Le leggi dei gas perfetti 1° parte

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Un testo di fisica (termodinamica) con esperienze di laboratorio del prof. Germano Grasso

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Le leggi dei gas perfetti 1° parte

  1. 1. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICAProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino LE LEGGI DEI GAS PERFETTI 1
  2. 2. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIL GAS PERFETTOAlcuni elementi chimici come l’Idrogeno, l’Elio, l’Azoto, l’Ossigeno, il Fluoro, il Neon, l’Argon, ilCloro, il Kripton, lo Xeno e il Radon, sono presenti in natura - se non combinati con altri -solitamente allo stato gassoso.Altri, come ad esempio il carbonio e lo zolfo - pur trovandosi più comunemente allo stato solido -se opportunamente combinati, possono dar luogo a composti gassosi quali l’Ossido di carbonio,l’Anidride carbonica, l’Ammoniaca, l’Acetilene, il Metano, il Protossido d’azoto, l’Anidridesolforosa.Inoltre, composti ed elementi chimici liquidi, se sottoposti a valori particolari di pressione e/otemperatura, passano allo stato aeriforme.Notevole è il caso dell’acqua la cui molecola, formata da due atomi di idrogeno ed uno d’ossigeno,è quasi sempre reperibile sottoforma liquida o solida, tuttavia, non di rado, passa allo statoaeriforme di vapor d’acqua comportandosi più o meno come un gas.La “fase gassosa”, com’è definita la particolare condizione di alcuni elementi chimici o molecolecomposite, è caratterizzata da una scarsissima coesione molecolare, dalla conseguente mancanza diforze di attrazione o repulsione (coesione interna) e dal fatto che le molecole presenti possonoessere immaginate a distanze reciproche enormemente grandi rispetto alle loro dimensioni reali.Non potendo però immaginare completamente nullo il volume occupato dalle molecole gassose edescludere completamente la possibilità di urti o interazioni molecolari, specialmente nel caso di gaspoco rarefatti, è abitudine definire “GAS REALE” un qualsiasi elemento o composto chimico che ènormalmente in fase gassosa.D’altra parte se un “gas reale” qualsiasi è caratterizzato da valori di pressione, temperatura evolume superiori a quelli definiti rispettivamente: PC Pressione critica VC Volume critico TC Temperatura criticaesso si comporta seguendo in modo piuttosto regolare alcune semplici leggi sperimentali quali leLeggi di Gay-Lussac, la Legge di Boyle e la Legge di Stato.I parametri che caratterizzano le condizioni in cui si trova il gas – pressione, volume e temperatura– sono appunto definite “VARIABILI DI STATO”.In questo caso è possibile affermare che:Un qualsiasi “gas reale” caratterizzato da valori delle variabili di stato superiori ai corrispondentivalori critici per il gas considerato, segue fedelmente le leggi sperimentali citate ed è definito, inquesto caso, un “GAS PERFETTO”.Per il gas perfetto diventa teoricamente possibile considerare nulle le interazioni e nullo sia ilvolume molecolare che il valore dell’energia potenziale posseduta dalle molecole.La teoria dei gas perfetti è particolarmente utile per lo studio delle trasformazioni di stato deisistemi termodinamici ed è una solida base dalla quale partire per lo studio dei “gas reali”. 2
  3. 3. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLe Leggi sperimentali prima accennate sono relazioni di collegamento tra le tre variabili di stato chepermettono di stabilire, in determinate condizioni, il valore di una delle tre variabili in funzionedelle altre due supponendo di essere a conoscenza di alcuni parametri caratteristici.Ad esempio, utilizzando la Legge di stato dei gas perfetti, risulta possibile determinare in modounivoco il valore della temperatura alla quale si trova un gas se si conoscono i valori di pressione evolume oltre che il numero di moli e la costante di stato R . pV T  n RIL SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE A GAS PERFETTOUn qualsiasi dispositivo in grado di trasferire ai o dai sistemi esterni l’energia sottoforma di“CALORE” e/o “LAVORO” trattenendone per sé una parte oppure cedendone una parte che già gliapparteneva, è definito “SISTEMA TERMODINAMICO”.Il termine “termodinamico” è, di per sé, significativo in quanto chiarisce immediatamente che ildispositivo (o sistema) può essere sottoposto a differenti livelli termici (differenti temperature) equindi costretto a cedere o acquisire calore e, nel contempo, essendo in grado di subiremodificazioni dinamiche a carico del suo aspetto esterno, ha la capacità di compiere o subire unadeterminata quantità di lavoro.Conviene subito anticipare che la presenza di un sistema termodinamico – assunto quale attoreprincipale di un evento di scambio energetico – presuppone la contemporanea presenza di almenoun altro sistema in grado di interagire con il primo.Un corpo caldo è in grado di raffreddarsi, cedendo calore, solo se esiste un altro sistema in grado diassorbirlo.Gli altri sistemi – anch’essi per un certo verso da considerarsi termodinamici – sono essenzialmentecostituiti dal mondo esterno che circonda il sistema principale e possono essere pensatirispettivamente alla stessa stregua di serbatoi nei quali il sistema principale, alternativamente, siprocura o cede calore oppure riversa o preleva