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![例題: 絕對值不等式
求下列不等式的解: (1) |𝑥 − 2| ≥ 3 (2) |2𝑥 + 3| ≤ 5 (3) |𝑥 − 1| ≥ |𝑥 + 2|
解: (1) 𝑥 − 2 ≥ 3 ⇔ 𝑥 − 2 ≥ 3 或 𝑥 − 2 ≤ −3
⇔ 𝑥 ≥ 5 或 𝑥 ≤ −1 ■
(2) |2𝑥 + 3| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 5
⇔ −8 ≤ 2𝑥 ≤ 2
⇔ −4 ≤ 𝑥 ≤ 1 ■
(3) |𝑥 − 1| ≥ |𝑥 + 2| ⇔ (𝑥 − 1)2 ≥ (𝑥 + 2)2 [注意這裡用到P.30的絕對值性質6]
⇔ 𝑥2
− 2𝑥 + 1 ≥ 𝑥2
+ 4𝑥 + 4
⇔ 𝑥 ≤ −
1
2
■
注意我們每一步的推導都是雙向互通的, 也就是左
式跟右式總是可以互推, 這樣, 我們才能保證最後
解出來的𝑥的範圍沒有少算或者多算.
相對的, 如果你的某一步計算只有單箭頭成立, 就
要注意自己是否有少算到什麼
設𝑎 ≥ 0, 我們有以下兩件簡單的事實:
• 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
• 𝑥 > 𝑎 ⇔ 𝑥 > 𝑎 或 𝑥 < −𝑎](https://image.slidesharecdn.com/random-170113151329/85/slide-32-320.jpg)
Uploaded byXuan-Chao Huang
臺灣高中數學講義 - 第一冊 - 數與式
本文件介绍了数与式的基本概念，包括整数字、理性数和无理数的定义、性质以及运算封闭性。它还提供了数线、数的分类和比较的例题，强调了理性数与无理数的运算特性。涵盖了算术平均数和几何平均数的不等式及其重要性。
臺灣高中數學講義 - 第一冊 - 數與式
- 1.
- 2. 數與式: 教育部課綱 數與數線 數線上的有理點及其十進位表示法 實數系, 實數的十進位表示法 四則運算、絕對值、大小關係 乘法公式、分式與根式的運算 數線上的幾何 數線上的兩點距離與分點公式 含絕對值的一次方程式與不等式
- 3. 大綱 1 –1: 數與數線 1 – 2: 根式的運算 1 – 3: 數線上的幾何
- 4. 大綱 1 –1: 數與數線 1 – 2: 根式的運算 1 – 3: 數線上的幾何
- 5. 整數 正整數 =自然數 = {1, 2, 3, … } = ℕ = ℤ+ 說明: 例如1,2,3, …, 100, 10000 等等這些數字, 都是正的整數, 稱之為正整數(positive integers), 別名為自然數(natural numbers) 一般常用ℕ = ℤ+ = {1,2,3, . . . } 表示正整數所形成的集合(Set), 可以將「集合」理 解為「收集了一些數字的抽象籃子」, 注意集合的表示一定要用大括號 { } 負整數 = {-1, -2, -3, … } = ℤ− 整數 = 負整數 + 零 + 正整數 = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = ℤ− ∪ { 0 } ∪ ℤ+ = ℤ+ 說明: 一般常用ℤ去表示整數的集合, 上述符號∪稱為「聯集」(union)
