ε N論法による数列の極限の定義を解説します.　また,1/nがn→∞で0に収束することも証明します.

1. 𝜺 − 𝑵論法による数列の極限
2016 February 01 (Monday) in Hanoi
Hanpen Robot

2. ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑁, 𝑎 𝑛 − 𝛼 < 𝜀
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝛼を以下で定義します
𝜺 − 𝑵論法による数列の極限の定義
↑は一見，意味不明に見えますね.

3. ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑁, 𝑎 𝑛 − 𝛼 < 𝜀
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝛼を以下で定義します
𝜺 − 𝑵論法による数列の極限の定義
しかし， ∀𝑛 > 𝑁を展開してみると
分かりやすくなります

4. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝛼を以下で定義します
∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ,
𝑎 𝑁 − 𝛼 < 𝜀, 𝑎 𝑁+1 − 𝛼 < 𝜀, … (無限に続く)
つまり， 𝑵番目以降の項は， 𝒂 𝑵 − 𝜶 < 𝜺
を満たすということです
∀𝑛 > 𝑁を書きなおしたversion

5. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝛼を以下で定義します
∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ,
𝑎 𝑁 − 𝛼 < 𝜀, 𝑎 𝑁+1 − 𝛼 < 𝜀, … (無限に続く)
では，上の式を日本語に翻訳してみます
∀𝑛 > 𝑁を書きなおしたversion

6. 日本語に翻訳してみる
任意の誤差𝜺 > 𝟎が与えられた時，ある番号𝑵が
存在して， 𝑵以降の全ての項𝒂 𝑵, 𝒂 𝑵+𝟏, 𝒂 𝑵+𝟐,…が
𝑎 𝑁 − 𝛼 < 𝜀, 𝑎 𝑁+1 − 𝛼 < 𝜀, 𝑎 𝑁+2 − 𝛼 < 𝜀 …
を満たすときに， lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝛼と定義する.

7. 疑問
任意の誤差𝜺 > 𝟎が与えられた時， 𝑎 𝑁 − 𝛼 < 𝜀を
満たす番号𝑵が存在する時に， lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝛼と定義する.
つまり，
∀𝜺 > 𝟎, ∃𝑵 ∈ ℕ, 𝒂 𝑵 − 𝜶 < 𝜺 (← よくない定義)
何故，上の定義ではだめなのか？

8. 理由はとてもシンプルです.
先ほどの定義の場合，𝑐 𝑛 = −1 𝑛
は−1と1に収束します
lim
𝑛→∞
−1 𝑛
= −1,1
つまり，収束の一意性が成り立ちません.
これは， 𝑁以降の項𝑎 𝑁+1, 𝑎 𝑁+2,…が
𝑎 𝑁+1 − 𝛼 ≥ 𝜀, 𝑎 𝑁+2 − 𝛼 ≥ 𝜀, …でも構わないとした所
が問題です.

9. では， lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0を証明してみます
証明:
1
𝑛
− 0 =
1
𝑛
=
1
𝑛
< 𝜀,
1
𝑛
< 𝜀 ⟺
1
𝜀
< 𝑛
𝜀 > 0とする
それゆえ，
1
𝜀
< 𝑁を満たす自然数𝑁をとれば良い.

10. さらに，以下が成立する.
𝜀 >
1
𝑁
>
1
𝑁 + 1
>
1
𝑁 + 2
>
1
𝑁 + 3
> ⋯
∵
1
𝑁
は𝑁に関して単調減少だから
∴ lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 証明終