energia sottoforma di lavoro meccanico.Senza la presenza dei sistemi esterni, il sistema principale, come si vedrà più avanti, non puòoperare alcuno scambio ed è quindi inutile.Con il termine “termodinamico” si può inoltre pensare ad un dispositivo in grado di modificare incontinuazione, in un senso o nell’altro, il proprio livello termico o temperatura e i parametri ad essacollegati.E’ un sistema termodinamico, anche se non in senso strettamente legato alla definizione, unaresistenza elettrica quando è utilizzata dai forni per riscaldare o cuocere le vivande, per inviare ariacalda quando è inserita in un asciugacapelli, per innalzare la temperatura dell’acqua se è inserita inun boiler oppure per produrre vapore se inserita in un ferro da stiro.Il funzionamento di una resistenza elettrica è piuttosto semplice e comprensibile: Inizialmente la resistenza e l’ambiente esterno in cui è immersa sono alla stessa temperatura. Se pensiamo alla resistenza come al sistema termodinamico principale, allora l’ambiente esterno sarà il secondo sistema. Ad un certo istante e da un altro sistema esterno – da considerare di capacità illimitata – è trasferita al sistema principale una certa quantità di energia sottoforma di corrente elettrica che comincia ad attraversare la resistenza. Il terzo sistema – quello che fornisce energia dall’esterno - è immediatamente individuato nel fornitore di energia elettrica ed è chiaro che si tratta di un secondo serbatoio di capacità limitata solo dal contratto di fornitura. 3
  4. 4. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIl sistema principale comincia quindi ad utilizzare l’energia fornita dall’esterno per variare ipropri parametri termici caratteristici dell’istante iniziale. Ciò significa che la temperaturadel sistema aumenta velocemente. Dal momento stesso in cui la temperatura del sistemaprincipale supera la temperatura del sistema esterno, la resistenza comincia a trasmetterecalore cercando di ripristinare lo stato d’equilibrio iniziale.Lo stato transitorio iniziale è solitamente di breve durata e può essere descritto nel modoseguente:  Mentre la temperatura del sistema principale aumenta, una parte di energia elettrica fornita è direttamente scambiata con l’ambiente esterno sottoforma di calore in quanto i sistemi cercano di riportarsi in equilibrio termico, mentre, una parte è utilizzata dallo stesso sistema principale per innalzare ancor di più il proprio livello termico. Come si vedrà più avanti, la quota di energia assorbita dal sistema principale è utilizzata a livello microscopico per innalzare l’energia cinetica molecolare e, di conseguenza, una funzione di stato che sarà definita “Energia interna”. Volendo interpretare meccanicamente le modalità con le quali aumenta l’energia interna si potrebbero descrivere così:  La corrente elettrica reale in un conduttore è provocata dall’applicazione, ai capi del conduttore stesso, di una differenza di potenziale che costringe le cariche elettriche di conduzioni negative (elettroni) a muoversi da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.  Il loro movimento è reso difficoltoso dal fatto che in un materiale solido le molecole sono a stretto contatto e gli spazi sono limitati.  Per questo motivo il movimento degli elettroni può essere assimilato a quello di un autoveicolo con il freno a mano tirato; l’auto si muove comunque, ma l’attrito provocato dallo sfregamento delle pastiglie sui dischi è causa di considerevoli aumenti di temperatura degli apparati frenanti e degli organi meccanici collegati. Il processo così descritto sembra essere desiderato dal sistema termodinamico principale che, però in effetti, lo subisce.  L’aumento di temperatura a carico del sistema principale provoca un incremento della quota di energia totale ceduta all’ambiente per irraggiamento, convezione e conduzione.  Il termine della fase transitoria si ottiene nell’istante in cui la temperatura del sistema principale è così elevata rispetto a quella del sistema esterno che la quota di energia termica scambiata istantaneamente pareggia l’energia elettrica prelevata dal terzo sistema. La temperatura del sistema principale risulta stazionaria e il sistema trasforma di continuo l’energia elettrica in energia termica.  Anche la temperatura del secondo sistema, nel frattempo, è aumentata.  Durante la fase transitoria lo stato termico del sistema principale subisce una modificazione definita, in special modo, dalla differenza di temperatura iniziale e finale della resistenza, mentre lo stato termico del secondo si modifica anch’esso passando dalla temperatura iniziale – quella dell’ambiente che lo contiene – a quella finale, ottimale per la cottura.Per la precisione, oltre al sistema principale (resistenza) che esegue materialmente latrasformazione energetica utilizzando l’energia del terzo sistema e trasmettendola alsecondo, specialmente se si considera una resistenza inserita in un forno, dovremoconsiderare l’esistenza di un quarto sistema che contiene sia quello principale sia il secondo.Il quarto sistema, termicamente isolato dal secondo, non risente delle trasformazioni a caricodel primo e del secondo e non ha nessun contatto con il terzo. 4