- 6. 有理數 有理數(rational numbers)的定義: 如果𝑥可以被表示成𝑥 = 𝑚 𝑛 , 其中𝑚. 𝑛皆為整數(𝑚, 𝑛 ∈ ℤ), 則我們稱𝑥為有理數 例如: 1 3 , 2 5 , −7 1000 , 這些都是有理數 我們用ℚ這個符號來代表有理數所形成的集合 按照這個定義, 可以推論出所有整數也都是有理數, 用數學式表示的話, 就是𝑍 ⊂ Q, 讀作「整數被包含於有理數」, 也可以說「整數是有理數的子集合」 所有循環小數(例如0.333 … = 0. 3)都是有理數 (見例題1) 所有的有理數都能夠用尺規作圖的方式, 將它的長度在紙張上表示出來 (見下頁) 這符號讀作”屬於”
- 7. 有理數作圖 有理數的尺規作圖法 (增長知識用,很少拿來考試) : 假設已給定OA, 假設它長度正好1公分。 那麼我們該怎麼做出 𝑚 𝑛 這個數字呢? 1. 我們以O點為原點, 畫出直線L (方向隨意,能畫出下圖即可) 2. 尺規作圖, 作出B點與D點, 使得OB: OD = 𝑚: 𝑛 3. 連接AD, 過B作AD之平行線,交OA於P點 4. OB: OD = OP: OA ⇒ OP = 𝑚 𝑛 ∙ OA = 𝑚 𝑛 OP即為所求
- 8. 無理數 無理數(irrational numbers)的定義:在數線上, 不是有理數的點, 就稱為無理數 例如: 2, 3, 圓周率𝜋, 自然對數𝑒,… 注意: 根據這個定義, 如果我們要宣稱某個數x為無理數, 我們就要去證明x不是 有理數, 也就是x不能被用”整數相除”的形式表達出來 一般來說, 要證明一個數是無理數是很困難的, 事實上, 有相當多的數我們還無 法證明它是有理數或是無理數, 例如𝜋 + 𝑒, 𝜋 − 𝑒, 𝜋 2,等等 有些無理數可以由尺規作圖做出來(例如:利用直角三角形的斜邊, 我們就能畫 出 2), 但大部分的無理數是無法畫出來的 想像我們在數線上把所有的有理數都標記出來, 做完這件事我們會發現, 數線上還有 很多點沒有被標記到, 這些點就叫做無理數
- 9. 關於無理數的重要定理 定理1: 設𝑛,𝑘為正整數, 𝑘 ≥ 2,若𝑛不等於某個正整數的𝑘次方, 則 𝑘 𝑛為無理數 - 這個定理的證明不難, 但需要數論的一些知識才能做到, 有興趣的人, 可以參閱附錄 - 請注意, 我們在接下來會不斷用這個定理, 並且不會特別提醒, 例如我們會直接說 3是無理 數, 3 5是無理數, 5 11也是無理數, …等等 𝑘 𝑛表示𝑛的𝑘次方根,也就是說( 𝑘 𝑛) 𝑘 = 𝑛 定理2: 圓周率𝜋為無理數 這個定理的證明較難, 需要不少微積分的知識才能辦到, 在這裡不提供證明
- 10. 實數的分類與整理 實數ℝ 有理數ℚ 無理數 整數ℤ 小數(分數) 正整數ℕ, ℤ+ 負整數ℤ− 零 實數的分類整理(理解它就好,不需要記下來):
- 11. 例題 - 循環小數 將下列循環小數化為分數: (a) 0. 7 (b) 0.2134 解: (a) Let 𝑥 = 0. 7 ⇒ 10𝑥 = 7. 7 ⇒ 10𝑥 − 𝑥 = 7. 7 − 0. 7 = 7 ⇒ 9𝑥 = 7 ⇒ 𝑥 = 7 9 ■ (b) Let 𝑥 = 0.2134 ⇒ 100𝑥 = 21. 34 ⇒ 100𝑥 − 𝑥 = 21. 34 − 0.2134 = 21.13 ⇒ 99𝑥 = 21.13 ⇒ 𝑥 = 21.13 99 = 2113 9900 ■ 藉由這個例子, 我們來看看把循環小數變成分數的 一般性方法, 注意這種方法對所有循環小數都適用, 只要把它的”精神”學起來,不需要去記任何公式 注意: 在(a)與(b)中, 我們使用的方法是一樣的, 我們只不過把𝑥中“不循環’’的部分乘上常數C, 讓C𝑥扣掉𝑥之後, “循環’’ 的部分消失, 最後再做點算術, 就得到𝑥了.
