1. Augstāku kārtu
atvasinājumi

2. Funkcijas atvasinājuma
jēdziena fizikālā interpretācija
x xt  t   xt 
vvid  
t t
x xt  t   xt 
v  limvvid  lim  lim
t 0 t 0 t t 0 t
x
x(t + t)
x
x(t)
t
t t + t
t

3. Otrās kārtas atvasinājuma
mehāniskā interpretācija
x  xt  Materiāla punkta taisnvirziena kustības likums
x' t   vt  Punkta momentānais ātrums
v  vt  t   vt  Momentānā ātruma pieaugums laika intervālā t
v
 avid Materiāla punkta vidējais paātrinājums intervālā t
t
v
a  lim avid  lim  v'i Materiāla punkta paātrinājums a
t 0 t 0 t laika momentā t
a  v 't   x 't 't  xtt'
'

4. u  v '  u'v'
u  v ' '  u'v'  u' 'v' '
uv'  u' v  uv'
uv' '  u' v  uv''  u' ' v  2u' v'uv' '
nn  1 n2 
uv
n  n 
 u v  nu n 1
v' u v' '... uv n 
1 2
Leibnica formula

5. f x   x 3
f x  x   x  x  
3
 x  3x x  3xx   x 
3 2 2 3
y  f x  x   f x  
 3x x  3xx   x 
2 2 3
3x x
2
Lineārais saskaitāmais pret x
3 xx   x 
2 3
Nelineārais saskaitāmais pret x

6. y 3 x 2 x  3 xx   x 
2 3
lim x  lim
x  0 x  0 x

3 x x 3 xx   x 
2 2 3
 lim  lim  3x 2
x  0 x x  0 x
y  f ' x x   x x y
 f ' x    x 
x
f ' x x Funkcijas pieauguma galvenais loceklis
 x x Augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija

7. • Funkcijas y = f(x) pieauguma galveno un
attiecībā pret x lineāro locekli sauc par
funkcijas f(x) diferenciāli punktā x un apzīmē
ar dy jeb df(x).
dy  df x   f ' x x
f ' x  
dy
dy  f ' x dx
dx

8. Augstāku kārtu diferenciāļi
• Par otrās kārtas diferenciāli d2y sauc pirmās
kārtas diferenciāļa diferenciāli
d2y = d(dy) = f’’(x)dx2
d3y = d(d2y) = f’’’(x)dx3
• Funkcijas n-tās kārtas diferenciālis ir (n-1)-mās
kārtas diferenciāļa diferenciālis
dny = d(dn - 1 y) = f(n)(x)dxn

9. Fermā teorēma
• Pieņem, ka funkcija f(x) ir definēta intervālā
(a; b) un kāda šī intervāla punktā x = c tai ir
lielākā vai mazākā vērtība. Ja punktā x = c
funkcijai f(x) eksistē atvasinājums, tad tas ir
vienāds ar nulli.
f ' c   0

10. • Pieņem, x = c max M  f(c)  f(c + x)
f(c + x) - f(c)  0
• Pieņem, x > 0  f c  x   f c 
0
x
f c  x   f c 
• Ja x  0, tad 
lim  f ' c   f’(c) 0
x 0 x
• Ja x < 0, tad f c  x   f c 
0
x
f c  x   f c 
lim  f ' c   f’(c)  0
x 0 x

11. Lagranža teorēma
• Pieņem, ka funkcija f(x) ir nepārtraukta intervālā *a; b+ un diferencējama šī
intervāla iekšējos punktos. Tad intervālā (a; b) eksistē vismaz viens tāds
punkts c, kurā ir pareiza vienādība
f b   f a 
 f ' c 
ba
f b   f a   f ' c b  a 

12. • Taisnes vienādojums caur
diviem dotajiem
punktiem A(a; f(a)) un
B(b; f(b))
y  f a  xa

f b   f a  b  a
f b   f a 
y  f x  y x  a   f a 
ba
Funkcijas vienādojums Taisnes vienādojums

13. Starpība starp funkcijas grafika un hordas punkta ordinātām
 f b   f a 
F x   f x    x  a   f a 

 ba 
f b   f a 
F ' x   f ' x  
ba
f b   f a 
F ' c   0 f ' c  
ba
0

14. Košī teorēma
• Pieņemsim, ka funkcijas f(x) un (x) ir nepārtrauktas intervālā *a; b+ un
diferencējamas šī intervāla iekšējos punktos, pie tam (x) ≠ 0. Tad
intervālā eksistē vismaz viens tāds punkts c, kurā ir spēkā vienādība
f b   f a  f ' c 

 b    a   ' c 

15. Lopitāla kārtula
• Pieņem, ka funkcijas f(x) un (x) ir nepārtrauktas un diferencējamas
punkta a apkārtnē, izņemot varbūt pašu punktu a, pie tam minētajā
apkārtnē ir spēkā nevienādības (x) ≠ 0, ’(x) ≠ 0, un abas šīs funkcijas
tiecas uz nulli vai bezgalību, kad x  a.
• Ja eksistē šo funkciju atvasinājumu attiecības robeža, kad x  a, tad
eksistē funkciju attiecības robeža un abas minētās robežas ir vienādas.
f x  f ' x 
lim  x   lim  ' x 
xa xa
0 
Attiecas uz nenoteiktībām un
0 

16. 
0 ;  ; 1
0 0
 0
b  lim x x
x 0
 x
 
ln b  ln  lim x   lim ln x x  lim x ln x 
 x 0  x 0 x 0
1
ln x
 lim  lim x   lim x  0
1 1
x 0 x 0
 2 x 0
x x

17. Teilora formula n-tās pakāpes
polinomam
Pn ' x0  Pn ' ' x0 
Pn x   Pn x0   x  x0   x  x0  
2
1! 2!
 ...
Pn
n 
x0  x  x n
0
n!

18. Funkcijas f(x) n-tās pakāpes
Teilora polinoms
f ' x0  f ' ' x0 
f x   f x0   x  x0   x  x0  
2
1! 2!
f n  x0 
 ... x  x0   Rn x 
n
n!
Rn  x   0