  5. 5. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Il quarto sistema è l’ambiente “cucina” ove è inserito il forno e, almeno teoricamente, non dovrebbe modificare i propri parametri termici iniziali. Il quarto sistema è dunque, contrariamente a quanto detto inizialmente, il serbatoio termico illimitato. Inoltre il secondo sistema – o forno – contiene, a sua volta, un quinto sistema in grado di prelevare calore dal secondo ed operare un’ulteriore trasformazione. Esso subisce la trasformazione che più è desiderabile da chi materialmente dà inizio alla stessa: la cottura. Il sistema principale torna poi in tempi brevi alla situazione termica iniziale allorché cessa l’afflusso energetico di corrente elettrica. La resistenza si raffredda rapidamente cedendo ancora calore al secondo sistema che provvede poi anche al suo personale raffreddamento cedendo calore al quarto sistema. Il quarto sistema – l’ambiente cucina – risente in modo minino delle trasformazioni dei sistemi in esso contenuti in quanto dotato di elevata inerzia termica. Figura 1 – SCHEMA DI SISTEMI TERMODINAMICIIl sistema descritto, pur essendo in grado di soddisfare pienamente le nostre necessità del momento– cioè provvedere a cuocere i cibi – trasformando quasi integralmente l’energia elettrica in calore,non risponde del tutto alle caratteristiche richieste dalla definizione di sistema termodinamico.Non è in grado, infatti, così come concepito e costruito, di provvedere alla trasformazione di energiatermica in energia meccanica mentre, le maggiori esigenze dell’umanità sono proprio legata allapossibilità di costruire macchine in grado di fornire energia meccanica cioè lavoro direttamenteutilizzabile. 5
  6. 6. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoA questo scopo è possibile la realizzazione di un dispositivo in grado di soddisfare tali esigenze erispondente quindi alla definizione di “Sistema termodinamico ideale”.Il Sistema termodinamico di cui si parla è costituito, essenzialmente e in linea di principio, da:  Un cilindro con pareti realizzate utilizzando materiali e modalità tali, da impedire l’afflusso di calore sia in uscita che in ingresso. Devono inoltre essere molto limitati o comunque determinati gli scambi di calore tra il contenuto e il cilindro stesso. Se il dispositivo fosse assimilato ad un calorimetro ad acqua, allora “l’equivalente in acqua”, sarebbe analogo quantità di calore scambiato dal contenuto con le pareti.  Da un pistone scorrevole e a tenuta stagna anch’esso costruito in modo da evitare la trasmissione di calore da e verso l’esterno e in modo da assorbire e/o trasmettere calore, dal o verso il contenuto, in termini infinitesimi. Dovrà inoltre essere considerato nullo l’attrito tra pistone e cilindro mentre lo stesso è in movimento.  Una serie di pesi o masse note da disporre sulla parte superiore del pistone – quella a contatto con l’ambiente esterno – in modo da garantire l’equilibrio statico dello stesso quando sottoposto alla pressione esercitata dal contenuto del cilindro.  Da una parete di fondo che, secondo le esigenze nei confronti del calore, può avere le caratteristiche di un perfetto isolante o di perfetto conduttore. Attraverso il fondo del cilindro sono permessi o impediti gli scambi di calore con i sistemi esterni.  Una sorgente termica esterna di capacità termica illimitata se rapportata alla capacità termica del cilindro e caratterizzata da temperatura superiore a quella del dispositivo e del suo contenuto.  Una sorgente termica esterna di capacità illimitata se rapportata alla capacità termica del cilindro e caratterizzat da una temperatura inferiore a quello del dispositivo e del suo contenuto.  Un sistema autonomo in grado di modificare, aumentando o diminuendo, i livelli termici delle sorgenti esterne descritte. Si tratta semplicemente di un generatore di calore, a gas o elettrico, e di un gruppo frigorifero.  Un sistema esterno di capacità termica illimitata ed in grado di contenere tutti i sistemi. Tale sistema è l’ambiente esterno definito dalla temperatura e dalla pressione esistenti durante la sperimentazione.  Un rubinetto a tenuta collocato sul fondo del recipiente cilindrico allo scopo di permettere l’uscita e l’ingresso di gas nel recipiente.  Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori di temperatura del contenuto del cilindro (termometro)  Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori di pressione del contenuto del cilindro (misuratore di pressione – manometro) 6
  7. 7. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino  Un apparecchio in grado di misurare la pressione e la temperatura dell’ambiente esterno  Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori dello spostamento del pistone rapportandoli alla superficie del cilindro e ricavando di conseguenza il volume del contenuto.  Una certa quantità di moli di un gas con caratteristiche tali da poterlo definire “GAS PERFETTO”. Tale gas sarà contenuto nel cilindro e trattenuto dal pistone a tenuta stagna.Con un tale dispositivo – o macchina termodinamica - è possibile condurre esperienze relative alladilatazione dei gas, agli scambi di energia termica tra il dispositivo e i sistemi termici confinanti,alle variazioni di energia interna della macchina e agli scambi di energia meccanica ora possibili invirtù della possibilità che ha il sistema termodinamico di variare in continuazione la propriageometria strutturale attraverso la modificazione della posizione del pistone mobile.Figura 2 – SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE 7