- 12. 例題 - 循環小數 設𝑎 ∈ ℤ+, 13 99 < 0.1𝑎2 < 14 99 , 求𝑎值? 解: Let 𝑥 = 0.1𝑎2 ⇒ 100𝑥 = 1𝑎. 2𝑎2 ⇒ 100𝑥 − 𝑥 = 1𝑎. 1 ⇒ 𝑥 = 1𝑎.1 99 ⇒ 13 < 1𝑎. 1 < 14 ⇒ 𝑎 = 3 ■
- 13. 例題: 無理數之大小比較 設𝑎= 10 + 8, 𝑏 = 12 + 6, 𝑐 = 11 + 7, 試比較𝑎, 𝑏, 𝑐之大小順序? 解: 𝑎2 = 18 + 80 𝑏2 = 18 + 72 𝑐2 = 18 + 77 ⇒ 𝑎2 > 𝑐2 > 𝑏2 ⇒ 𝑎 > 𝑐 > 𝑏 ■ 不要試著用十分逼近法求a,b,c的近似值, 太費力了 (與其那樣, 不如直接拿計算機出來按). 我們先觀察與簡化問題, 可以看到, a,b,c的平方會有共同項18, 而且平方後, 只剩一個根號, 這樣比大小就容易多了 留下一個問題給你思考: 你能不能證明𝑎2 > 𝑏2 ⟺ 𝑎 > 𝑏 ? 如果你證明了這件事, 你就證明了𝑓(𝑥) = 𝑥2在𝑥 > 0的 地方為嚴格遞增函數? (實際圖表如右圖)
- 14. 例題: 無理數之大小比較 請問6比較接近 5或 7? 這題最快的方法是用計算機(如果你有的話), 如果沒有, 可用十分逼近法暴力求解, 不過我們要練習的是怎麼不用這兩種方法解決這個問題. 我們有 5 < 6 < 7, 事實上, 𝑓 𝑥 = 𝑥在𝑥 > 0的地方為嚴格遞增函數(見上圖). 我們可以去判斷 6落在 5+ 7 2 的左邊還是右邊(見右圖), 如果在右邊, 就證明了 6比較接近 7, 否則就證明了 6比較接近 5 5 75 + 7 2 6 ? 解: ( 5+ 7 2 )2 − ( 6)2 = 1 2 35 − 3 < 0 (注意 1 2 35 < 6 2 < 3) ⇒ ( 5+ 7 2 )2 < ( 6)2 ⇒ 5+ 7 2 < 6 ⇒ 6落在 5+ 7 2 的右邊 ⇒ 6比較接近 7 ■
- 15. 有理數運算封閉性 定理2: 設𝑥∈ ℚ, 𝑦 ∈ ℚ, 我們有以下兩件事實: 𝑥 + 𝑦 ∈ ℚ, 𝑥 − 𝑦 ∈ ℚ, 𝑥𝑦 ∈ ℚ 若 𝑦 ≠ 0, 則 𝑥 𝑦 ∈ ℚ 證明: ∵ 𝑥 ∈ ℚ, 𝑦 ∈ ℚ ⇒ 𝑥 = 𝑎 𝑏 , 𝑦 = 𝑐 𝑑 其中a, b, c, d ∈ ℤ ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑑+𝑐𝑏 𝑏𝑑 ∈ ℚ ■ 這個定理是說, 給定兩個有理數, 那麼這兩個數字加 減乘除後的結果, 也會是有理數, 也就是有理數的運算是封閉在Q裡面的. 原因很簡單, 因為兩個有理數加減可以通分, 通分後 依然是”分子與分母都是整數”的形式. 這裡我們只證𝑥 + 𝑦的部分, 其餘請自行練習. 定理3: 設𝑥 ∈ ℚ, 𝑦 ∉ ℚ, 若𝑥 ≠ 0, 則𝑥 + 𝑦 ∉ ℚ, 𝑥 − 𝑦 ∉ ℚ, 𝑥𝑦 ∉ ℚ, 𝑥 𝑦 ∉ ℚ 證明: 用反證法, 假設𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑄, 令 z = 𝑥 + 𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 ∈ ℚ (根據定理2) 與命題條件𝑦 ∉ ℚ矛盾, 所以𝑥 + 𝑦 ∈ ℚ這個假設是錯的 故我們有𝑥 + 𝑦 ∉ ℚ ■ - 這個定理是說, 給定一個不為零的有理數與一個無理數, 那麼它 們四則運算的結果一定會是無理數 - 同樣地, 我們只證明𝑥 + 𝑦的部分, 其它請自行練習.如果你是第 一次見到反證法, 請仔細想想並且試著學起這個邏輯
- 16. 無理數運算並沒有封閉性 設𝑥 ∉ℚ, 𝑦 ∉ ℚ, 則𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑦 , 𝑥 𝑦 可能為有理數, 也可能是無理數 舉例: 𝑥 = 1 − 2, 𝑦 = 1 + 2 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 2 舉例: 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 ⇒ 𝑥𝑦 = 2, 𝑥 𝑦 = 1 換句話說, 無理數與無理數之間的運算並沒有封閉 在無理數的集合裡面. 