Sistemi di numerazione e conversioni tra basi diverse.

1. cambiamento di base da 10 a 2
Operazioni aritmetiche: addizioni e sottrazioni in binario
Conversione da binario a decimale
Il sistema di numerazione base 8
e il s.d.n. esadecimale
SISTEMI DI NUMERAZIONE E OPERAZIONI

2.  ll sistema di numerazione binario è un sistema di codifica
posizionale, simile a quello decimale ma che utilizza la base 2
per la rappresentazione dell’informazione.
 Il Bit (Binary Digit- codice binario) è l’unità elementare
dell’informazione trattata da un elaboratore e quindi possiamo
considerae il Bit una variabile che può assumere solo due valori:
0 e 1
 Questo sistema di rappresentazione dell’informazione, ci
permette di esprimere tramite questi due soli numeri qualsiasi
cosa, seguendo delle convenzioni chiamate codifiche.
 Pensate per esempio al vostro gioco per pc preferito, ai vostri
film e alle vostre canzoni: tutte queste sono esempi di
codifiche
che dal lato della macchina non sono altro che una sequenza
di zero e uno.

3. Vediamo ora come rappresentare un numero
decimale in binario, e come successivamente
ritrasformarlo in decimale.
cambiamento di base da 10 a 2
Da piccoli, ci insegnano a contare in modulo 10:
contiamo 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e poi ricominciamo aggiungendo una
decina.
In binario, è simile: essendo però in modulo 2, le cifre sono solo
0 e 1.
Quindi invece che 2, avremo 10, invece che 3, avremo 11 ….
Per numeri piccoli potremmo pensare di fare i conti a mano come
ho appena fatto io, ma sarebbe abbastanza scomodo quando
diventano più grandi. Quello che dobbiamo fare quindi, è:
Dato il numero in base 10, lo dividiamo per 2 finché non finisce il
resto. Il numero binario sarà dato proprio dai resti presi dalla fine
all’inizio.

4. Supponiamo di voler convertire in base 2 il numero 40
40 : 2 = 20 e resto 0
20 : 2 = 10 e resto 0
10 : 2 = 5 e resto 0
5 : 2 = 2 e resto 1
2 : 2 = 1 e resto 0
1 : 2 = 0 e resto 1
0
1
0
0
0
1
Perciò il numero 40
scritto in base 2 è:
1 0 1 0 0 0

5. Operazioni aritmetiche: addizioni e sottrazioni in binario
Vediamo ora come poter fare in binario una somma e una sottrazione.
0 + 0 = 0 sia in binario che in decimale, e lo stesso vale per le operazioni
0 + 1 = 1 e 1 + 0 = 1
Se accade di dover sommare : 1 + 1 ?
in decimale sappiamo che il risultato deve essere 2
In binario il numero 2 si scrive: 1 0 perciò in binario 1 + 1 farà 0 e
riporto 1
Quindi:
0 + 0 + 1 + 1 +
0 = 1 = 0 = 1 =
0 1 1 1 0
Il riporto dell'ultima operazione sarà poi sommato ai bit immediatamente
a sinistra allo stesso modo come accade nelle operazioni di somma nel
sistema di numerazione decimale.

6. Operazioni aritmetiche: addizioni e sottrazioni in binario
Cosa dovremo scrivere al posto del ?
Vediamo ora cosa accade per la sottrazione :
0 - 1 - 1 - 0 -
0 = 1 = 0 = 1 =
0 0 1 ?

7. Operazioni aritmetiche: addizioni e sottrazioni in binario
Per rispondere a questa domanda consideriamo la seguente
sottrazione in decimale :
10 - 4 = 6
che in binario si scrive : 1010 - 0100 = 0110
Mettiamo in colonna tutti i bit e iniziamo la sottrazione da destra
procedendo verso sinistra allo stesso modo come nel decimale.
1 0 1 0 –
0 1 0 0 =
01
Fai click sullo schermo
per procedere con la sottrazione
?
Poiché 0 - 1 non si può, allora si prende il "prestito" che in
questo caso non è dieci ma due poiché siamo in base 2.
Il quarto bit diventerà 0 e l'operazione da compiere sui bit
in terza posizione sarà 2 - 1 = 1.
10