  8. 8. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino LA DILATAZIONE DEI GASLE LEGGI SPERIMENTALI DI GAY-LUSSACTRASFORMAZIONI ISOCORE E ISOBAREUtilizzando il dispositivo illustrato è possibile, ad esempio, studiare il comportamento di un gassimile al gas perfetto, nei confronti dei parametri caratteristici quali il volume, la pressione e latemperatura.Considerando che la fase aeriforme non possiede volume proprio, ma, contrariamente alla faseliquida, occupa sempre tutto il recipiente che lo contiene, è definito come “volume di gas” quellodel recipiente che lo contiene e lo confina dall’ambiente esterno.Se si immagina di riempire di gas il cilindro del sistema termodinamico e, successivamente,impedire, con un dispositivo di blocco, i movimenti del pistone stesso, è facile comprendere che si èrealizzato un recipiente il cui volume è costante nel tempo.In questo caso, qualora il gas subisca trasformazioni di stato variando le sue condizioni rispetto aquelle iniziali, si dirà che le trasformazioni avvengono comunque senza variazione di volume cioè “a volume costante”.Una trasformazione a volume costante sarà definita “ISOCORA”.Il risultato di una trasformazione “ISOCORA” è la variazione della pressione e della temperatura edè, per analogia, assimilabile a ciò che succede ad un materiale solido quando la sua dilatazione pereffetto termico è impedita da vincoli rigidi esterni.Essendo impedita la dilatazione, compaiono, sui vincoli esterni e sul corpo stesso, forze di pressionedi elevata intensità sovente responsabili del cedimento e rottura dei vincoli e/o della struttura.Al gas contenuto nel recipiente, essendo impedita la dilatazione, esercita, con l’aumento dellatemperatura, pressioni sempre crescenti sulle pareti del recipiente.Considerato che durante la trasformazione a volume costante è impedito il movimento del pistone siconclude che il sistema termodinamico non può scambiare energia meccanica con l’ambienteesterno ma solo energia termica.Lo scambio termico risulta solo a carico della variazione di energia interna del sistematermodinamico.Se, al contrario, dopo avere riempito il cilindro di gas, si comincia a variarne la temperaturalasciando libertà di movimento al pistone e controllando che la pressione rimanga costante durantela trasformazione, si noterà una variazione di volume accompagnata anche dalla variazione dellageometria strutturale del recipiente.Il gas è libero di dilatarsi e la trasformazione è definita “a pressione costante” o “ISOBARA”.La trasformazione “ISOBARA” permette lo scambio di energia termica, meccanica e la variazionedell’energia interna propria del sistema. TRASFORMAZIONE A VOLUME COSTANTE ISOCORA Legge di Gay-Lussac  Scambi energetici consentiti:  SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA  Scambi energetici NON consentiti:  SCAMBIO DI ENERGIA MECCANICA CON L’AMBIENTE ESTERNO 8
  9. 9. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino TRASFORMAZIONE A PRESSIONE COSTANTE ISOBARA: Legge di Gay-Lussac  Scambi energetici consentiti:  SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA LA LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE LA TRASFORMAZIONE ISOTERMICA O ISOTERMAQualora al gas contenuto nel recipiente sia concessa la possibilità di variare contemporaneamente ilvolume e la pressione e, nel contempo, mantenga costante il proprio livello termico, si dirà che essoha subito una trasformazione “ISOTERMA” a temperatura costante.La trasformazione “ISOTERMA” - a temperatura costante – di un gas perfetto, segue piuttostofedelmente la legge sperimentale di Boyle-Mariotte.Al sistema termodinamico sono consentiti gli scambi termici, energetici e la variazione di energiainterna. TRASFORMAZIONE A TEMPERATURA COSTANTE ISOTERMA Legge di Boyle.Mariotte  Scambi energetici consentiti:  SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO.  SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC TRASFORMAZIONE ISOCORA A VOLUME COSTANTEE’ una legge sperimentale che descrive la trasformazione del sistema termodinamico al quale èimpedita la possibilità di variare la propria geometria strutturale.In altre parole:  Il gas è confinato in un recipiente il cui pistone mobile è bloccato in posizione fissa e sono quindi impediti gli scambi di energia meccanica da e verso l’ambiente esterno. La pressione del gas è direttamente proporzionale alla temperatura.La legge sperimentale di Gay-Lussac è la seguente:p  p 0  1    t   p 0  p 0    tSupponiamo di utilizzare il sistema termodinamico ideale descritto precedentemente con l’ipotesi diprocedere sperimentalmente in un luogo ove la pressione atmosferica sia inferiore a quella che,normalmente, si ha a livello del mare ed avere a disposizione una certa quantità di gas ad un solocomponente contenuto in un recipiente a pressione. 9