定理4: 設a, b, c, d ∈ ℚ, 𝑥 ∉ ℚ, 則a + b𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑥 ⇔ 𝑎 = 𝑐且b = 𝑑 證明(⇒): a + b𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑥 ⇒ 𝑎 − 𝑐 = (𝑑 − 𝑏)𝑥 根據定理1, 我們有𝑎 − 𝑐 ∈ ℚ, 因此, 𝑑 − 𝑏 𝑥 ∈ ℚ 但根據定理2&3, 只有在𝑑 − 𝑏 = 0的情況下, 我們才能有 𝑑 − 𝑏 𝑥 ∈ ℚ ∴ 𝑎 − 𝑐 = 0 故得證𝑎 = 𝑐且b = 𝑑 ■
- 17. 例題: 有理數/無理數運算封閉性 設𝑎,𝑏 ∈ ℚ, 2𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 2 = 3 + 4𝑎 2, 求𝑎, 𝑏 =? 解: 根據定理4, 我們有 2a − b = 3 𝑎 + 𝑏 = 4𝑎 ⇒ 𝑎 = −3, 𝑏 = −9 ■ 設𝑎 ∉ 𝑄, (𝑎 + 1)2 與(𝑎 − 1)2 有沒有可能同時是有理數? 解: 不可能, 證明如下 (反證法)假設(𝑎 + 1)2 ∈ 𝑄而且(𝑎 − 1)2 ∈ ℚ, 那麼根據定理2, 我們有 (𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)2 ∈ ℚ, 但(𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)2 = 2𝑎 ∙ 2 ∉ ℚ (根據定理2), 矛盾 ■
- 18. 例題: 有理數/無理數運算封閉性 請判斷下列兩個敍述是否正確 (a)設𝑥9, 𝑥12 ∈ 𝑄, 則𝑥 ∈ ℚ (b) 設𝑥7 , 𝑥12 ∈ 𝑄, 則𝑥 ∈ ℚ 解: (a) 否; 𝑥 = 3 2即為反例 (b) 是, 證明如下: 𝑥7 , 𝑥12 ∈ ℚ ⇒ 𝑥12 𝑥7 = 𝑥3 ∈ ℚ ⇒ 𝑥6 ∈ ℚ ⇒ 𝑥7 𝑥6 = 𝑥 ∈ ℚ ■
- 19. 算幾不等式 定理(算幾不等式): 設𝑎, 𝑏為非負實數,則我們有 𝑎+𝑏 2 ≥ 𝑎𝑏, 其中等號在𝑎 = 𝑏的時候才會成立 證明: ( 𝑎 − 𝑏)2 ≥ 0 ⇔ 𝑎 − 2 𝑎𝑏 + 𝑏 ≥ 0 ⇔ 𝑎+𝑏 2 ≥ 𝑎𝑏 ■ 算術平均數 幾何平均數 高中有三個重要的不等式, 這是其中之一(另外兩個是三角不等式與柯西不等式), 它們同 時也是數學上最基本的不等式 這個不等式有數個幾何上的意義, 下面的圖示是其中一個: 注意算幾不等式的形式, 我們也可以用以下這個角度檢視它: 它巧妙地建立起「兩數相加」與「兩數相乘」的關係, 透過它, 我 們得知「兩數相加」給出「兩數相乘」的上界, 而「兩數相乘」給 出「兩數相加」的下界.
- 20. 例題:算幾不等式 例題: 設𝑎,𝑏為正實數, 且3𝑎 + 2𝑏 = 6, 求𝑎𝑏之最大值, 以及此時𝑎, 𝑏的值 解: 由算幾不等式, 3𝑎+2𝑏 2 ≥ 3𝑎 ∙ 2𝑏 = 6𝑎𝑏 ⇒ 3 ≥ 6𝑎𝑏 ⇒ 3 2 ≥ 𝑎𝑏 ∴ 𝑎𝑏之最大值為 3 2 , 此時3𝑎 = 2𝑏 ⇒ 6𝑎 = 6 ⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 2 ■ 這個問題也可以用𝑎 = 6−2𝑏 3 ⇒ 𝑎𝑏 = 6−2𝑏 3 𝑏, 到這裡我們有𝑏的一元二次方程式, 接著再用配 方法解決問題, 但是這樣比較麻煩, 而且比較慢. 用算幾不等式解決顯然比較優雅
- 21. 廣義的算幾不等式 定理(算幾不等式): 設𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎 𝑛為非負實數, 則我們有 𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎 𝑛 𝑛 ≥ 𝑛 𝑎1 𝑎2 ∙∙∙ 𝑎 𝑛, 其中等號在𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎 𝑛的時候才會成立 這個定理才是算幾不等式的廣義形式, 雖然它超出高中課綱的範圍, 但我們認為 多學一點無妨. 它的證明就沒有那麼簡單, 有一個證法是透過數學歸納法, 這裡不提供證明(讀 者可能還沒有學過數學歸納法), 暫時, 我們先把這個公式拿來用.