8. Conversione da binario a decimale
Per poter comprendere la conversione di un numero binario in decimale
è utile riflettere innanzitutto sul significato numerico del codice decimale.
Quando scriviamo 23 la cifra 2 indica le decine ( e quindi è moltiplicata
per 10 ) e la cifra 3 indica le unità, ( quindi è moltiplicata per 1 ).
Perciò nel sistema di numerazione decimale, la singola cifra ha un valore
che dipende dalla posizione in cui viene inserita.
Le posizioni sono indicate da 0 , 1, 2... procedendo da destra verso
sinistra.
Cosicché in decimale la scrittura : 2354 significa :
2∙103 + 3∙102 + 5∙101 + 4∙100 = 2∙1000 + 3∙100 + 5∙10 + 4∙1 = 2354

9. Conversione da binario a decimale
In binario la logica è la stessa, solo che ora la base è 2 e le cifre che
compaiono nella sequenza della scrittura, vanno moltiplicate per una
potenza di 2 e non di 10.
Perciò ad esempio: 10110 significa :
1∙24 + 0∙23 + 1∙22 + 1∙21 + 0∙20 =
1∙16 + 0∙8 + 1∙4 + 1∙2 + 0∙1 = 16 + 4 + 2 = 22 decimale

10. Il sistema di numerazione base 8
e il s.d.n. esadecimale
Fino a questo punto abbiamo analizzato il s.d.n. binario ed abbiamo visto
Come possa essere convertito un numero decimale in binario e viceversa.
Fra tutti i sistemi di numerazione possibili, particolare importanza nel
mondo tecnologico assumono i s.d.n. base 8 e base 16.
La scelta delle basi 8 e 16 è stata dettata dal fatto che il passaggio
fra questi due s.d.n. e il sistema binario è pressoché immediato.
Inoltre, l’utilizzo di basi con un alfabeto più ricco riduce la dimensione
della rappresentazione numerica.
Infatti, se per rappresentare il numero 15 servono 4 bit nel s.d.n. binario
1 1 1 1
Nel s.d.n. esadecimale serve un solo simbolo
F
da cui uno dei vantaggi della rappresentazione in base 16

11. Il sistema di numerazione base 8
e il s.d.n. esadecimale
Nel s.d.n base 8 i simboli scelti sono in tutto 8 e vanno da 0 1 2 3 …7
con ovvio significato numerico.
Con questi otto simboli, seguendo le stesse regole dettate per il binario e
per il decimale, si possono ‘’costruire’’ tutti i numeri rimanenti.
Cosicché scrivendo 132(8) intendiamo :
1∙82 + 3∙81 + 2∙80= 1∙64 + 3∙8 + 2∙1= 64 + 24 + 2 = 90
Quindi 132(8) non è altro che 90 decimale

12. Il sistema di numerazione base 8
e il s.d.n. esadecimale
La conversione di un numero decimale in una base diversa segue la
stessa regola della conversione in base 2.
Se vogliamo ora convertire il 90 decimale in base 8, basterà dividere
sempre per 8 ed allineare i resti iniziando da destra e andando verso
sinistra.
90 : 8 = 11 e resto 2
11 : 8 = 1 e resto 3
1 : 8 = 0 e resto 1
2
1
3
(8)

13. Il sistema di numerazione base 8
e il s.d.n. esadecimale
Il sistema esadecimale è del tutto simile al sistema binario,
decimale e base 8 appena visto. In questo caso la base
( cioè il numero di simboli scelti ) è 16 ed il valore assoluto
rappresentato da questi simboli deve andare da 0 fino a 15.
Per la scelta dei simboli di valore assoluto 10, 11, …… 15
non possiamo usare però quelli già usati per rappresentare
lo 0, 1, 2, 3, 4 e 5 altrimenti avremmo confusione nella
codifica della stringa che rappresenta il numero voluto.
Per questo motivo le cifre che vanno da 10 a 15 vengono
rappresentate dalle prime lettere dell’alfabeto.

14. Il sistema di numerazione base 8
e il s.d.n. esadecimale
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F10 11 12 13 14 15
Nel s.d.n. esadecimale la scrittura 1E(16)
esprime il numero:
1∙161 + 14∙160 = 1∙16 + 14∙1 = 30 decimale
Volendo convertire il numero 30 in formato esadecimale
basterà al solito dividere sempre per 16 ed allineare i resti.