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Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Giovanni ha appena preso la patente e suo padre gli presta
la macchina per recarsi con gli amici in vacanza. (Il padre
ha deciso di premiarlo perché ha sempre preso 10 nelle
verifiche di matematica). Però gli da un avvertimento:
-Mi raccomando, rispetta i limiti di velocità!
Giovanni parte con i suoi amici e notando un cartello che
indica di non superare i 50 km/ora, decide di andare a 45
km/ora per rispettare l’obbligo del padre.
Dopo un’ora, l’allegra comitiva ha percorso 45 km, dopo
un’ora e mezza 67,5 km, dopo due ore 90 km, dopo due ore
e mezza 112,5 km, dopo tre ore 135 km.
Dopo 4 ore finisce la benzina e gli amici decidono di
continuare il viaggio facendo auto stop.
Costruisci una tabella fatta di due colonne e 11 righe.
La prima colonna rappresenta il tempo che trascorre.
La seconda colonna rappresenta lo spazio percorso
dall’auto di Giovanni.
Tempo (ore)
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135 km

Quale calcolo hai svolto per ottenere i valori della
colonna della distanza percorsa?

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alla distanza percorsa?

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Osserva i valori del tempo e i corrispondenti
valori della distanza.
Se, in ciascuna riga, divido lo spazio
percorso per il tempo trascorso, quale
numero ottengo?

4 ore

180 km
225 km

6 ore

270 km

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45 km
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135 km

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(ore)
1 ora
2 ore
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315 km

8 ore

360 km

9 ore

405 km

10 ore

450 km

Rapporto
Spazio/Tempo
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Tempo
(ore)

Spazio
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Rapporto
Spazio/Tempo

1 ora

45 km

45/1=45

2 ore

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Il rapporto fra spazio e tempo è costante e prende il nome di
COSTANTE DI PROPORZIONALITA’
Definizioni:
Tra spazio e tempo c’è un legame che si chiama
proporzionalità diretta.
La proporzionalità diretta significa che all’aumentare di
una grandezza aumenta anche l’altra però mantenendo
costante il rapporto tra le grandezze.
Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica
allora anche l’altra raddoppia, triplica o quadruplica.
doppio

quadruplo

triplo

TEMPO

1

2

3

4

DISTANZA

45

90

135

180
Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per
completare la prima tabella.
Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che
lega spazio percorso e tempo trascorso?
Spazio = ?
Spazio = 45 x Tempo
Spazio = 45 x Tempo
In generale, il legame di proporzionalità diretta si scrive:

Y=kxX
dove k è la costante di proporzionalità diretta
Definizioni:
È chiaro che lo spazio percorso assume valori diversi
a seconda del valore assunto dal tempo.
Il valore dello spazio dipende dal valore del tempo.
Spazio e tempo prendono perciò il nome di grandezze
variabili dipendenti.
Marco legge un volantino che indica un’offerta che
riguarda la sua marca preferita di merendine. Il
prezzo è molto conveniente e Marco decide di fare
una grande scorta di merendine. Si reca al market e
inizia a riempire il carrello del suo cibo preferito.
Poi però si ferma, perché ormai il carrello non può
contenerne altre e peraltro Marco dubita che sarà in
grado di pagare l’importo totale della merce
accumulata. Così inizia a fare un po’ di conti:
-Allora… un pacchetto di merendine costa 1,05 euro
… Quindi due pacchetti costano … 2 x 1,05 … quanto
fa? Ah si! 2,10 euro! E tre?
Costruisci una tabella di due colonne e 11 righe in cui la prima
colonna rappresenta il numero di pacchetti di merendine e la
seconda colonna il prezzo corrispondente al numero di
confezioni.
N° di confezioni Spesa (€)
1 confezione
2 confezioni
3 confezioni
4 confezioni
5 confezioni
6 confezioni
7 confezioni
8 confezioni
9 confezioni
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1,05 €
Aggiungi un’altra colonna in cui calcolare
il rapporto tra Spesa e Numero di confezioni.
N° di
confezioni

