1. Analītiska ģeometrija

2. Vektors
• Vektors —
orientēts taisnes nogrieznis, t.i., tāds
taisnes nogrieznis, kurš savieno divus
punktus un un ir norādīts, kuru no šiem
punktiem uzskatīt par nogriežņa
sākumu un kuru par gala punktu.
• Tam ir dots sākumpunkts un
galapunkts.

3. Nullvektors
• Par nullvektoru sauc tādu vektoru, kura
modulis ir vienāds ar nulli. Ģeometriski
nullvektors attēlo nogriezni, kas
deģenerējies punktā. Nullvektora
virziens ir nenoteikts.

4. Kolineāri vektori
• Kolineāri vektori — divi vai vairāki
vektori, ja to pamati ir savstarpēji
paralēli vai sakrīt. Ja kolineāriem
vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, tad
tie atrodas uz vienas taisnes. Tie var
būt ar vienādu vērsumu vai savstarpēji
pretim vērsti.

5. Komplanāri vektori
• Vektorus, kuri ir paralēli vienai plaknei
vai arī atrodas vienā plaknē, sauc par
komplanāriem.
– Jebkuri divi vektori ir komplanāri.
– Jebkuri kolineāri vektori ir komplanāri.
– Jebkuri trīs vektori, no kuriem divi ir
kolineāri, ir komplanāri.
– Triju vektoru a, b un c komplanaritātes
nosacījums: Lineāras
a b c 0 atkarības
nosacījums

6. Kolineāri un komplanāri vektori
Viens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors.
Divu un trīs vektoru lineārajai atkarībai ieviesti īpaši, daiļi vārdi:
D Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.
Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.
Dažādas
situācijas,
kad 3 vektori
ir komplanāri

7. Vektoru iedalījums
• Brīvie vektori.
– drīkst pārnest paralēli sev
jebkurā telpas punktā.
• Slīdošie vektori.
– drīkst pārnest tikai pa pamatu.
• Saistītie vektori.
– vektora sākuma punktu nedrīkst nekādā
veidā pārvietot.

8. Attālums starp diviem punktiem

9. Vektora modulis
2 2
d x2 x1 y2 y1

10. • Dots:
• punkti E (x1; y1; z1)
un F (x2; y2; z2). r1
r2
2 2 2
d x y z
2 2 2
d x2 x1 y2 y1 z2 z1

12. Vektoru vienādība
• Divi vektori a un b ir vienādi, ja tie ir
kolineāri, vienādi vērsti un tiem ir
vienādi moduļi.

13. Darbības ar vektoriem
• Trijstūra likums
• Paralelograma likums
• Daudzstūra likums

17. Vektoru summas īpašības
• Komutatīvā īpašība:
•a+b=b+a
• Asociatīvā īpašība:
• (a + b) + c = a + (b + c)

18. Aksiomu ilustrācijas - I
B
A b
A Asociativitāte c
a OB BC
(a b) c a (b c) a b b c
C OA AC OC
O
a
Komutativitāte B C
A
b
b
OA AC
a b b a
O a A OB BC OC
A Nullvektors
0 a a A B AA AB AB
Pretējais vektors A B
A
AB BA AA
a ( a) 0

19. Saskaitīšanas asociativitāte
Katram kokam atbilst
kāda izteiksme ar
+ iekavām un otrādi:
katrai izteiksmei
a1 + + atbilst koks.
a2 + + +
a3 a4 a1 a2 a3 a4
a1 (a 2 (a3 a 4 )) (a1 a 2 ) (a 3 a 4 )
T

20. Vektora reizināšana ar skaitli
• Par vektora a reizinājumu ar
skaitli k sauc vektoru, kura garums
vienāds ar vektora a garuma
reizinājumu ar skaitļa k moduli, bet
vērsums vienāds ar dotā vektora
vērsumu, ja k > 0, un pretējs, ja k < 0.
• Vektori ir kolineāri.

22. Vektora reizinājuma īpašības:
• Asociatīvā īpašība:
• k(ma) = m(ka) = (km)a
• Distributīvās īpašības
• (k + m)a = ka + ma
• 3.Nulles īpašība:
• k(a + b) = ka + kb

23. Aksiomu ilustrācijas - II
D Vektors ka, k R, reizes
ir k
3 3 garāks par a, paralēls a, vērsts tāpat
a a
a 2 2 kā a (k>0), vai pretēji a (k<0).
A Distributivitāte1
(k l )a ka la
A Operatoru asociativitāte
(kl)a k (la)
A Distributivitāte2
kb
k (a b) ka kb b
A Reizināšana ar 1: 1a a a ka

24. Vektoru skalārais reizinājums
• Par divu vektoru skalāro reizinājumu
sauc šo vektoru garumu reizinājumu ar
kosinusu no leņķa starp vektoriem.
a b a b cos

25. Leņķis starp vektoriem
a b
cos
a b
a x bx a y by a z bz
cos
2 2 2 2 2 2
a x a y a z b
x b y b
z

26. Divu vektoru vektoriālais reizinājums
• Par divu vektoru a un b vektoriālo reizinājumu
sauc vektoru c, kuram ir šādas īpašības:
– Vektora c modulis ir vienāds ar abu vektoru a un b
moduļu un šo vektoru veidotā leņķa sinusa
reizinājumu
– Vektors c ir perpendikulars plaknei, ko nosaka
vektori a un b
– Vektora c vērsums izvēlēts uz to pusi, no kuras
skatoties pirmo reizinātāju a ar otru reizinātāju b
redz sakļaujamies pa īsāko ceļu pozitīvajā virzienā.

27. Labās rokas likums

28. k
j
i
i, j, k – asu vienības vektori
a = OM – punkta M rādiusvektors

29. Jauktais reizinājums
Ja vektoriem ir labā
abc 0 orientācija
Ja vektoriem ir krejsā
c abc 0 orientācija
b Ja vektori ir komplanāri.
a
abc 0

30. Vektora sadalījums ortogonālajās komponentēs
a ax i a y j az k
ax, ay, az – vektora koordinātas ax
cos
i, j, k – koordinātu ass vienības a
vai orti
ay
ax a cos cos
2 2 2 a
a a x a y a z ay a cos
az
az a cos cos
a

31. Vektora projekcija uz x ass
• Vektora AB projekcija uz Ox ass ir
skaitlis, kuru iegūst šādi:
• No vektora AB galapunktiem novelk
perpendikulus pret Ox asi, iegūstot
nogriezni AxBx.
• ir skaitlis, kurš vienāds ar AxBx garumu, ja
vektors ar Ox asi (pozitīvo virzienu) veido
šauru leņķi un nogriežņa AxBx garumam pretējs
skaitlis, ja vektors ar Ox asi (pozitīvo
virzienu) veido platu leņķi.

32. • Vektora projekcija uz ass ir vienāda ar
vektora moduļa reizinājumu ar tā leņķa
kosinusu, ko vektors veido ar asi.
proju a a cos

33. Pa tiešo
a ax , a y , az
b bx , by , bz
a b a y bz a z by , az bx axbz , a xby a y bx

34. Ar determinanta palīdzību
a ax , a y , az
b bx , by , bz
i j k
a b ax ay az
bx by bz

35. Ar matricu palīdzību
0 az ay bx
az 0 ax by
ay ax 0 bz

36. Ar summas palīdzību
3 3 3
a b ijk ei a j bk
i 1 j 1 k 1

37. Triju vektoru jauktais reizinājums
ax ay az
a b c bx by bz
cx cy cz
Ģeometriskā interpretācija – uz trīs vektoriem
konstruētā paralēlskaldņa tilpums.