  10. 10. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoPensiamo di utilizzare il seguente procedimento: 1. FASE 1 - Eliminazione dell’aria contenuta nel cilindro del sistema termodinamico. Eliminiamo facilmente l’aria contenuta inizialmente nel cilindro spingendo verso il basso il pistone, mentre la valvola di scarico è aperta. Quando il pistone è a contatto con il fondo del cilindro provvediamo a chiudere la valvola di scarico impedendo così l’afflusso di altra aria. Il dispositivo è completamente vuoto e, sulla superficie del pistone rivolta verso l’ambiente esterno, agisce sicuramente la sola pressione atmosferica p * che, per ipotesi, manteniamo ad un valore più basso della pressione atmosferica normale a livello del mare p a . Figura 3 – FASE 1- ELIMINAZIONE ARIA (PISTONE A CONTATTO CON IL FONDO CILINDRO) 2. FASE 2 - Caricamento del pistone. Disponiamo sul pistone una certa quantità di piccole masse m note sino al raggiungimento di una massa complessiva M . Il valore totale della massa M può essere ottenuto pensando di applicare infinite masse m di valore infinitamente piccolo. Alla fine, sulla superficie superiore del pistone, sarà applicato il seguente sistema di forze:  Forza dovuta alla pressione atmosferica in ambiente: 2 Fa  p * S    r  p * N  In cui si indica con r il raggio interno del cilindro. Le unità di misura sono: 2 S  m r  m 10
  11. 11. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino N p*  2 m  Forza dovuta alla presenza delle masse note: i N Fg   m g  M g N  i1 Sulla superficie inferiore del pistone non sono presenti forze in quanto, con l’eliminazione dell’aria, è stato generato il vuoto assoluto. Il sistema di forze è dunque costituito da una forza che, complessivamente, mantiene il pistone a contatto con il fondo del cilindro ed il cui valore è: F t  Fa  F g  M  g    r  p * 2 In realtà, almeno sino a quando pistone e fondo del cilindro sono a contatto, la forza totale esterna è controbilanciata dalla reazione vincolare di uguale valore e segno contrario applicata al pistone dal fondo del recipiente.Figura 4 – FASE 2 – CARICAMENTO DEL PISTONE3. FASE 3 - Immissione del gas. Collegando la valvola di scarico ad un serbatoio di gas in pressione mediante un tubo a tenuta e aprendo successivamente la valvola, si regola l’afflusso gas dal serbatoio a pressione al cilindro del sistema termodinamico. Il pistone comincia a sollevarsi, quando la pressione del gas all’interno del cilindro supera il valore: Ft M g p1   2  p* S r 11
  12. 12. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Continuando ad immettere gas e a regolare la pressione d’immissione agendo sulla valvola del serbatoio si provocherà la risalita del pistone sino ad una quota desiderata e il raggiungimento di un volume V 1 . La risalita del pistone si blocca nel momento in cui la pressione del gas all’interno del cilindro è esattamente pari al valore precedente. E’ ovvio che il valore della pressione interna può essere modificato agendo in modo opportuno sulla quantità di massa disposta sul pistone. Alla fine dell’operazione si richiude la valvola di scarico e si scollega il recipiente contenente gas compresso. Il cilindro è ora pieno di un gas con caratteristiche tali da poterlo assimilare a gas perfetto e i cui parametri sono i seguenti: M g  p1  2  p* r  V1  t1  0  C Si suppone di effettuare le operazioni ad una temperatura superiore a 0°C  Durante tutte le operazioni di immissione gas, il fondo mobile e termo-isolante del cilindro è rimasto posizionato in modo da impedire lo scambio termico con l’ambiente esterno.Figura 5 – FASE 3 – IMMISSIONE GAS 12
  13. 13. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino4. FASE 4 - Scambio termico a volume costante con un sistema termodinamico esterno alla temperatura t  0  C . Ora il pistone è bloccato in modo tale da impedirne il movimento verso il basso e, nello stesso tempo, mantenere costante il volume di gas nel cilindro. E’ poi rimosso il fondo termo-isolante - scoprendo così il fondo conduttore del cilindro - al quale si pone a contatto un sistema di capacità termica infinita ad un livello termico di t 0  0  C  . Il sistema termodinamico contenente gas comincia a scambiare energia termica con il sistema esterno più freddo sino al raggiungimento della temperatura caratteristica della sorgente esterna. Il sistema esterno costituisce, per il sistema termodinamico in esame, una sorgente entro cui riversare energia termica in eccesso cioè raffreddarsi. Per definizione, la capacità di ricevere calore senza modificare il proprio livello termico, è tipica di una sorgente avente capacità infinita. Ad esempio il mare ha le caratteristiche di sorgente a capacità termica infinita nei riguardi di un qualsiasi oggetto ad un livello termico diverso che gli è posto a contatto. Durante la cessione di calore alla sorgente esterna – tramite il fondo conduttore – il gas del sistema termodinamico non modifica il proprio volume, ma comincia a diminuire la pressione esercitata sulle pareti del cilindro, cosicché se il pistone non fosse bloccato tenderebbe a scendere. La trasformazione del gas a contatto con il sistema esterno, che avviene in tempi considerevoli, ha, come risultato finale, la variazione dei parametri caratteristici dai valori iniziali precedenti ai seguenti valori finali: M g da: p1  2  p* r V1 t1  0  C a: p2  p1 V 2  V1 t 2  0  C  Da manometro a mercurio installato su una delle pareti o sul fondo del recipiente sarà possibile, a questo punto ed utilizzando la Legge di Stevin, la misurazione della pressione p 2 corrispondente al livello termico finale t 2  0   C  : p 2  p *   Hg   h In cui:  N   Hg Peso specifico mercurio  3 m  h Dislivello manometro m  13