Spesa (€)

1 confezione

1,05 €

2 confezioni
3 confezioni
4 confezioni
5 confezioni
6 confezioni
7 confezioni
8 confezioni
9 confezioni

Rapporto
N°
conf/Spesa
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Si tratta per caso di grandezze direttamente proporzionali?
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Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Tra una settimana è il compleanno di Maria e i suoi genitori prepareranno
una festa a cui parteciperanno tutti i suoi compagni di classe. Alcuni suoi
amici decidono di acquistare insieme il regalo da offrire a Maria. Si tratta di
un bellissimo Tablet in offerta speciale che costa 158 €. Gli amici sono
quattro e forse le loro paghette non sono sufficienti per acquistare il regalo.
Allora Giorgio ha un’idea:
-Coinvolgiamo anche gli altri compagni, così più siamo e meno ci costerà il
regalo a testa!
-E si! - dice Franco. - Però io non voglio farlo con le ragazze. E poi, ho già
speso parte della paghetta e non mi restano che 16,20 € …
Aiuta Giorgio e i suoi amici a capire con quanti altri compagni
devono fare il regalo per rientrare nella disponibilità delle loro
paghette.
N° compagni

Costruisci una tabella di due colonne,
dove la prima rappresenta
il numero di compagni
e la seconda
la quota spettante a ciascuno.
Che calcolo devi fare
Per completare la tabella?
Ricorda che il tablet costa 158 €.

Quota (€)
Osserva il variare dei valori della colonna rappresentante il numero
dei compagni e di quelli che riguardano le quote. Cosa noti?

N° compagni

Quota (€)

1

158 €

2

79 €

3

52,67 €

4

39,50 €

5

31,60 €

6

26,34 €

7

22,58 €

8

19,75 €

9

17,56 €

10

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quadruplo

triplo

doppio

N° compagni

1

2

3

4

Quota

158

79

52,67

39,50

la metà
Un terzo
Un quarto

Tra n° di compagni e quota c’è un legame che si chiama
proporzionalità inversa.
La proporzionalità inversa significa che all’aumentare di
una grandezza l’altra diminuisce.
Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica
allora l’altra si dimezza, diventa un terzo, un quarto.
Ripercorrendo i ragionamenti che ti hanno permesso di
costruire la tabella, indica quale grandezza che hai utilizzato
nei calcoli rimane costante. Aggiungi una colonna alla tabella
in cui calcolare il prodotto tra n° di compagni e quota
corrispondente.
N° compagni

Quota (€)

1

158 €

2

79 €

3

52,67 €

4

39,50 €

5

31,60 €

6

26,34 €

7

22,58 €

8

19,75 €

Prodotto
N° comp *
quota
La grandezza che rimane costante è il prezzo del tablet
che si ottiene moltiplicando n° di persone e quota
corrispondente.
La proporzionalità inversa significa che all’aumentare
di una grandezza l’altra diminuisce , mantenendo
costante il prodotto tra le grandezze, ossia:
Quota x n° compagni = 158
Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per
completare la prima tabella.
Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che
lega quota e numero di compagni?
Quota = ?
Quota
=

158
N° compagni

In generale, il legame di proporzionalità inversa si scrive:

Y=

K
X

dove k è la costante di proporzionalità
inversa
Leggi i seguenti racconti e costruisci per ciascuno di essi una
tabella. Indica poi se si tratta di proporzionalità diretta o inversa.
Barbara deve preparare una torta per il compleanno. La ricetta indica che
servono 200 grammi di farina, 150 grammi di zucchero, 4 uova, un bicchiere
di latte e una bustina di lievito. Tale ricetta è per 6 persone. Barbara ha
invitato tutti i suoi 43 amici, ma alcuni di loro non hanno ancora
confermato. Non vorrebbe sprecare la torta facendone una troppo grande.
Peraltro si rende conto di non avere uova a casa e pertanto deve uscire per
comprarne. Aiuta Barbara a capire quante uova deve comprare a secondo
del numero di partecipanti alla festa di compleanno.
Un contadino deve recintare diversi suoi poderi che sono tutti quadrati.
Sappiamo che il primo ha un lato di lunghezza 10 m, il secondo 13 m, il terzo
20 m e l’ultimo 32 m. Quanta recinzione deve comprare il contadino per
ciascuno dei suoi poderi? Generalizza il ragionamento costruendo una
tabella.
In una classe sono seduti ai loro posti 10 alunni. In realtà gli alunni sono 21
e oggi mancano 9 studenti. La classe ha una superficie di 45 mq. Calcola
quanta superficie è a disposizione di ciascuno alunno. Generalizza il
ragionamento considerando un numero di alunni che varia giorno per
giorno in base al numero degli assenti.

