Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Noteiktais integrālis
LĪKLĪNIJU TRAPEČULAUKUMS
Līklīnijas trapece• Līklīnijas trapece – plaknes figūra, kuru ierobežo trīs  taisnes nogriežņi un līknes loks.
Laukuma aprēķināšana• Sadalot figūru daļās, līklīnijas trapeces laukums  sastāv no līklīnijas trapeces daļu laukumu summas...
Funkcijas f(x) integrālsumma intervālā (a; b)• S ≈ f(ξ1) x1 + f(ξ2) x2 + … + f(ξn) xn                    n              S ...
Noteiktais integrālis• Ja apzīmē x max xi                1 i n                          un meklē  integrālsummas robežu, k...
b                    n              f x dx   lim                        x   0 i 1                                    f   i...
Noteiktā integrāļa īpašības• Integrālis no divu vai vairāku funkciju summas ir  vienāds ar šo funkciju integrāļu summu.   ...
• Konstantu reizinātāju var iznest pirms integrāļa zīmes                      b            b                          cf x...
• Ja (a, b) = (a; c)    (c; b), tad               b            c            b                   f x dx       f x dx       ...
• Ja f(x) = 1, tad               b             b                    f x dx       dx b a               a             a• Ja ...
• Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība  f1(x) f2(x), tad b            b                       f1 x dx       f 2...
NOTEIKTĀ INTEGRĀĻAAPRĒĶINĀŠANASPAŅĒMIENI
Integrālrēķinu pamatteorēma• Ja funkcija f(x) ir integrējama intervālā *a; b+ un F(x) ir  funkcijas f(x) primitīvā funkcij...
2                 1    sin 2 xdx      cos 2 x 020                 2      1                             1        cos 2     ...
Parciālā integrēšana• Ja ir dotas nepārtrauktas un diferencējamas funkcijas  u=u(x) un v=v(x) intervālā [a; b], tad       ...
u  x             du dx    x sin xdx                 dv sin dx v      sin xdx cos x0     x cos x 0         cos x dx        ...
Substitūcijas metode•   Izmanto mainīgo t ar formulu x = (t)•   A= ( ) un b = ( )•   Funkcija (t) ir nepārtraukta intervāl...
7              2 2    xdx                  t 2 1 2tdt       1 0    t   1 x       t0   1 x            1                    ...
2 2                1        2 2   2          2 22             t   dt 2 t           ln t   1      1                t       ...
Tuvinātā aprēķināšana              b            n    xi                  f x dx                 f x dx              a     ...
xi                               yi   1        yi                f x dx                             h      xi    1        ...
NOTEIKTĀ INTEGRĀĻAPIELIETOJUMI
Plaknes figūru laukumu pielietošana
• Ir dota plaknes figūra, kuru no augšas ierobežo  intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = g(x), no  apakšas - šajā ...
Līknes garuma aprēķināšana
Līknes garuma aprēķināšana• Līknes loka garums sastāv no līknes lokā ievilktās  lauztās līnijas nogriežņu garumiem        ...
Rotācijas ķermeņa tilpums• Rotācijas ķermeni, šķeļot ar jebkuru abscisu asij  perpendikulāru plakni, iegūst riņķi, kura rā...
NEĪSTAIS INTEGRĀLIS
• Integrāļus ar galīgu integrēšanas intervālu [a; b] no  šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas f(x) sauc par  īstajiem in...
• Pirmā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem  vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga,  bet zemintegrāļa ...
Pirmā veida neīstie integrāļi           b                       b               dx                          dx     I1     ...
• Lielumam I1(b) ir noteikta  robeža I.• Neīstais integrālis eksistē  jeb konverģē.• Lielumam I2(b) nav  noteikta robeža I...
• Integrāļa I1 (b) robežu sauc par neīsto integrāli ar  bezgalīgu augšējo integrācijas robežu jeb par pirmā  veida neīsto ...
• Funkcija y = f(x) ir  nepārtraukta intervālā [a; c).  Punktā x = c tai ir bezgalīgs  pārtraukums.• Pēc būtības integrāli...
• Ja I( ) noteikta robeža ir, tad to sauc par otrā veida  neīsto integrāli no funkcijas ar bezgalīgu pārtraukumu  intervāl...
4.noteiktais integrālis
4.noteiktais integrālis
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

