1. Теорема Куммера
m+n
= Cm
m+n
m

2. Теорема Куммера
m+n
= Cm
m+n
m
(m + n)!
=
m!n!

3. Теорема Куммера
m+n
= Cm
m+n
m
(m + n)!
=
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .

4. Теорема Куммера
m+n
= Cm
m+n
m
(m + n)!
=
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m
и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим
их в столбик ; αp (m, n) равно количеству переносов из
разряда в разряд при этом сложении.

5. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .

6. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

7. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)

8. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

9. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
p, 2p, 3p, . . . ,

10. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
k
p, 2p, 3p, . . . , p
p

11. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
k k
Имеется чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p
p p

12. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
k k
Имеется чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p
p p
k k
Имеется 2
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
p p

13. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
k k
Имеется чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p
p p
k k
Имеется 2
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
p p
k k
Имеется 3
чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3
p p

14. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
k k
Имеется чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p
p p
k k
Имеется 2
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
p p
k k
Имеется 3
чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3
p p
.
.
.

15. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
k k
Имеется чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p
p p
k k
Имеется 2
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
p p
k k
Имеется 3
чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3
p p
.
.
.
k k k
βp (k) = + 2 + 3 + ...
p p p

16. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .

17. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

18. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

19. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)

20. Теорема Куммера
m+n (m + n)!
=
m m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n m+n m+n
= + 2
+ + ...
p p p3
m m m
− − 2 − 3 − ...
p p p
n n n
− − 2 − 3 − ...
p p p

21. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n m+n m+n
= + 2
+ + ...
p p p3
m m m
− − 2 − 3 − ...
p p p
n n n
− − 2 − 3 − ...
p p p

22. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n m+n m+n
= + 2
+ + ...
p p p3
m m m
− − 2 − 3 − ...
p p p
n n n
− − 2 − 3 − ...
p p p
m+n m n m+n m n
= − − + − 2 − 2 +
p p p p2 p p
m+n m n
+ 3
− 3 − 3 + ...
p p p

23. Теорема Куммера
m+n m n 1, если есть перенос
k
− k − =
p p pk 0, если нет переноса

24. Теорема Куммера
m+n m n 1, если есть перенос
k
− k − =
p p pk 0, если нет переноса
r j
m= j=0 mj p = mr ... mk mk−1 ... m0
r j
n= j=0 nj p = nr ... nk nk−1 ... n0
r j
m+n = j=0 j p = r ... k k−1 ... 0
m/p k = mr ... mk
n/p k = nr ... nk
(m + n)/p k = r ... k

25. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n m+n m+n
= + 2
+ + ...
p p p3
m m m
− − 2 − 3 − ...
p p p
n n n
− − 2 − 3 − ...
p p p

26. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n m+n m+n
= + 2
+ + ...
p p p3
m m m
− − 2 − 3 − ...
p p p
n n n
− − 2 − 3 − ...
p p p
m+n m n m+n m n
= − − + − 2 − 2 +
p p p p2 p p
m+n m n
+ 3
− 3 − 3 + ...
p p p

27. Следствие теоремы Куммера

28. Следствие теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным

29. Следствие теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что
a+b
= 2d + 1.
a

30. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0

31. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0

32. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0

33. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...

34. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a
c = a ∧ b =⇒ нечетн.
c

35. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a b
c = a ∧ b =⇒ нечетн. & нечетн.
c c

36. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a b
c = a ∧ b =⇒ нечетн. & нечетн. &
c c
(a − c) + (b − c)
& нечетн.
a−c

37. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a b
c = a ∧ b =⇒ нечетн. & нечетн. &
c c
(a − c) + (b − c)
& нечетн.
a−c

38. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a b
c = a ∧ b ⇐= нечетн. & нечетн. &
c c
(a − c) + (b − c)
& нечетн.
a−c

39. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a b
c = a ∧ b ⇐⇒ нечетн. & нечетн. &
c c
(a − c) + (b − c)
& нечетн.
a−c

40. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a b
c = a ∧ b ⇐⇒ нечетн. & нечетн. &
c c
(a − c) + (b − c)
& нечетн.
a−c

41. Поразрядное умножение
∞ ∞ ∞
k k
a= ak 2 b= bk 2 c= ck 2k
k=0 k=0 k=0
a ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ...
b ... 0 ... 1 ... 0 ... 1 ...
c ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ...
a−c ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ...
b−c ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ...
a b
c = a ∧ b ⇐⇒ нечетн. & нечетн. &
c c
(a − c) + (b − c)
& нечетн.
a−c

42. Биномиальные коэффициенты
m m m m
(1 + u)m = u + u m−1 + u m−2 +
m m−1 m−2
m n m m
+ ··· + u + ··· + u+
n 1 0
m m m
2m = + ··· + + ··· +
0 n m
m
c= ⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pu n+1 + cu n + q &
n
c < u & q < u n−1 & u > 2m }