Federico ha compiuto da poco gli anni. Sua mamma ha realizzato una
torta per 20 persone perché il figlio le aveva detto che avrebbe invitato al
più 16 compagni. Federico però ha invitato i suoi amici tramite Facebook
scrivendo il seguente messaggio sulla sua bacheca:
“Domani è il mio compleanno, siete tutti invitati! Venite a casa mia a
partire dalla 17.00. Vi aspetto tutti!”
Secondo te, quanto grandi saranno le fette di torta che spetteranno a
ciascuno? Generalizza il tuo ragionamento a secondo del numero di
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  • 2. Giovanni ha appena preso la patente e suo padre gli presta la macchina per recarsi con gli amici in vacanza. (Il padre ha deciso di premiarlo perché ha sempre preso 10 nelle verifiche di matematica). Però gli da un avvertimento: -Mi raccomando, rispetta i limiti di velocità! Giovanni parte con i suoi amici e notando un cartello che indica di non superare i 50 km/ora, decide di andare a 45 km/ora per rispettare l’obbligo del padre. Dopo un’ora, l’allegra comitiva ha percorso 45 km, dopo un’ora e mezza 67,5 km, dopo due ore 90 km, dopo due ore e mezza 112,5 km, dopo tre ore 135 km. Dopo 4 ore finisce la benzina e gli amici decidono di continuare il viaggio facendo auto stop.
  • 3. Costruisci una tabella fatta di due colonne e 11 righe. La prima colonna rappresenta il tempo che trascorre. La seconda colonna rappresenta lo spazio percorso dall’auto di Giovanni. Tempo (ore) 1 ora 2 ore 3 ore 4 ore 5 ore 6 ore 7 ore 8 ore 9 ore 10 ore Spazio (km) 45 km 90 km 135 km
  • 4. Tempo (ore) Spazio (km) 1 ora 45 km 2 ore 90 km 3 ore 135 km Quale calcolo hai svolto per ottenere i valori della colonna della distanza percorsa? 4 ore 180 km 5 ore 225 km All’aumentare del tempo trascorso cosa succede alla distanza percorsa? 6 ore 270 km 7 ore 315 km 8 ore 360 km 9 ore 405 km 10 ore 450 km Osserva i valori del tempo e i corrispondenti valori della distanza.
  • 5. Se, in ciascuna riga, divido lo spazio percorso per il tempo trascorso, quale numero ottengo? 4 ore 180 km 225 km 6 ore 270 km 7 ore Secondo te, cosa indica? Spazio (km) 45 km 90 km 135 km 5 ore Sarà sempre lo stesso? Tempo (ore) 1 ora 2 ore 3 ore 315 km 8 ore 360 km 9 ore 405 km 10 ore 450 km Rapporto Spazio/Tempo 45/1=45 90/2= 135/3=
  • 6. Tempo (ore) Spazio (km) Rapporto Spazio/Tempo 1 ora 45 km 45/1=45 2 ore 90 km 90/2=45 3 ore 135 km 135/3=45 4 ore 180 km 180/4=45 5 ore 225 km 225/5=45 6 ore 270 km 270/6=45 7 ore 315 km 315/7=45 8 ore 360 km 360/8=45 9 ore 405 km 405/9=45 10 ore 450 km 450/10=45 Il rapporto fra spazio e tempo è costante e prende il nome di COSTANTE DI PROPORZIONALITA’
  • 7. Definizioni: Tra spazio e tempo c’è un legame che si chiama proporzionalità diretta. La proporzionalità diretta significa che all’aumentare di una grandezza aumenta anche l’altra però mantenendo costante il rapporto tra le grandezze. Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica allora anche l’altra raddoppia, triplica o quadruplica. doppio quadruplo triplo TEMPO 1 2 3 4 DISTANZA 45 90 135 180
  • 8. Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per completare la prima tabella. Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che lega spazio percorso e tempo trascorso? Spazio = ?
  • 9. Spazio = 45 x Tempo
  • 10. Spazio = 45 x Tempo In generale, il legame di proporzionalità diretta si scrive: Y=kxX dove k è la costante di proporzionalità diretta
  • 11. Definizioni: È chiaro che lo spazio percorso assume valori diversi a seconda del valore assunto dal tempo. Il valore dello spazio dipende dal valore del tempo. Spazio e tempo prendono perciò il nome di grandezze variabili dipendenti.
  • 12. Marco legge un volantino che indica un’offerta che riguarda la sua marca preferita di merendine. Il prezzo è molto conveniente e Marco decide di fare una grande scorta di merendine. Si reca al market e inizia a riempire il carrello del suo cibo preferito. Poi però si ferma, perché ormai il carrello non può contenerne altre e peraltro Marco dubita che sarà in grado di pagare l’importo totale della merce accumulata. Così inizia a fare un po’ di conti: -Allora… un pacchetto di merendine costa 1,05 euro … Quindi due pacchetti costano … 2 x 1,05 … quanto fa? Ah si! 2,10 euro! E tre?
  • 13. Costruisci una tabella di due colonne e 11 righe in cui la prima colonna rappresenta il numero di pacchetti di merendine e la seconda colonna il prezzo corrispondente al numero di confezioni. N° di confezioni Spesa (€) 1 confezione 2 confezioni 3 confezioni 4 confezioni 5 confezioni 6 confezioni 7 confezioni 8 confezioni 9 confezioni 10 confezioni 1,05 €
  • 14. Aggiungi un’altra colonna in cui calcolare il rapporto tra Spesa e Numero di confezioni. N° di confezioni Spesa (€) 1 confezione 1,05 € 2 confezioni 3 confezioni 4 confezioni 5 confezioni 6 confezioni 7 confezioni 8 confezioni 9 confezioni Rapporto N° conf/Spesa
