3.  Par funkcijas f(x) primitīvo funkciju sauc funkciju
F(x), kuras atvasinājums ir vienāds ar doto funkciju
f(x) jeb diferenciālis ir vienāds ar izteiksmi f(x)dx.
3 2 2 3
x 3x 3x dx x C
 Primitīvas funkcijas vispārīgais veids ir F(x) + C

5.  Funkcijas f(x) primitīvas funkcijas vispārīgo veidu
F(x) + C, kur F(x) ir kāda f(x) primitīvā funkcija, bet
C patvaļīga konstante, sauc par funkcijas f(x)
nenoteikto integrāli un apzīmē ∫f(x)dx
f x dx F x C
 f(x)dx – zemintegrāļa izteiksme
 F(x) - zemintegrāļa funkcija
 x – integrācijas mainīgais
 C – integrācijas konstante

6. Integrāllīnijas

7.  Integrāllīnijas – dotās funkcijas f(x) primitīvo
funkciju kopa, kura sastāv no kongruentu līniju
saimes Oxy plaknē.

9. n xn 1 dx dx 1 1 x
x dx C tgx C ln C
n 1 cos2 x 1 x2 2 1 x
dx dx
ln x C ctgx C shxdx chx C
x sin 2 x
x x dx
e dx e C arctgx C chxdx shx C
1 x2
x ax dx dx
a dx C arcsin x C thx C
ln a 1 x 2 ch 2 x
dx dx
sin xdx cos x C ln x x2 1 C cthx C
x 2
1 sh 2 x
cos xdx sin x C

10. Nenoteiktā integrāļa pamatīpašības
 Nenoteiktais integrālis no vairāku funkciju
algebriskas summas ir vienāds ar atsevišķo
saskaitāmo nenoteikto integrāļu summu.
f1 x f2 x f 3 x dx f1 x dx f 2 x dx f3 x dx
 Konstantu reizinātāju drīkst iznest kā reizinātāju
pirms nenoteiktā integrāļa zīmes.
c f x dx c f x dx

11.  Visas integrēšanas formulas saglabā savu veidu, ja
neatkarīgā mainīgā x vietā ievieto jebkuru šī mainīgā
diferencējamu funkciju u = (x)
f x dx F x C, tad f u du Fu C
1 1 1 1
cos3xdx cos3xd 3x cosudu sin u C sin 3x C
3 3 3 3
Substitūcijas metode

13. Substitūcija
3
2 3 t 5 2x
x 5 2 x dx
2
dt 6 x dx
2 1
x dx dt
6
1
2 3 1 1 2
x 5 2 x dx t dt t dt
6 6
3
1 2 2
1 3 3
t C 5 2x C
6 3 9

15.  Ja ir dotas divas diferenciālas funkcijas u = u(x) un
v= v(x), tad reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc
formulas
(uv)’ = u’v + v’u
 Diferenciālā forma
d(uv) = vdu + udv
udv = d(uv) – vdu
udv uv vdu Parciālās integrēšanas
formula

16.  Funkcija u un diferenciālis dv jāizvēlas tā, lai
reizinājums udv būtu vienāds ar visu zemintegrāļa
izteiksmi.
 Funkcija u jāizvēlas tā, lai pēc dv izteiksmes varētu
atrast funkciju v.
 Jāprot aprēķināt ∫vdu.

17.  Pa daļām, kur par funkciju u var izvēlēties P(x), var
integrēt integrāļus
P x e kxdx P x sin kxdx P x cos kxdx
P x ln xdx P x arcsin xdx P x arccosxdx
P x arctgxdx P x arcctgxdx

18. x u sin x du cos xdx
I e sin xdx x x
dv e dx v e
x x u cos x du sin xdx
e sin x e cos xdx x x
dv e dx v e
x x x
e sin x e cos x e sin xdx 2C

19. x x x
2 e sin xdx e sin x e cos x 2C
x x
2 e sin xdx e sin x cos x 2C
x 1 x
e sin xdx e sin x cos x C
2