  14. 14. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Dalla lettura o calcolo della pressione p 2 che il gas esercita sulle pareti del cilindro – compresi fondo e superficie interna pistone – è poi possibile determinare la massa M 1 da disporre sul pistone in modo tale da poterlo sbloccare senza che si abbia movimento. Dalla relazione: M1 g p2  2  p* r E dal confronto con la precedente, si ottiene: M1 g p2  2  p *  p *   Hg   h r Ed infine il valore della nuova massa: 2   r  Hg   h M 1  g Rispetto alla massa M collocata in precedenza, la massa M 1 ha un valore minore quindi occorre procedere con l’eliminazione di una quantità di massa  m : m  M  M 1 Dopo aver tolto dal pistone la quantità  m è possibile sbloccarlo senza che si abbiano spostamenti dello stesso. Il sistema termodinamico può ora scambiare energia meccanica e termica con l’ambiente esterno mentre, il sistema di capacità infinita e livello termico t  0   C  continua ad essere in contatto con il fondo conduttore del cilindro.Figura 6 – FASE 4 – SCAMBIO TERMICO A VOLUME COSTANTE CON SORGENTE A t=0° C 14
  15. 15. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino5. FASE 5 – Variazione della pressione e del volume a temperatura costante. Continuando il contatto del sistema termodinamico con il sistema esterno a 0° si procede variando la pressione p 2 aggiungendo o togliendo gradatamente piccole masse m dal pistone sino ad un valore di pressione esattamente pari alla pressione atmosferica normale a livello del mare, alla temperatura di 0° C:  N  p 0  101 . 325  2  m  La trasformazione del gas sarà talmente lenta da essere definita “Quasi-statica” e, oltre alla variazione di pressione, sarà accompagnata dalla variazione di volume e da scambi di energia termica in un senso o nell’altro tra il sistema termodinamico e il sistema a capacità infinita tali da mantenere inalterata la temperatura al valore t 2  0   C  . Alla fine della trasformazione “isoterma” i nuovi parametri caratteristici del gas saranno:  N  p3  p 0  101 . 325  2  m  V3 t 3  0  C  Sarebbe adesso possibile, conoscendo l’equazione generale di stato dei gas perfetti, determinare la quantità di gas – sottoforma di numero di moli – immessa nel cilindro all’inizio della sperimentazione, ma si tralascia il calcolo per riprenderlo successivamente. La fase 5 è conclusa con l’eliminazione del sistema esterno a temperatura 0° C, il ripristino della parete di fondo termo-isolante e con il bloccaggio del pistone nella posizione finale alla quale corrisponde la pressione del gas p 0 .Figura 7 – FASE 5 – VARIAZIONE PRESSIONE E VOLUME A TEMPERATURA COSTANTE 15
  16. 16. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino6. FASE 6 – Variazione della temperatura a volume costante. E’ la fase conclusiva che permette di ricavare i dati necessari alla dimostrazione della Legge di Gay-Lussac relativa alla dilatazione di un gas a volume costante. Il pistone è bloccato quindi non si avranno scambi di energia meccanica con l’ambiente esterno. Le condizioni iniziali del gas sono le precedenti:  N  p3  p 0  101 . 325  2  m  V3 t 3  0  C  A questo punto è rimossa la parete di fondo termo-isolante ed il sistema termodinamico è posto a contatto con una nuova sorgente a capacità termica infinita e livello termico t 4  0  C  . La temperatura del gas comincerà gradatamente ad aumentare portandosi, alla fine, alla stessa temperatura della sorgente. Nel contempo la pressione subirà un aumento sino alla pressione p 4 , superiore p 0 , ed il volume rimarrà naturalmente invariato. La dilazione del gas è impedita e, di conseguenza, sale la pressione. I risultati concernenti la pressione e la temperatura saranno annotati con precisione. Il valore della pressione si potrà ricavare utilizzando il solito manometro oppure aumentando le masse per mantenere fisso il pistone. Il procedimento è reiterato ponendo a contatto con il gas sorgenti termiche a temperatura sempre maggiore ed annotando sia le temperature che le pressioni caratteristiche dell’equilibrio termico. E’ comunque possibile utilizzare anche sorgenti con temperatura inferiore a 0° C. In questo caso si noterà un abbassamento della pressione che sarà annotata.Figura 8 – FASE 6 – VARIAZIONE DELLA PRESSIONE A VOLUME COSTANTE. 16
  17. 17. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino7. FASE 7 – Costruzione del diagramma pressione-temperatura e verifica della Legge sperimentale di Gay-Lussac per trasformazioni a volume costante. Utilizzando i risultati ottenuti dalla FASE 6 è realizzato un diagramma cartesiano che riporta sulle ascisse i valori delle temperature delle sorgenti utilizzate per riscaldare o raffreddare il gas contenuto nel cilindro e, in corrispondenza, i valori calcolati o misurati della pressione esercitata dal gas sulle pareti. I parametri iniziali saranno costituiti dal punto di coordinate t  t 0  0   C  e  N  p 0  1  atm   101 . 