4.noteiktais integrālis

2,384 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

4.noteiktais integrālis

  1. 1. Noteiktais integrālis
  2. 2. LĪKLĪNIJU TRAPEČULAUKUMS
  3. 3. Līklīnijas trapece• Līklīnijas trapece – plaknes figūra, kuru ierobežo trīs taisnes nogriežņi un līknes loks.
  4. 4. Laukuma aprēķināšana• Sadalot figūru daļās, līklīnijas trapeces laukums sastāv no līklīnijas trapeces daļu laukumu summas• Katras daļas laukums tiek risināts kā taisnstūra laukums – pamats reiz augstuma reizinājums.• Lai izmantotu risināšanas kārtulu Ox, intervālu (a; b) ar punktiem sadala n daļās a = x0 < x1< … <xn = b
  5. 5. Funkcijas f(x) integrālsumma intervālā (a; b)• S ≈ f(ξ1) x1 + f(ξ2) x2 + … + f(ξn) xn n S f i xi i 1
  6. 6. Noteiktais integrālis• Ja apzīmē x max xi 1 i n un meklē integrālsummas robežu, kad x 0, un eksistē robeža n lim x 0 i 1 f i xi• Kura nav atkarīga no intervāla (a; b) sadalījuma veida un no punktu ξi (i = 1, 2, 3, … , n) izvēles, tad šo robežu sauc par funkcijas f(x) noteikto integrāli intervālā (a; b) un apzīmē b f x dx a
  7. 7. b n f x dx lim x 0 i 1 f i xi ax – integrācijas mainīgaisf(x) – zemintegrāļa funkcijaf(x)dx – zemintegrāļa izteiksmea – integrācijas apakšējā robežab – integrācijas augšējā robeža(a; b) – integrācijas intervāls
  8. 8. Noteiktā integrāļa īpašības• Integrālis no divu vai vairāku funkciju summas ir vienāds ar šo funkciju integrāļu summu. b f1 x f2 x ... f n x dx a b b b f1 x dx f 2 x dx ... f n x dx a a a
  9. 9. • Konstantu reizinātāju var iznest pirms integrāļa zīmes b b cf x dx c f x dx a a• Mainot vietām integrācijas robežas , mainās tikai integrāļa zīme b a f x dx f x dx a b
  10. 10. • Ja (a, b) = (a; c) (c; b), tad b c b f x dx f x dx f x dx a a c• Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f(x)≥0, tad arī b f x dx 0 a
  11. 11. • Ja f(x) = 1, tad b b f x dx dx b a a a• Ja m min f x, M max f x un a b, tad x a;b x a;b b mb a f x dx M b a a
  12. 12. • Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f1(x) f2(x), tad b b f1 x dx f 2 x dx a a• Vidējās vērtības teorēma. Ja f(x) ir intervālā (a; b) (a<b) nepārtraukta funkcija, tad eksistē tāds punkts b c (a; b), ka f x dx f c a b a
  13. 13. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻAAPRĒĶINĀŠANASPAŅĒMIENI
  14. 14. Integrālrēķinu pamatteorēma• Ja funkcija f(x) ir integrējama intervālā *a; b+ un F(x) ir funkcijas f(x) primitīvā funkcija intervālā (a; b), tad spēkā ir sakarība b f x dx Fb Fa a Ņūtona – Leibnica formula
  15. 15. 2 1 sin 2 xdx cos 2 x 020 2 1 1 cos 2 cos 2 0 cos cos 0 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2
  16. 16. Parciālā integrēšana• Ja ir dotas nepārtrauktas un diferencējamas funkcijas u=u(x) un v=v(x) intervālā [a; b], tad d(uv)=udv+vdu b b b d uv udv vdu a a a b b b udv uv a vdu a a
  17. 17. u x du dx x sin xdx dv sin dx v sin xdx cos x0 x cos x 0 cos x dx cos sin x 0
  18. 18. Substitūcijas metode• Izmanto mainīgo t ar formulu x = (t)• A= ( ) un b = ( )• Funkcija (t) ir nepārtraukta intervālā * ; ]• Funkcijas (t)vērtības pieder intervālam *a; b+, ja t [ ; ] b f x dx f t t dt a
