эллипс, гиперболу или параболу, точки пересечения трех пар
противоположных сторон лежат на одной прямой. Чтобы облегчить отцу
трудоемкие финансовые расчеты (его отец работал в Палате по сбору налогов),
Блез придумал машину, способную складывать и вычитать, прообраз
механического калькулятора. Сконструировав за несколько лет около 50
образцов арифметической машины, Блез в 1649 г. получил королевскую
привилегию на свое изобретение – «Паскалево колесо». Машина в своем
окончательном виде помещалась в небольшом продолговатом ящике и была
проста в работе.
Паскаль написал несколько работ по теории вероятностей, что
впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной
экономики и социологии. В историю физики Паскаль вошел, установив
основной закон гидростатики и подтвердив предположение Торричелли о
существовании атмосферного давления. В честь Паскаля названа единица
31

32. измерения давления системы СИ. Кроме того, его имя носит один из языков
программирования Pascal, а также способ расположения биномиальных
коэффициентов в таблицу — треугольник Паскаля, которому он посвятил своё
1 сочинение «Трактат об
1 1 арифметическом
1 2 1 треугольнике».
1 3 3 1
1 4 6 4 1 Треугольник Паскаля –
1 1 10 10 5 1 это числовая таблица
1 6 15 20 15 6 1 треугольной формы. Она была
1 7 21 35 35 21 7 1 известна ещё учёным Древней
Индии, но её заново открывали и изучали многие математики.
«Заметили ли вы какую-нибудь закономерность? А правило составления
этого треугольника? Откуда берутся эти числа и где они встречаются?»
Иногда треугольник Паскаля записывают иначе:
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
Продолжите ещё два ряда в треугольнике Паскаля.
Оказывается это коэффициенты разложения двучлена (a + b)n
32

33. 1 2 1 2 3
Вычислим: C 2 , C 2 , C 3 , C 3 , C 3 . Сравним с числами из таблицы.
2 3 4 2 4
Не вычисляя, назовите чему равно C 4 , C4 , C5 , C6 , C7
Бином Ньютона
Исаак НЬЮТОН (1643-1727 г.г.), английский математик, механик,
астроном и физик, создатель классической механики, один из
основоположников современной физики,
сформулировал основные законы механики и
был фактическим создателем единой
физической программы описания всех
физических явлений на базе механики; открыл
закон всемирного тяготения, объяснил
движение планет вокруг Солнца и Луны вокруг
Земли, а также приливы в океанах, заложил
основы механики сплошных сред, акустики и физической оптики. Построил
зеркальный телескоп.
Исаак Ньютон появился на свет в небольшой деревушке в семье мелкого
фермера, умершего за три месяца до рождения сына. Младенец был
недоношенным; бытует легенда, что он был так мал, что его поместили в
овчинную рукавицу, лежавшую на лавке, из которой он однажды выпал и
сильно ударился головой об пол.
Ньютон рос болезненным и необщительным, склонным к
мечтательности. Его привлекала поэзия и живопись, он, вдали от сверстников,
мастерил бумажных змеев, изобретал ветряную мельницу, водяные часы,
педальную повозку. Трудным было для Ньютона начало школьной жизни.
Учился он плохо, был слабым мальчиком, и однажды одноклассники избили его
до потери сознания. Переносить такое унизительное положение было для
самолюбивого Ньютона невыносимо, и оставалось одно: выделиться успехами в
учебе. Упорной работой он добился того, что занял первое место в классе.
33