325  2  , rappresentativo dei valori tipici della FASE 5, mentre, m  tutti i punti successivi sono ricavati misurando le temperature delle diverse sorgenti e il corrispettivo valore della pressione del gas. Il diagramma ottenuto rappresenta graficamente la funzione analitica che, utilizzando come variabile indipendente il valore della temperatura in gradi Celsius, restituisce un corrispondente valore della pressione del gas. La funzione risulta di tipo direttamente proporzionale rispetto al semplice valore della variabile ed è quindi rappresentata da una retta inclinata rispetto all’asse orizzontale delle temperature. La retta deve intersecare l’asse verticale delle pressioni per il valore nullo della temperatura  N  ove la pressione risulta uguale alla pressione atmosferica normale p 0  101 . 325  2  . m  Analiticamente la funzione p  t  sarà del tipo: p  t   p 0   p  p 0  tg      t  t 0  p t   p 0  m  t  t 0  In cui il coefficiente angolare m è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni: p1  p 0 p2  p0 pn  p0 m    .......... ..  t1  t 0 t2  t0 tn  t0 In cui:  N  p 0  101 . 325  2  m  t0  0 C  Sperimentalmente il coefficiente m ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati: m    p 0  0 , 003661 p0 Considerando che l’equazione della retta: p t   p 0  m  t  t 0  è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente m è anche dato da: p0  p m  t0  t 17
  18. 18. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCon il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’assedelle temperature:p  0Si ottiene: p0m   p0  tDa cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gascontenuto nel cilindro teoricamente si annulla: 1 1t       273 ,16  C   0 , 003661Il valore teorico di temperatura, espressa in gradi Celsius, alla quale si annulla la pressionedel gas, corrisponde alla minima temperatura raggiungibile ed è definito “ZEROASSOLUTO” in quanto ad essa corrisponde il valore nullo della temperatura misurata con lascala Kelvin:t   273 ,16  C   T  0 K Il valore del coefficiente  , pressoché costante quando un gas può essere considerato“perfetto”, si ottiene dunque da:  C  1  1  0 , 003661  273 ,16E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportata alla pressioneatmosferica normale, per ogni aumento (diminuzione) di temperatura di un grado.L’equazione rappresentativa delle trasformazioni ISOCORE – a volume costante – di un gasperfetto contenuto in un sistema termodinamico ideale, detta anche LEGGE DI GAY-LUSSAC, può quindi essere scritta nella forma:p t   p 0  m  t  t 0   p 0    p 0  t  t 0 Sinteticamente: p0 p  p0  t ISOCORA (VOLUME COSTANTE) 273 ,16 p  p 0  1    t   C  1 1 Con:   273 ,16 18
  19. 19. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 9 – DIAGRAMMA TRASFORMAZIONE ISOCORA – SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC 19
  20. 20. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLA TRASFORMAZIONE ISOCORA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.La Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isocore – a volume costante – è più facilmenterappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando la scalaassoluta o scala Kelvin.Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti ivalori di temperatura rapportandoli ai Kelvin: Figura 10 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTAL’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:p T   m  TIn cui in coefficiente angolare m è dato da: p0 p0m   T0 273 ,16Per cui: p0 p  T ISOCORA (VOLUME COSTANTE) T0Oppure: p  T0  p 0  T (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI) p T  (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI) p0 T0 20
  21. 21. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoINTERPRETAZIONE DELLA LEGGE DI GAY-LUSSAC ESPRESSA IN KELVINLa Legge di Gay-Lussac relativa alla trasformazione isocora e con l’utilizzo della scala assoluta ditemperatura è interpretata facilmente se si considera il diagramma cartesiano che la rappresenta. Figura 11 – ISOCORA ESPRESSA CON LA SCALA ASSOLUTAAREE UGUALI DI RETTANGOLI:Il significato fisico della relazione: p  T0  p 0  Tcomporta, sul diagramma cartesiano p ; T , l’uguaglianza delle due aree rettangolari aventi basirispettivamente uguali l’una alla temperatura assoluta T 0 l’altra alla temperatura T corrispondentealla pressione p , ed altezze rispettivamente l’una uguale alla pressione p l’altra alla pressione p 0 . Figura 12 – UGUAGLIANZA DELLE AREE 21
  22. 22. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoConsiderato che tale uguaglianza deve valere per qualsiasi altra coppia di punti comunque dispostinel piano cartesiano a condizione che essi siano posizionati sulla retta di proporzionalità p  T  , adesempio due punti che definiremo 1 e 2 ognuno caratterizzato da condizioni di pressione etemperatura:Punto 1  p 1 ; T1Punto 2  p 2 ; T2Si ottiene: p 1  T 2  p 2  T1In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione etemperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K.SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI:Anche la relazione: p T  p0 T0ha un particolare significato geometrico relativamente al diagramma caratteristico dellatrasformazione isocora in quanto generata dalla semplice regola di similitudine tra triangoli simili: Figura 13 – REGOLA DI SIMILITUDINEAnche in questo caso si possono svincolare i punti considerando l’altra relazione equivalente:p2 T2 p1 T1Ovviamente le due interpretazioni sono coincidenti. 22