- 22. 例題: 廣義的算幾不等式 例題:設𝑎, 𝑏為正實數, 且3𝑎 + 2𝑏 = 6, 求𝑎3 𝑏2之最大值, 以及此時𝑎, 𝑏的值 解: 由算幾不等式, 𝑎+𝑎+𝑎+𝑏+𝑏 5 ≥ 5 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 = 5 𝑎3 𝑏2 ⇒ 6 5 ≥ 5 𝑎3 𝑏2 ⇒ ( 6 5 )5 ≥ 𝑎3 𝑏2 ∴ 𝑎3 𝑏2之最大值為( 6 5 )5, 此時𝑎 = 𝑏 ⇒ 5𝑎 = 6 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 6 5 ■ 這個問題如果用𝑎 = 6−2𝑏 3 ⇒ 𝑎3 𝑏2 = ( 6−2𝑏 3 )3 𝑏2 , 到 這裡我們有𝑏的一元五次方程式, 需要微積分才能再 往下分析, 但一般來說這是很難解出來的 . 相對來看, 用算幾不等式, 這問題就變得很簡單, 4 行之內就能找到答案 這題就算把目標函數改為𝑎5 𝑏7 , 𝑎8 𝑏1 , 甚至𝑎100 𝑏100 , 我們都能用算幾不等式解決問題, 你知道為什麼嗎?
- 23. 例題: 廣義的算幾不等式 例題:設0 < 𝑥 < 1, 求𝑥2(1 − 𝑥)之最大值, 以及此時𝑥的值 解: 由算幾不等式, 𝑥 2 + 𝑥 2 +(1−𝑥) 3 ≥ 3 𝑥 2 ∙ 𝑥 2 ∙ 1 − 𝑥 = 5 1 4 𝑥2 1 − 𝑥 ⇒ 4( 1 3 )3 ≥ 𝑥2 1 − 𝑥 ∴ 𝑥2 1 − 𝑥 之最大值為 4 27 , 此時 𝑥 2 = 1 − 𝑥 ⇒ 𝑥 = 2 3 ■ 注意因為0 < 𝑥 < 1,這題才能用算幾不等式解決; 如果 𝑥 > 2或𝑥 < 0, 算幾不等式就不適用, 我們就只能用微 積分解決這個問題 由此也可以看出, 不同的最佳化問題會需要不同的數學 工具來處理, 不同的工具所適用的條件不一樣, 效率也 不一樣
- 24. 大綱 1 –1: 數與數線 1 – 2: 根式的運算 1 – 3: 數線上的幾何
- 25. 例題: 兩層平方根式 化簡9 − 2 20 「化簡」的意思就是請我們想辦法把最外層的根號拿掉 這類問題目的只在練習觀察、分析、以及平方公式的使用, 本身沒有什麼數學意義 思考的理路如下: 根號要能開得出來 根號內必需要是完全平方式 猜測根號內是( 𝑎 − 𝑏)2的形式 由式子內的 20, 我們有以下的可能: 𝑎, 𝑏 = (20,1) 𝑎, 𝑏 = (10,2) 𝑎, 𝑏 = (5,4) 解: 9 − 2 20 = ( 5 − 4)2 = 5 − 4 = 5 − 2 ■ 這個最合理!
- 26. 例題: 兩層平方根式 14+ 6 5的整數部分為𝑎, 小數部分為𝑏, 求𝑎, 𝑏的值 再觀察一次: 猜測根號內是( 𝑎 + 𝑏)2 的形式 由式子內的6 5 = 2 45, 我們有以下的可能: 𝑎, 𝑏 = (45,1) 𝑎, 𝑏 = (15,3) 𝑎, 𝑏 = (9,5) 找到了! 解: 14 + 6 5 = ( 9 + 5)2 = 9 + 5 = 3 + 5 又因為 5 ≅ 2.2 ⇒ 3 + 5 ≅ 5.2 ∴ 𝑎 = 5, 𝑏 = 3 + 5 − 5 = 5 − 2 ■ 整數部分 小數部分 = 完整的數 – 整數部分
- 27. 例題: 三次方展開公式/三次根式 化簡 3 2+ 5 + 3 2 − 5 基本公式: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 − 𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 ) 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 ) 這些公式的證明都留給讀者自己練習 建議要把這些公式記下來 (有親手證明過會比較容易記住) 解: 令a = 2 + 5, 𝑏 = 2 − 5, 𝑥 = 3 2 + 5 + 3 2 − 5 ⇒ 𝑥3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏𝑥 ⇒ 𝑥3 = 4 − 3𝑥 ⇒ 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 4 = 0 ∵ 𝑥2 + 𝑥 + 4 > 0 for all 𝑥 ∈ ℝ ∴ 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 ■ 這裡用到上面列出的公式1, 整個解題過程是嘗試與觀察的 結果, 沒有什麼特別要提醒的 公式3作者本人也試過, 在這裡並不能幫助我們解決問題, 你也可以自己試用看看