34. После серьезной подготовки Ньютон в 1660 г. поступил в Кембридж.
Интерес к технике заставил Ньютона задуматься над явлениями природы. Он
серьёзно занялся наукой. Многие из проведенных им экспериментов (а их
насчитывается более тысячи) стали классическими и повторяются и сегодня в
школах и институтах. Его труды намного опередили общий научный уровень
того времени и были малопонятны его современникам.
В области математики он является автором бинома Ньютона и
создателем (одновременно с Лейбницем, но независимо от него) метода
флюксий — того, что ныне называется дифференциальным и интегральным
исчислением.
Бином – двучлен. Бином Ньютона – формула, выражающая степень
двучлена в виде суммы одночленов. Блез Паскаль доказал, что коэффициенты
k
разложения (a + b)n равны С n - числу сочетаний из n по k.
(a + b) n = a n + C n a n − 1b + C n a n − 2 b 2 + ... + C n a n − k b k + ... + b n (*)
1 2 k
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1,2,1)
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (1,3,3,1)
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4 (1,4,6,4,1)
И. Ньютон доказал, что формула (*) разложения бинома в сумму
выполняется не только для целых степеней, но и для отрицательных, и для
дробных степеней. Поэтому таблица биномиальных коэффициентов –
треугольник Паскаля, а формула разложения (*) – это бином Ньютона.
Свойства бинома Ньютона:
1) Число слагаемых на 1 больше степени
2) Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля
34

35. 3) Коэффициенты симметричны
4) Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются
5) Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома
Упражнения
Раскрыть скобки:
а) (х + у)5 ; б) (c + d)6; в) (m – n)7; г) (a – b)8 ; д) (c + 1)4 ; е) (x + 2)5
Начальные сведения по теории вероятностей
События в материальном мире можно разбить на три категории –
достоверные, невозможные и случайные.
Во многих играх используется игральный
кубик.
У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено
различное количество точек – от 1 до 6. Бросание
кубика можно считать опытом, экспериментом,
испытанием, а полученный результат – исходом испытания или элементарным
событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события,
предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают
игральный кубик? Например, такие:
1) событие А – выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
2) событие В – выпадает цифра 7, 8 или 9;
3) событие С – выпадает цифра 1.
Событие – исход наблюдении или эксперимента. Событие А обязательно
наступит.
Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют
достоверным событием.
Например, если стакан с водой перевернуть вверх дном, то вода
выльется.
35

36. Событие В никогда не наступит, это просто невозможно.
Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют
невозможным событием.
А как вы думаете, событие С наступит или не наступит? На этот вопрос
мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку цифра 1 может
выпасть, а может и не выпасть.
Событие, которое в данном опыте может, как наступать, так и не
наступить, называют случайным событием.
Упражнения
Определите достоверные, невозможные и случайные события
A. – два попадания в цель при трёх выстрелах;
B. – выплата рубля семью монетами;
C. – наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000;
D. – появление 17 очков при бросании трёх игральных кубиков;
E. – команда школы по волейболу будет чемпионом города
Определение:
Раздел математики, в котором изучаются случайные
события и закономерности, которым они подчиняются,
называется теорией вероятности.
Проделаем простейший опыт – подбросим монету и посмотри, что
выпадет: герб или цифра (говорят – орёл или решка). Ваши предположения?
Оказывается, этот опыт проделывали многие учёные. Французский
естествоиспытатель Ж. Бюффон в XVIII веке провел опыт с монетой 4040 раз,
герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в XIХ веке провёл 24000 испытаний,
герб выпал 12012 раз. Какой напрашивается вывод? Число выпадения герба и
цифры примерно одинаково.
Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно
французским учёным П. Лапласом.
36

37. ЛАПЛАС Пьер Симон (1749-1827), французский астроном, математик,
физик, иностранный почетный член Петербургской АН. Автор классических
трудов по теории вероятностей и небесной механике (динамика Солнечной
системы в целом и ее устойчивость и др.)
Также теорией вероятности занимались: Б. Паскаль, французский
математик А. Муавр, русские математики В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев,
А.А. Марков и др.
Большое число вероятностных задач возникает при проведении
экспериментов, при планировании, в статистике.
Классическое определение вероятности случайного события (дано П.
Лапласом):
Вероятностью случайного события А называется отношение числа
возможных благоприятных событий к числу всех возможных событий, где n –
общее число равновероятных событий, m – число благоприятных событий .
m
p ( A) =
n
Свойства вероятностей:
• Вероятность достоверного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1.
Упражнения.
1) Определить вероятность выпадения герба при бросании монеты.
1
Р(А) =
2
2) Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей
выпадут две «шестёрки»?
1
Р(А)= 36
37

