1. 共分散と相関係数
村上 始
林 香澄
住山 舞依

2. 共分散とは！？

3. ◎ 分散の復習◎
分散とは（前回の授業より）
→ 偏差を２乗してそれらの平均を散布度の
指標としたもの
一変数のものをとりあげていた

4. ◎ 共分散◎

5. これを例題を使って説明すると・・・
「恋愛感情」「孤独感」の２種類の変数を測定してみる
i というのは何番目の被験者かをあらわす添え字

6. まず、それぞれの平均値を出すと・・・
恋愛感情→（１０＋２０＋３０＋４０＋５０
） / ５＝３０
孤独感→（２０ + １０ + ４０ + ３０ + ５０） /
５＝３０
次にこれらを使って平均からの偏差を求めて
みよう！

9. そして共分散は偏差の積の平均なので
（２００＋２００＋０＋０＋４００） / ５
＝１６０
となります！！

10. 共分散は散布図で表す場合も便利です！
偏差の積を求めるので積がプラスが多いと
プラスの勢力が打ち勝って共分散もプラ
スになる
→ 散布図は右上がり

11. 2
1
dat[,2]
0
−1
−2
−3 −2 −1 0 1 2 3
dat[,1]

12. 反対に偏差の積がマイナスが多いとマイナ
スの勢力が打ち勝って共分散もマイナス
になる
→ 散布図は右下がり

13. 3
2
1
dat[,2]
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
dat[,1]

14. つまり・・・！！
共分散の値の符号によって、散布図
が右上がりか右下がりか分かる！
また、
偏差の絶対値が大きいほど（平均か
ら離れた値であるほど）偏差の積の
絶対値は大きくなるので共分散の絶
対値は大きくなる

15. これは言い換えると、
共分散の絶対値が大きいほど右上
がり・右下がりの傾向が強い！！

16. なぜ共分散が必要なのか？
たとえば、「子供の年齢と体重と
の関係を表したい」と思ったとき
にその二つの変数の関係を表す指
標として共分散をつかうと便利！
！

17. 相関係数
２班 はやし

18. 1. 相関係数とは？
共分散を測定単位に
依存しない形に表したもの！

19. 2. 相関係数の式
S xy
rxy =
SxS y

20. もっと簡単に相関を説明すると
、
• データを標準化して（データを測定単位
に依存しない形に変換して）から、標準
化した変数の偏差同士で共分散式を作っ
ても測定単位に依存しない形にできる！
！

21. Sxy=160 ÷(14.14 ×14.14)=0.80

22. 3. 相関係数と散布図
r=0.0 r=0.2 r=0.4
r=0.6 r=0.8 r=1.0

23. 3. 相関係数の値と強さ

24. 相関係数の性質

25. 相関係数の性質
• 1, 外れ値の影響
• 2, 擬似相関
• 3, データの層別化
• 4, 選抜効果
• 5, 相関関係と因果関係

26. 相関係数の性質
外れ値の影響

27. 外れ値の影響 外れ値
• 外れ値 ( 右上の点
) を含めた相関係
数：
• r = 0.59
• 外れ値を含めない
相関係数：
• r = 0.07
• → 散布図を描こう
！

28. 相関係数の性質
擬似相関

29. 擬似相関
• ２つの変数 X と Y の間に
本当は相関がないにもか
かわらず、第３の変数 Z
の存在によりあらわれる
、見かけ上の相関のこと
。
• たとえば、アイスの売り
上げ (x) とサンダルの売り
上げ (y) の間に相関があっ
たからといってその２つ
の間には本当に相関関係
があるとみなすのではな
く、気温の上昇 (z) によっ
てあらわれた相関と考え
られる。

30. 相関係数の性質
データの層別化

31. データの層別化
• 全体の相関係数： 0.48
• ○ の相関係数： -0.77
• ■ の相関係数： -0.63
• → 相関係数を解釈すると
きにはどのような集団に
基づいて計算されたもの
なのかを考慮する必要が
ある
• 「層別相関」：○や■のよ
うに集団ごとに計算した
相関係数のこと

32. 相関係数の性質
選抜効果

33. 選抜効果 / 切断
効果
• 集団の一部だけで相関係
数を計算すると、相関係
数が小さくなる傾向にあ
ること。
• たとえば、大学試験の成
績と入学後の成績の相関
を計算した場合。
• 合格者（成績の良かった
人）だけで相関係数を計
算すると相関は低くなっ
てしまう。
• 不合格者（成績の悪かっ
た人）も含めて相関係数
を計算しなくてはいけな
い。

34. 相関係数の性質
相関関係と因果関係

35. 相関関係と因果関係の違い
• 相関関係：変数 A と B が関係がある。共変関係
。
• 因果関係：原因と結果の関係。 A （原因）が起
こったから B （結果）
• → 相関関係が強いということは因果関係をしめ
すということではない。つまり、変数 A と変数
B の相関係数が 0.7 であったとしても、「変数 A
の値が上がるから変数 B の値も上がる」という
解釈をしてはいけない。
• 正しくは「変数 A の値が低いとき変数 B の値も
低く、変数 A の値が高いとき変数 B の値も高い