- 28. 例題: 三次方展開公式/有理化 請將分式有理化: 3 3+1 3 3−1 解:分式上下同乘( 3 3)2 + 3 3 + 1得 原式= ( 3 3+1)(( 3 3)2+ 3 3+1) ( 3 3)3−1 = 2 + 3 9 + 3 3 ■ 高中所謂’’有理化”, 意思就是”把式子整理到分母沒有根號”的形式 這裡我們的問題是如何將分母的 3 3變不見, 這麼巧, 上頁的公式4就可以解 決問題, 於是我們得到下面的作法
- 29. 大綱 1 –1: 數與數線 1 – 2: 根式的運算 1 – 3: 數線上的幾何
- 30. 絕對值 絕對值的定義: 設𝑎∈ ℝ, 則 𝑎 = 𝑎, 𝑖𝑓 𝑎 ≥ 0 𝑎 = −𝑎, 𝑖𝑓 𝑎 < 0 幾何意義: 𝑎 表示數線上𝑎點到原點的距離 −3 0 | − 3| 7 |7| 絕對值的性質: |𝑎| ≥ 0, −𝑎 = |𝑎| |𝑎|2 = |𝑎2 | = 𝑎2 𝑎𝑏 = 𝑎 |𝑏| |𝑎| |𝑏| = | 𝑎 𝑏 | |𝑎| ≥ 𝑏 ⇔ 𝑎2 ≥ 𝑏2 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + |𝑏| 絕對值性質1, 2,… ,6只需理解, 不需要記 性質7就是高中三大不等式之一的三角不等式, 要把它記下來. 你應該會想問這個不等式跟三角形有什麼關係? 我們在下一頁會證明+說明
- 31. 三角不等式 證明 𝑎+ 𝑏 ≤ 𝑎 + |𝑏|, 等號成立在𝑎, 𝑏正負同號的時候 證明: ( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 =(a + 𝑏)2 ⇒ 𝑎 + |𝑏| ≥ 𝑎 + |𝑏| ■ 直覺上, 左式兩數有正負相加的可能, 而右式必定是兩個正數相加, 故右式≥左式, 按照這個邏輯去證明它也是可以的, 不過, 以下我們提供另一個證明 從這個證明, 還是看不出到底它跟三角形有什麼關係, 事實上, 它的確跟三角形沒 關係, 這是因為我們現在的只在一維的世界裡觀察它. 如果今天的我們討論的是二 維的世界, 𝑎, 𝑏是兩個向量的話, 這個不等式就有幾何意義: 三角形的兩邊之和大於第三邊 至於“向量”是什麼, 我們高二才會學到 | 𝑎| |𝑏| | 𝑎 + 𝑏|
- 32. 例題: 絕對值不等式 求下列不等式的解:(1) |𝑥 − 2| ≥ 3 (2) |2𝑥 + 3| ≤ 5 (3) |𝑥 − 1| ≥ |𝑥 + 2| 解: (1) 𝑥 − 2 ≥ 3 ⇔ 𝑥 − 2 ≥ 3 或 𝑥 − 2 ≤ −3 ⇔ 𝑥 ≥ 5 或 𝑥 ≤ −1 ■ (2) |2𝑥 + 3| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 5 ⇔ −8 ≤ 2𝑥 ≤ 2 ⇔ −4 ≤ 𝑥 ≤ 1 ■ (3) |𝑥 − 1| ≥ |𝑥 + 2| ⇔ (𝑥 − 1)2 ≥ (𝑥 + 2)2 [注意這裡用到P.30的絕對值性質6] ⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 ≥ 𝑥2 + 4𝑥 + 4 ⇔ 𝑥 ≤ − 1 2 ■ 注意我們每一步的推導都是雙向互通的, 也就是左 式跟右式總是可以互推, 這樣, 我們才能保證最後 解出來的𝑥的範圍沒有少算或者多算. 相對的, 如果你的某一步計算只有單箭頭成立, 就 要注意自己是否有少算到什麼 設𝑎 ≥ 0, 我們有以下兩件簡單的事實: • 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 • 𝑥 > 𝑎 ⇔ 𝑥 > 𝑎 或 𝑥 < −𝑎
- 33. 例題: 絕對值不等式 不等式𝑥 − 𝑎 < 𝑏之解為−3 < 𝑥 < 5, 其中𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 求𝑎, 𝑏之值? 解1: 𝑥 − 𝑎 < 𝑏 ⇔ −𝑏 < 𝑥 − 𝑎 < 𝑏 ⇔ −𝑏 + 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 + 𝑎 ⇔ −𝑏 + 𝑎 = −3 且 𝑏 + 𝑎 = 5 ⇔ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4 ■ 解2: 取−3與5的中點 −3+5 2 = 1, 再將−3 < 𝑥 < 5減去中點, 得 −3 < 𝑥 < 5 ⇔ −4 < 𝑥 − 1 < 4 ⇔ |𝑥 − 1| < 4 ⇔ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4 ■ 解法1是將未知式化成與已知式相同形 式, 對比後, 解聯立方程式. 解法2是將已知式化成與未知式相同形 式, 不用解職立方程式, 可直觀得解, 在這題, 解法1與解法2相差不多, 但是 我們比較喜歡解法2,因為不需解聯立 方程式.
