Quesiti in preparazione di Giochi Matematici

1. PON C4: “Matematica ... mente”
IISS “Vanoni” - NARDO’ - prof. Sergio Spirito - tutor prof. Salvatore Alligri
soluzioni prova d’ingresso
25-29 gennaio 2010
1

2. Ad una festa di carnevale ...
“Io ho tanti fratelli quante sorelle”
2
1
donna: “Colui che ha appena parlato è mio fratello
... i miei fratelli sono il doppio delle mie sorelle”

3. 3
2
“L’anno prossimo sarò maggiorenne, anche se l’altro ieri avevo
solo quindici anni”
1 gen31 dic30 dic 30 dic 1 gen31 dic 30 dic 31 dic
compleanno
il ragazzo pronuncia la frase il primo giorno dell’anno ed ha
festeggiato il compleanno il giorno prima

4. 4
3
Per arare un medesimo campo, un contadino
impiega 2 ore, una altro 3, un terzo 6.
In quante ore riuscirebbero a compiere lo
stesso lavoro tutti e tre insieme.
In un’ora il primo contadino ara del campo
In un’ora il secondo contadino ara del campo
In un’ora il terzo contadino ara del campo

5. 5
4
In una cartella ci sono 10 penne blu e 10 rosse.
Quante è sufficiente prenderne per essere sicuri di averne due dello
stesso colore?
3

6. 6
5
In un corteo si contano
16 file di persone; ogni
fila è composta da tre
persone in più della
precedente.
Se nella prima fila ci
sono 5 persone,
nell’ultima quante ce ne
saranno?
5
5 + 3
5 + 2∙3
5 + 3∙3
5 + 4∙3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5 + 5∙3
5 + (n-1)∙3n
5 + 15∙3 50

7. 7
6
Il contenuto di un recipiente raddoppia ad ogni minuto
e dopo un’ora è pieno.
Se si inizia a riempire alle 9 del mattino, a che ora il
recipiente sarà riempito a metà?

8. 8
7
4
2⋅4
2⋅2⋅4
2⋅2⋅2⋅4
2⋅2⋅2⋅2⋅4
20⋅4=4
21⋅4=8
24⋅4=64
22⋅4=16
23⋅4=32
124
1’
2’
3’
4’
5’
4+8+16+32+64 =
Un fabbro in un minuto dà 4 martellate, ad ogni minuto
raddoppia il numero di martellate. In cinque minuti
quante martellate darà.

9. 9
è un caso particolare di
Somma dei primi termini di una progressione geometrica
moltiplichiamo per
otteniamo: ossia:
Se segue che
in particolare
per esempio
sarà uguale a

10. 10
8
Una famiglia è composta da un figlio, dai
genitori e da un nonno.
Ogni genitore ha il doppio dell’età del figlio.
Posto che la somma delle rispettive età è di 180 anni e
che i genitori sono tra loro coetani, quanti anni ha il
figlio?
età figlio
età genitori
età nonno

11. 11
9
In un ufficio di 50 persone si
consumano giornalmente 5 penne.
In agosto 30 dipendenti sono in ferie.
Quante penne verranno consumate in
quel mese, ogni 5 giorni?

12. 12
10
Qual è il maggior numero possibile di abitanti di
Podunk?
Nella città di Podunk si verificano i seguenti
fatti:
519?
1 2 3 4
.....
517
516 capelli
518
517 capelli
519
518 capelli
518 abitanti

13. 13
11
Ieri Anna si è pesata con lo zainetto in
spalla: la bilancia segnava 45 kg. Oggi
pesa 53 kg, ma il suo zainetto è tre volte
più pesante di quello del giorno prima.
Quanto pesa Anna?
peso Anna
peso zainetto di ieri
peso ieri
peso oggi

14. 14
12
Jacob mette in un sacchetto i primi nove
numeri della tombola (da 1 a 9). Ne estrae
quattro in un colpo solo e tra questi c’è l’8.
Con questi quattro numeri, permutando
l’ordine delle cifre, Jacob si diverte a costruire
tutti i numeri possibili di quattro cifre. Poi li
somma e ottiene 93324.
Quali sono, in ordine crescente, i quattro numeri che Jacob aveva
estratto?
a, b, c, 8 quattro numeri un possibile numero
un altro possibile numero
con 2, 5, 7, 8 possiamo avere:
5872 = 5⋅103+8⋅102+7⋅10+2
oppure
7582 = 7⋅103+5⋅102+8⋅10+2
per esempio
Nel testo c’è scritto che Jacob costruisce tutti i numeri possibili di
quattro cifre.
Quanti sono? 4 3 2 1 4⋅3⋅2⋅1 = 24 numeri