22. Qm x
R x
Pn x
m m 1
Qm x b0 x b1 x ... bm 1 x bm
n n 1
Pn x a0 x a1 x ... an 1 x an

23.  Ja m ≥ n, tad R(x) neīsta racionāla
funkcija.
Qm x
Rx Pm n x
Pn x
 Ja m < n, tad R(x) īsta racionāla funkcija.

24. Polinoma sadalījums elementārdaļās
 Vienkārša reāla sakne, t.i., saucējā ir A
reizinātājs x - a x a
 Sakne a ar kārtu k, t.i., saucējā ir
reizinātājs (x – a)k Ak Ak 1 A1
k k 1
...
x a x a x a
 Polinoms Pn(x), t.i., saucējā ir Mx N
reizinātājs x2 + px + q x 2 px q
 Polinoms Pn(x) ar kārtu 2, t.i., saucējā ir
reizinātājs (x2 + px + q)2 M 2 x N2 M1 x N1
2
x 2
px q x 2 px q

25. 3
3x x 1
Rx 4 2
x x
4 2 2 2
x x x x 1
3x 3 x 1 A B Cx D
4 2 2 2
x x x x x 1

26. 3 2 2 2
3x x 1 Ax 1 Bx x 1 Cx D x
x4 x2 x2 x2 1 x x x2 1 x2 x2 1
3 2 3 3 2
3x x 1 Ax A Bx Bx Cx Dx
B C 3 A 1
A D 0 B 1
B 1 C 2
A 1 D 1
3
3x x 1 1 1 2x 1
4 2 2 2
x x x x x 1

28. I. un II. paņēmiens
A dx d x a
dx A A A ln x a C
x a x a x a
A dx d x a A 1
k
dx A k
A k k 1
C
x a x a x a k 1 x a

29. III. paņēmiens
Mx N p2
2
dx q 0
x px q 4
3x 1 22 2x 1 02
2
dx 3 0 2
dx 1 0
x 2x 3 4 x 1 4
d x2 px q 2x p dx
d x2 2x 3 2 x 2 dx d x2 1 2 xdx

30. N
x
Mx N M dx
2
dx M 2
x px q x px q
2N 2N
2x 2x p p
M M dx M M dx
2 x 2 px q 2 2
x px q
2N
p
M 2x p M M
dx dx
2 x2 px q 2 2
x px q

31. 2N
p
M 2x p M M
dx dx
2 x2 px q 2 2
x px q
M 2x p M 2N dx
2
dx p 2 2
2 x px q 2 M p p
x q
2 2
M 2x p M 2N dx
2
dx p
2 x px q 2 M 2 2 2
p p
x q
2 2

32. 1
x
3x 1 3 dx
2
dx 3 2
x 2x 3 x 2x 3
2 2 1
2x 2x 2 2 2x 2 1
3 3 dx 3 3 3 3 dx
dx
2 x2 2x 3 2
2 x 2x 3 2 x2 2x 3
1
1
3 2x 2 3 3
2
dx 2
dx
2 x 2x 3 2 x 2x 3
3 2 x 2 dx dx
2
2 2
2 x 2x 3 x 2x 3

33. 3 2 x 2 dx dx
2
2 2
2 x 2x 3 x 1 1 3
3 d x2 2x 3 dx
2
2 2
dx
2 x 2x 3 x 1 2
2
3 d x 2x 3 dx
2
2 2
2 x 2x 3 x 1
2
2
3 1 x 1
ln x 2 2x 3 2 arctg C
2 2 2

34. 2 2 2
x 2x 3 x 1 2
3x 1
2
dx
x 2x 3
3 1 x 1
ln x 2 2x 3 2 arctg C
2 2 2

35. 2x 1 2x 1
2
dx 2
dx 2
dx
x 1 x 1 x 1
2x dx dx d x2 1 dx
x2 1 x2 1 x2 1 x2 1
ln x 2 1 arctgx C

36. IV. paņēmiens
Mx N
m
dx
x2 px q
3x 1 2x 1
2
dx 2
dx
2
x 2x 3 x2 1
d x2 px q 2x p dx
d x2 2x 3 2 x 2 dx d x2 1 2 xdx

37. N
x
Mx N M
2
dx M 2
dx
2 2
x px q x px q
2N 2N
2x 2x p p
M M M M
2
dx 2
dx
2 2
x px q 2 2
x px q
2N
p
M 2x p M M
2
dx 2
dx
2 x2 px q 2 x 2 px q

38. 1
x
3x 1 3
2
dx 3 2
dx
2 2
x 2x 3 x 2x 3
2 2 1
2x 2x 2 2 2x 2 1
3 3 dx 3 3 3 3 dx
2
dx 2
2 x2 2x 3 2 x2 2x 3 2 2
x 2x 3
1
1
3 2x 2 3 3
2
dx 2
dx
2 x2 2x 3 2 x2 2x 3
3 2 x 2 dx dx
2
2 2
2 x 2
2x 3 x 2
2x 3