- 34. 例題: 絕對值不等式 已知不等式𝑎𝑥 + 5 > 𝑏之解為𝑥 < −1或𝑥 > 6, 求𝑎, 𝑏之值? 解:∵ 𝑎𝑥 + 5 > 𝑏 ⇔ 𝑥 < −1或𝑥 > 6 ∴ 𝑎𝑥 + 5 ≤ 𝑏 ⇔ −1 ≤ 𝑥 ≤ 6 ⇔ − 7 2 ≤ 𝑥 − 5 2 ≤ 7 2 ⇔ |𝑥 − 5 2 | ≤ 7 2 ⇔ |2𝑥 − 5| ≤ 7 ⇔ | − 2𝑥 + 5| ≤ 7 故得𝑎 = −2, 𝑏 = 7 ■ 若採取上頁解法1的思考方式(將未知式化成與已知式相同形式), 我們要打開絕對 值, 得𝑎𝑥 > 𝑏 − 5 或 𝑎𝑥 < −𝑏 − 5, 接下來要除以𝑎的時候, 就要分𝑎 > 0或𝑎 < 0的 情形去討論, 這樣比較麻煩. 我們這裡採用上頁解法2的思維, 做法如下:
- 35. 例題: 絕對值函數求極值 求𝑓𝑥 = 𝑥 − 2 + 𝑥 − 5 + |𝑥 − 8|的最小值 解: 當𝑥 ≥ 8時, 三個絕對值都可以直接拿掉 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率3 > 0的直線 當5 ≤ 𝑥 < 8時, 第一個絕對值拿掉要變號 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率1 > 0的直線 當2 ≤ 𝑥 < 5時, 前兩個絕對值拿掉要變號 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率−1 < 0的直線 當𝑥 < 2時, 三個絕對值拿掉都要變號 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率− 3 < 0的直線 ∴ 得右圖, 故最小值為𝑓 5 = 6 ■ 解決這問題最好的方法是透過畫圖, 而畫圖最好要有斜率 的概念, 如果你沒學過斜率, 請先看右邊的說明. 1. 設直線L: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏,我們說𝑎為直線𝐿 的斜率 (斜率的定義這裡先不提, 下一章 會教) 2. 當𝑎 > 0,直線𝐿的走向是右上左下 3. 當𝑎 < 0,直線𝐿的走向是左上右下 4. 當𝑎 = 0,直線𝐿的為水平線 不過, 你可以自己試著說明上述2,3,4為何 會成立. 2 5 8
- 36. 例題: 絕對值不等式 求不等式𝑥 + 2 + 2 𝑥 − 4 < 15之解? 解: (1) 若 𝑥 > 4, 原式⇒ 𝑥 + 2 + 2 𝑥 − 4 < 15 ⇒ 3𝑥 < 21 ⇒ 𝑥 < 7 (2)若 −2 ≤ 𝑥 ≤ 4, 原式⇒ 𝑥 + 2 − 2 𝑥 − 4 < 15 ⇒ −𝑥 + 10 < 15 ⇒ 𝑥 > −5 (3)若 𝑥 < −2, 原式⇒ − 𝑥 + 2 − 2 𝑥 − 4 < 15 ⇒ −3𝑥 < 9 ⇒ 𝑥 > −3 由(1), (2), (3)得−3 < 𝑥 < 7, 如右圖所示 ■ 為了將絕對值拿掉, 我們對−2,4這兩個點, 分左右邊去討論, 沒有什麼困難的, 只要仔細整理即可 4 7-2-3 (1) (2) (3) 4 7-2-3