  • 15. Cosa puoi osservare? Si tratta per caso di grandezze direttamente proporzionali? Perché?
  • 17. Tra una settimana è il compleanno di Maria e i suoi genitori prepareranno una festa a cui parteciperanno tutti i suoi compagni di classe. Alcuni suoi amici decidono di acquistare insieme il regalo da offrire a Maria. Si tratta di un bellissimo Tablet in offerta speciale che costa 158 €. Gli amici sono quattro e forse le loro paghette non sono sufficienti per acquistare il regalo. Allora Giorgio ha un’idea: -Coinvolgiamo anche gli altri compagni, così più siamo e meno ci costerà il regalo a testa! -E si! - dice Franco. - Però io non voglio farlo con le ragazze. E poi, ho già speso parte della paghetta e non mi restano che 16,20 € …
  • 18. Aiuta Giorgio e i suoi amici a capire con quanti altri compagni devono fare il regalo per rientrare nella disponibilità delle loro paghette. N° compagni Costruisci una tabella di due colonne, dove la prima rappresenta il numero di compagni e la seconda la quota spettante a ciascuno. Che calcolo devi fare Per completare la tabella? Ricorda che il tablet costa 158 €. Quota (€)
  • 19. Osserva il variare dei valori della colonna rappresentante il numero dei compagni e di quelli che riguardano le quote. Cosa noti? N° compagni Quota (€) 1 158 € 2 79 € 3 52,67 € 4 39,50 € 5 31,60 € 6 26,34 € 7 22,58 € 8 19,75 € 9 17,56 € 10 15,80 €
  • 20. quadruplo triplo doppio N° compagni 1 2 3 4 Quota 158 79 52,67 39,50 la metà Un terzo Un quarto Tra n° di compagni e quota c’è un legame che si chiama proporzionalità inversa. La proporzionalità inversa significa che all’aumentare di una grandezza l’altra diminuisce. Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica allora l’altra si dimezza, diventa un terzo, un quarto.
  • 21. Ripercorrendo i ragionamenti che ti hanno permesso di costruire la tabella, indica quale grandezza che hai utilizzato nei calcoli rimane costante. Aggiungi una colonna alla tabella in cui calcolare il prodotto tra n° di compagni e quota corrispondente. N° compagni Quota (€) 1 158 € 2 79 € 3 52,67 € 4 39,50 € 5 31,60 € 6 26,34 € 7 22,58 € 8 19,75 € Prodotto N° comp * quota
  • 22. La grandezza che rimane costante è il prezzo del tablet che si ottiene moltiplicando n° di persone e quota corrispondente. La proporzionalità inversa significa che all’aumentare di una grandezza l’altra diminuisce , mantenendo costante il prodotto tra le grandezze, ossia: Quota x n° compagni = 158
  • 23. Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per completare la prima tabella. Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che lega quota e numero di compagni? Quota = ?
  • 24. Quota = 158 N° compagni In generale, il legame di proporzionalità inversa si scrive: Y= K X dove k è la costante di proporzionalità inversa
  • 25. Leggi i seguenti racconti e costruisci per ciascuno di essi una tabella. Indica poi se si tratta di proporzionalità diretta o inversa. Barbara deve preparare una torta per il compleanno. La ricetta indica che servono 200 grammi di farina, 150 grammi di zucchero, 4 uova, un bicchiere di latte e una bustina di lievito. Tale ricetta è per 6 persone. Barbara ha invitato tutti i suoi 43 amici, ma alcuni di loro non hanno ancora confermato. Non vorrebbe sprecare la torta facendone una troppo grande. Peraltro si rende conto di non avere uova a casa e pertanto deve uscire per comprarne. Aiuta Barbara a capire quante uova deve comprare a secondo del numero di partecipanti alla festa di compleanno. Un contadino deve recintare diversi suoi poderi che sono tutti quadrati. Sappiamo che il primo ha un lato di lunghezza 10 m, il secondo 13 m, il terzo 20 m e l’ultimo 32 m. Quanta recinzione deve comprare il contadino per ciascuno dei suoi poderi? Generalizza il ragionamento costruendo una tabella.
  • 26. In una classe sono seduti ai loro posti 10 alunni. In realtà gli alunni sono 21 e oggi mancano 9 studenti. La classe ha una superficie di 45 mq. Calcola quanta superficie è a disposizione di ciascuno alunno. Generalizza il ragionamento considerando un numero di alunni che varia giorno per giorno in base al numero degli assenti. Federico ha compiuto da poco gli anni. Sua mamma ha realizzato una torta per 20 persone perché il figlio le aveva detto che avrebbe invitato al più 16 compagni. Federico però ha invitato i suoi amici tramite Facebook scrivendo il seguente messaggio sulla sua bacheca: “Domani è il mio compleanno, siete tutti invitati! Venite a casa mia a partire dalla 17.00. Vi aspetto tutti!” Secondo te, quanto grandi saranno le fette di torta che spetteranno a ciascuno? Generalizza il tuo ragionamento a secondo del numero di persone che si presenteranno.