15. 15
12
4 3 2 1 4⋅3⋅2⋅1 = 24 possibilità
.....
tra le 24 possibilità,
6 sono quelle che
hanno “a” come
prima cifra
analogamente, tra le 24
possibilità, 6 sono
quelle che hanno “b”
come prima cifra
Sommando i 24 numeri:
analogamente:
• 6 sono quelle che hanno “c” come
prima cifra;
• 6 sono quelle che hanno “8” come
prima cifra;

16. 16
12
Sommando i 24 numeri:
Ragionando nello stesso modo avremo 6 numeri che hanno “a” come
seconda cifra, 6 numeri che hanno “b” come seconda cifra, ...
Ancora: 6 numeri che hanno “a” come terza cifra, 6 numeri che hanno “b”
come terza cifra, ...
Infine: 6 numeri che hanno “a” come ultima cifra, 6 numeri che hanno “b”
come ultima cifra, ...

17. 17
12
La somma, quindi, si potrà
scrivere:
ossia
:
cioè
:

18. 18
12
Quindi:

19. 19
13
In via Pitagora i numeri civici delle case partono
dal numero1, quello della prima casa. Un bel
giorno, una di queste viene abbattuta per
ordinanza del sindaco, perché abusiva.
La media aritmetica dei numeri civici delle case, in
questo modo, aumenta ed è ora 95,25.
Qual era il numero civico della casa abbattuta?
E’ necessario determinare la somma 1 + 2 + 3 + ...
+ n

20. 20
13
Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855) è stato un
matematico, astronomo e fisico tedesco, che ha fornito contributi determinanti ad analisi
matematica, teoria dei numeri, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, magnetismo e
ottica.
Talvolta definito "il principe dei matematici" (princeps mathematicorum) come Eulero o "il più
grande matematico della modernità" (in opposizione ad Archimede, considerato dallo stesso Gauss
come il maggiore fra i matematici dell'"antichità"), è annoverato fra i più importanti matematici
della storia avendo contribuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche
e naturali.
Un aneddoto racconta che quando andava a scuola da bambino all'età di nove anni, l'insegnante,
per mettere a tacere l'allievo, gli ordinò di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo,
sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede la risposta esatta, essendosi accorto che mettendo
in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna
dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100x101 e divise per 2, ottenendo
facilmente il risultato

21. 21
13
+

22. 22
13
analogament
e:
pertanto la
media:

23. 23
13
Se la media dopo l’abbattimento della casa è 95,25
allora
da cui
>>
supponiamo che il numero di case originario
sia 189
<95,25
Indicato con x il numero della casa
abbattuta:
poich
é
segu
e

24. 24
1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 6 8
3
4
5 10 15 20
6
7
8
Una volta completata,
calcolate la somma di
tutti i numeri compresi
nella riga e nella
colonna dell’8.
Guido conosce molto bene le tabelline. Ieri ha
impostato una tabella come questa.

25. 25
14
1
1
3
3
7
1 8
4 8 1
2 4
4
1 57
4

26. 26
14
1
1
3
3
7
1 8
4 8 1
2 4
4
1 57
4
4 13
0
2
4
4
1 4
2 2

27. 27
15
Ogni ora c’è un treno che parte da Milano verso
Mathville e uno da Mathville, direzione Milano.
Il viaggio, in entrambe le direzioni, dura 5 ore.
Quanti treni che vanno da Mathville verso Milano (direzione opposta)
vedranno Carla e Milena?
Ma Mi
alla partenza
12345
Ma Mi
1° ora
123456
Ma Mi
2° ora
234567
Ma Mi

28. 28
bonus
Trovare un numero di tre cifre che sia uguale al
doppio del quadrato della somma delle sue cifre
aumentato della somma delle sue cifre.
Già sappiamo che un numero si può scrivere in forma polinomiale con potenze di 10, per esempio:
872 = 8⋅102+7⋅10+2 oppure 7502 = 7⋅103+5⋅102+8⋅10+2
Quindi un numero di tre che soddisfi ai requisiti richiesti sarà
del tipo:
da
cui:

29. 29
bonus
ci dice due cose:
✴ a+b+c è multiplo di 3;
✴ è un quadrato
perfetto; D’altronde si può osservare anche
che:
✴
;
L’uguaglianza

30. 30
bonus
In definitiva abbiamo scoperto che, le tre cifre a, b e c
dovranno soddisfare le seguenti proprietà:
1. a+b+c è multiplo di 3;
2. è un quadrato perfetto;
3.
;
Tenendo presente che le cifre a, b e c vanno dallo 0 al 9, segue che
(a+b+c) va da 1 a 27 e, a causa della prima proprietà, potrà essere uguale a
3, 6, 9, 12, 18, 21, 24 e 27.
a+b+c =
3
3.
no: il numero deve avere tre cifre
a+b+c =
6
3.
no: il numero deve avere tre cifre
a+b+c =
9
3.
si: soddisfa la 2.
a+b+c =
12
no: non soddisfa la 2.
3.
...