39. 2
3 d x 2x 3 dx
2
2 x2 2x 3 2 x 2
2x 3
2
3 1 dx
2
2 2
2 x 2x 3 2 2
x 1 2

40. dx dt
2 2 2 2 2
x 1
2
2 t a
dt t 1 dt
2 2 2 2a 2 t 2 a 2 2a 2 t 2 a 2
t a
t 1 1 t
arctg C
2a 2 t 2 a2 2
2a a a
t 1 1 x 1
2 2 2
arctg C
2 2 x 1
2
2 2 2 2 2

41. 2x 1 2x dx
2
dx 2
dx 2
2 2 2
x 1 x 1 x 1
d x2 1 dx 1 dx
2 2 2 2 2 2 2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
dx x 1 dx x 1
2
arctgx C
x 2
1 2 x2 1 2 x2 1 2 x2 1 2

44. Universālā substitūcija
x
t tg
2
2t 1 t2 2dt
sin x 2
cos x 2
dx
1 t 1 t 1 t2
2
2t 1 t 2dt
I R 2
; 2 2
1 t 1 t 1 t

45. I.paņēmiens
 Ja R(sinx; cosx) ir nepāra funkcija attiecībā pret cosx,
tad var lietot substitūciju t = sinx.
dt = cosx dx
6dx 6 cos xdx
2 cos x sin x cos x cos x 2 cos x sin x cos x
6 cos xdx 6 cos xdx
cos2 x 2 sin x 1 sin 2 x 2 sin x
6dt 6dt
1 t2 2 t 1 t 1 t 2 t

46. 6 A B C
1 t 1 t 2 t 1 t 1 t 2 t
6 A1 t 2 t B1 t 2 t C1 t 1 t
Ja t 1 6 A 21 B 01 C 0 2
Ja t 1 6 A 0 3 B 2 3 C 2 0
Ja t 2 6 A 3 0 B 1 0 C 1 3
A 3 B 1 C 2

47. 6 3 1 2
1 t 1 t 2 t 1 t 1 t 2 t
3 1 2
dt 3 ln 1 t ln 1 t 2 ln 2 t C
1 t 1 t 2 t
Ja R(sinx; cosx) ir nepāra funkcija attiecībā pret sinx, tad
var lietot substitūciju t = cosx.
dt = -sinx dx

48.  Ja R(sinx; cosx) ir pāra funkcija attiecībā pret sinx un
cosx, tad var lietot substitūciju t = tgx.
dx 2 1 t2
dt cos x sin 2 x
cos2 x 1 t2 1 t2

49. 2
dx cos xdx
2 2 2
1 3 cos x cos x 1 3 cos x
1
2
cos x dx 1 t 2
dt
1 3 cos2 x cos2 x 3
1 2
1 t

50. 1 dt
dt
2 3 2 31 t2
1 t 1 1 t
1 t2 1 t 2
dt 1 t 1 tgx
arctg C arctg C
4 t2 2 2 2 2

52.  Ja m ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju
t=cosx.
 Ja n ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju
t=sinx.
 Ja m un n abi ir pāra skaitļi, bet vismaz viens no tiem
ir negatīvs, tad var lietot substitūciju t = tgx.
 Ja m un n abi ir pozitīvi pāra skaitļi, tad izmanto
2 1 2 1
sin x 1 cos 2 x cos x 1 cos 2 x
2 2
1
sin x cos x sin 2 x
2

53. 2 4 2 2 2
sin x cos xdx sin x cos x cos xdx
1 1 1
1 cos 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx
2 2 2
1 2
sin 2 x 1 cos 2 x dx
8
1 2 2
sin 2 x sin 2 x cos 2 x dx
8

54. 1 2 2
sin 2 x sin 2 x cos 2 x dx
8
1 2 1 2
sin 2 xdx sin 2 x cos 2 xdx
8 8
1 1 2
1 cos 4 x dx sin 2 xd sin 2 x
16 16
1 1 1 3
x sin 4 x sin 2 x C
16 64 48

56. 1
sin mx cos nx sin m n x sin m n x
2
1
sin mx sin nx cos m n x cos m n x
2
1
cos mx cos nx cos m n x cos m n x
2

57. sin 7 x cos3xdx
1 1 1
sin 10 x sin 4 x dx cos10x cos 4 x C
2 20 8