  19. 19. 7 2 2 xdx t 2 1 2tdt 1 0 t 1 x t0 1 x 1 t t 1 2 1 x t 2 2 t 2 1 dt 1 7 t 2 2 x t 1 1 t t 2 2 2 2 dx 2tdt 1 2 t dt 1 t
  20. 20. 2 2 1 2 2 2 2 22 t dt 2 t ln t 1 1 t 1 2 2 2 2 2 22 t ln t 1 2 2 2 12 ln 2 2 ln 1 1 2 82 1 ln 2 2 126 ln 2 2
  21. 21. Tuvinātā aprēķināšana b n xi f x dx f x dx a i 1 xi 1
  22. 22. xi yi 1 yi f x dx h xi 1 2 b n yi 1 yi f x dx h a i 1 2 h y0 y1 y1 y2 ... yn 1 yn 2b n yi 1 yi y0 yn f x dx h h y1 y2 ... yn 1a i 1 2 2
  23. 23. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻAPIELIETOJUMI
  24. 24. Plaknes figūru laukumu pielietošana
  25. 25. • Ir dota plaknes figūra, kuru no augšas ierobežo intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = g(x), no apakšas - šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = f(x), pie tam abiem grafikiem no sāniem ir taisnes x = a un x = b.• Meklējamais laukums S ir divu līklīnijas trapeču laukumu starpība.
  26. 26. Līknes garuma aprēķināšana
  27. 27. Līknes garuma aprēķināšana• Līknes loka garums sastāv no līknes lokā ievilktās lauztās līnijas nogriežņu garumiem Pārveidojums pēc Lagranža formulas
  28. 28. Rotācijas ķermeņa tilpums• Rotācijas ķermeni, šķeļot ar jebkuru abscisu asij perpendikulāru plakni, iegūst riņķi, kura rādiuss ir .• Iegūtā šķērsgriezuma laukums
  29. 29. NEĪSTAIS INTEGRĀLIS
  30. 30. • Integrāļus ar galīgu integrēšanas intervālu [a; b] no šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas f(x) sauc par īstajiem integrāļiem.• Noteiktais integrālis zaudē jēgu, ja integrēšanas intervāls ir bezgalīgs vai zemintegrāļa funkcija integrēšanas intervālā nav ierobežota.• Integrāļus ar bezgalīgu integrēšanas intervālu sauc par neīstajiem integrāļiem.
  31. 31. • Pirmā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga, bet zemintegrāļa funkcija ir ierobežota integrēšanas intervālā.• Otrā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā .• Trešā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga un zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā.
  32. 32. Pirmā veida neīstie integrāļi b b dx dx I1 2 I2 1 x 1 x b 1 1 bI1 1 I2 ln x 1 ln b x1 b lim I b 1 1 lim I b 2
  33. 33. • Lielumam I1(b) ir noteikta robeža I.• Neīstais integrālis eksistē jeb konverģē.• Lielumam I2(b) nav noteikta robeža I.• Neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.
  34. 34. • Integrāļa I1 (b) robežu sauc par neīsto integrāli ar bezgalīgu augšējo integrācijas robežu jeb par pirmā veida neīsto integrāli. b f x dx lim b f x dx a a
  35. 35. • Funkcija y = f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; c). Punktā x = c tai ir bezgalīgs pārtraukums.• Pēc būtības integrālis nav definēts, bet ar pietiekami mazu integrālis ir definēts.• Ja 0 – lielumam I( ) ir noteikta robeža; – lielumam I( ) nav robežas.
  36. 36. • Ja I( ) noteikta robeža ir, tad to sauc par otrā veida neīsto integrāli no funkcijas ar bezgalīgu pārtraukumu intervāla galapunktā c. b b f x dx lim 0 f x dx a a• Ja robeža eksistē, tad neīstais integrālis eksistē vai konverģē.• Ja robeža neeksistē, tad neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.

×