- 37. 分點公式 設𝐴 𝑎, 𝐵 𝑏 , P(𝑥)為數線上三點, 且𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 𝑚: 𝑛, (1) 若𝑃 ∈ 𝐴𝐵, 則P點座標為𝑥 = 𝑚𝑏+𝑛𝑎 𝑚+𝑛 (2) 若𝑃 ∉ 𝐴𝐵, 則P點座標為𝑥 = 𝑚𝑏−𝑛𝑎 𝑚−𝑛 證明: (1) 𝑥 − 𝑎 : 𝑥 − 𝑏 = 𝑚: 𝑛 ⇒ 𝑥 − 𝑎: 𝑏 − 𝑥 = 𝑚: 𝑛 ∵ 𝑃 ∈ 𝐴𝐵 ⇒ 𝑥 = 𝑚𝑏+𝑛𝑎 𝑚+𝑛 ■ (2) 同理, 請自行練習 P(x) B(b)A(a) m n 𝑥 = 𝑚𝑏 + 𝑛𝑎 𝑚 + 𝑛 P(x) B(b)A(a) m n 𝑥 = 𝑚𝑏 − 𝑛𝑎 𝑚 − 𝑛 內分點公式 外分點公式
- 38. 例題:分點公式 設三個相異實數𝑎, 𝑏,𝑐為數線上三點, 且𝑏 = 5 6 𝑎 + 1 6 𝑐, 試判斷下列敘述何者正確 (1) 𝑏在𝑎與𝑐之間 (2) 𝑐 > 𝑏 (3) 𝑎到𝑏的距離是𝑏到𝑐的距離的5倍 (4) 若|𝑏| = 5 6 |𝑎| + 1 6 |𝑐|, 則𝑎, 𝑏, 𝑐皆為正數 解: 由內分點公式, (1) (3)直接成立 (2) 不一定, 𝑐可能在𝑏的左側 (3) 不一定, 𝑎, 𝑏, 𝑐也可能皆為負數
- 39. 附錄: 基本數論知識 定義(因數與倍數): 設𝑎,𝑏 ∈ ℕ, 若𝑎整除𝑏, 我們稱𝑎為𝑏的因數, 𝑏為𝑎的倍數 我們也定義符號𝑎|𝑏, 它就代表”𝑎整除𝑏” EX. 3|27,3是27的因數, 27是3的倍數 定義(質數): 設𝑎 ∈ ℕ, 若𝑎的因數只有1與𝑎本身, 則我們稱𝑎為質數(prime number) EX. 2,3,5,7,11,13,17,… 皆為質數
- 40. 附錄: 基本數論知識 定義(公因數); 若𝑑|𝑎且𝑑|𝑏,則我們稱𝑑為𝑎與𝑏的公因數. 若𝑑為𝑎與𝑏的所有公因數中, 數值最大者,則我們稱𝑑為𝑎與𝑏的最大公因數, 記作 𝑎, 𝑏 = 𝑑 EX. 3|6, 3|18 ⇒ 3為6與18的公因數 但6與18的最大公因數為6, 也就是 6,18 = 6 定義(互質): 若 𝑎, 𝑏 = 1, 則我們稱𝑎, 𝑏兩數互質. EX. (2,3)互質, (5,18)也互質
- 41. 附錄: 無理數的證明 定理:2為無理數 證明: (反證) 假設 2為有理數, ⇒ 2 = 𝑚 𝑛 , 其中𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚, 𝑛 = 1 ∵ 2 不等於任何正整數, ∴ 𝑛 ≠ 1 ⇒ 2𝑛2 = 𝑚2 ∵ 𝑛 ≠ 1, ∴ 存在一個質數𝑝|𝑛, 且𝑝 > 1 ⇒ 𝑝|𝑚2 ⇒ 𝑝|𝑚 ⇒ 𝑝為𝑛, 𝑚之公因數 ⇒ 𝑛, 𝑚 ≠ 1 矛盾 ■ 這裡我們使用了定理 “若𝑝為質數且𝑝|𝑚2 , 則 𝑝|𝑚” 這定理還算直觀, 但也需要證明, 很遺憾, 我們這裡不提供證明 因為那會需要一套完整的數論教材
- 42. 附錄: 無理數的證明 定理:設𝑛,𝑘為正整數, 𝑘 ≥ 2,若𝑛不等於某個正整數的𝑘次方, 則 𝑘 𝑛為無理數 證明: 假設 𝑘 𝑛為有理數 ⇒ 𝑘 𝑛 = 𝑎 𝑏 , 其中𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, 𝑎, 𝑏 = 1 ⇒ 𝑛𝑏 𝑘 = 𝑎 𝑘 讓𝑝為一個整除𝑏的質數, 則𝑝也整除𝑎 𝑘 ⇒ 𝑝|𝑎 ⇒ 𝑝為𝑎, 𝑏之公因數 ∵ 𝑎, 𝑏 = 1, ∴ 𝑝 = 1 ⇒ 𝑏 = 1 ⇒ 𝑛 = 𝑎 𝑘 ■ 這裡我們使用了定理 “若𝑝為質數且𝑝|𝑚 𝑘 , 則 𝑝|𝑚” 同上頁, 我們這裡不提供證明 另外請注意, 這裡證明的邏輯是”如果 𝑘 𝑛為有理數, 那𝑛必等於某個正整數的𝑘 次方”, 這跟定理的敍述是等價的.