38. (Число возможных вариантов выпадения очков первого кубика 6, второго –
тоже 6, всего возможных исходов 6 ⋅ 6 = 36)
3) В ящике лежат 10 шариков: 3 белых, 2 красных, 5 синих.
Какова вероятность того, что вытащенный наугад шар красного
цвета?
2
Р(А) = = 0,2
10
4) В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 120 денежных и
80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один
билет?
5) Вероятность чего больше: вероятность выигрыша в «Спортлото» 5 из 36
или 6 из 49?
Пусть событие А - выигрыш в лотерею 5 из 36.
Пусть событие В - выигрыш в лотерею 6 из 49.
5 6
Р(А) = ≈ 0,1388 Р(В) = ≈ 0,1224
36 49
Т.е. Р(А) > Р(В)
Во многих задачах на определение вероятности большее затруднение
вызывает подсчёт числа вариантов возможных благоприятных исходов. Здесь на
помощь приходят знания комбинаторики.
Задача. В ящике лежат одинаковые на ощупь 20 шаров. Из них 12 белых и
8 чёрных. Наугад вынимают два шара.
Какова вероятность того, что они оба белые (событие А)?
Какова вероятность того, что они оба чёрные (событие В)?
Какова вероятность того, что они разного цвета (событие С)?
Решение. Число всех возможных событий равно числу сочетаний из 20 по
2. Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 12 по 2.
38

39. С12 12!⋅ 2!⋅ 18! 12 ⋅ 11 33
2
Р ( А) = 2 = = = ≈ 0,35
С20 2!⋅ 10!⋅ 20! 19 ⋅ 20 95
Подсчитайте самостоятельно, чему равно Р(В) и Р(С)
Задачи по теории вероятностей
1. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика
выпадает: а) 4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков больше 4; д) число
очков, не кратное 3.
2. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность
того, что оно:
а) оканчивается нулём;[0,1]
б) состоит из одинаковых цифр;[0,1]
в) больше 27 и меньше 46;[0,2]
3. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность
того, что составленное число:
а) чётное[0,6]; б) нечётное[0,4]; в) делится на 5[0,2]; г) делится на 4?[0,3]
4. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты.
Найдите вероятность того, что:
а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]
б) вторая карта – пиковый туз;[1/4]
5. Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все
цифры наугад набранного номера разные?[0,3024]
6. В ящике находятся 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова
вероятность того, сто среди 10 наугад вынутых деталей все стандартные?
39

40. Формулы комбинаторики
1. Факториал
0! = 1
1! =1
n! = 1 ⋅2 ⋅ 3 ⋅ … 2! = 2
⋅n 3! = 6
4! = 24
2. Перестановки из n элементов 5! = 120
Pn = n!
3. Размещения из n элементов по m (n>m)
n
Аn = Pn = n!
Аn − 1 = Аn = n!
n n
m
Аn = n(n – 1)(n – 2)…(n – m + 1)
4. Сочетания из n элементов по m (n>m)
Сnm = Cnn − m
5. Треугольник Паскаля
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
6. Бином Ньютона
(a + b) n = a n + C n a n − 1b + C n a n − 2 b 2 + ... + C n a n − k b k + ... + b n
1 2 k
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4
40

41. СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка…………………………………………………3
Тематическое планирование…………………………………………...4
Рекомендуемая литература…………………………………………….5
Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения
комбинаторных задач…………………………………………………..5
Основные понятия комбинаторики…………………………………...19
Треугольник Паскаля. Бином Ньютона………………………………31
Начальные сведения по теории вероятностей………………………35
41