  23. 23. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoTRASFORMAZIONE ISOCORA.PRECISAZIONI CIRCA LA PRESSIONE p 0 DEL GAS A TEMPERATURA NULLA.La trasformazione di un gas contenuto in un sistema termodinamico ideale, da uno stato iniziale Aa uno stato finale B , se avviene a volume costate – ISOCORA -, è descritto dalla Seconda Legge diGay-Lussac ricavata in modo sperimentale utilizzando il dispositivo descritto precedentemente.La Legge di Gay-Lussac può essere scritta tenendo conto della temperatura assoluta utilizzando lascala Kelvin oppure della temperatura espressa in gradi centigradi o Celsius: p  p 0  1     t  Scala Celsius - ISOCORA p0 p  T Scala assoluta o Kelvin - ISOCORA T0In entrambi i casi, per determinare la pressione del gas ad una determinata temperatura, occorreconoscere il valore della pressione che lo stesso gas eserciterebbe nel recipiente di volume Vqualora la temperatura del sistema sia nulla (Celsius) oppure abbia un valore di 273,16 (Kelvin).Nell’utilizzare il dispositivo termodinamico ideale si è considerato, durante la FASE 5, di portare ilgas ad una temperatura t 0  0   C  ed ad una pressione p 0 pari alla pressione atmosfericanormale alla stessa temperatura  p 0  101 . 325 Pascal  .Ci si potrebbe domandare se la Legge di Gay-Lussac mantiene comunque la sua validità anche nelcaso in cui, a temperatura nulla, la pressione fosse diversa dal valore scelto prima in modoarbitrario.Potremmo ad esempio domandarci cosa succede, relativamente alla pressione, ad una certa quantitàdi gas compresso contenuto in una ruota d’automobile qualora la temperatura dovesse aumentarepassando da zero ad un determinato valore.Certamente la pressione iniziale alla temperatura nulla, dell’aria contenuta in una ruota, non è parialla pressione atmosferica normale ma sicuramente di parecchio superiore e non sono rari i casi incui, specialmente alle alte velocità, il riscaldamento della ruota è notevolissimo.La dilatazione a volume costante (il contenitore dell’aria o pneumatico non cambia in modoapprezzabile il suo volume, anche se la temperatura aumenta) ha sicuramente come risultato unaumento della pressione ma, tale aumento sarà ancora proporzionale alla pressione a temperaturanulla e, se la risposta è positiva, a quale pressione: quella reale iniziale o alla pressione  N p 0  101 . 325  2  dell’esperienza precedente?  m Per rispondere a questo quesito si può ancora ricorrere al sistema termodinamico ideale partendoperò, in questo caso, dalla FASE 5.Al termine della FASE 5 il gas aveva assunto la temperatura caratteristica della sorgente fredda,cioè 0   C  , e la pressione p 0 pari alla pressione atmosferica normale.Per far ciò si erano variate le masse appoggiate al pistone sino al raggiungimento dei valoririchiesti.Ora, mantenendo sempre a contatto il sistema termodinamico con la sorgente fredda a 0° C,aumentiamo nuovamente il numero di masse sul pistone in modo “Quasi-statico” aspettando ognivolta che il sistema raggiunga la temperatura d’equilibrio con la sorgente fredda. 23
  24. 24. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoSe sufficientemente lenta, la trasformazione del gas sarà di tipo “ISOTERMICO” a temperaturacostante.Il pistone tenderà verso il fondo del cilindro riducendo progressivamente il volume a disposizionedel gas e, di conseguenza, aumenterà la pressione dello stesso sulle pareti, pistone e fondo delcilindro.Possiamo aumentare la pressione in modo arbitrario esattamente come succede durante la fase digonfiaggio di una ruota, anche se il procedimento risulta completamente diverso.Infatti, durante la fase di gonfiaggio, si ottiene un aumento di pressione a volume costanteimmettendo una quantità d’aria sempre maggiore, mentre, nel nostro caso, l’aumento di pressione ècausato da una diminuzione di volume e non alla variazione della quantità di gas nel cilindro che,evidentemente, rimane la stessa. 1In ogni caso la FASE 5 si conclude, quando la pressione ha raggiunto un valore arbitrario p odiverso dal precedente p 0 .A semplice titolo d’esempio si potrebbe decidere di portare la pressione ad un valore pari a 3 volteil valore della pressione atmosferica normale, cioè:  N  1p 0  3  p 0  3  101 . 325  2   303 . 975  Pascal  m A detta pressione il volume del gas sarà nettamente inferiore al volume determinato nellaprecedente FASE 5.Anche in questo caso, supponendo di essere già a conoscenza della Legge di Boyle-Mariotte odell’equazione generale di stato, saremmo in grado di determinare il volume finale del gas, ma,come in precedenza si preferisce posticipare il calcolo.Iniziamo adesso una nuova FASE 6 che si svolgerà esattamente con le stesse modalità precedenti: Dopo aver eliminato la sorgente fredda alla temperatura di 0° C sostituendola con una sorgente più calda (ad esempio 50° C) e bloccato il pistone per mantenere costante il volume, aspettiamo che il gas raggiunga lo stato d’equilibrio termico con la sorgente e annotiamo la nuova pressione raggiunta p 50  . Reiteriamo l’operazione sostituendo le sorgenti, utilizzando sorgenti sempre più calde (si potrebbe ad esempio incrementare di 50° C la temperatura di ogni sorgente) ed annotando le relative pressioni d’equilibrio p 100  , p 150  , p 200  ,........ p 400  . Potremmo reiterare l’operazione utilizzando sorgenti a temperatura inferiore t  50  , t  100  ottenendo le relative pressioni.Anche in questo caso la parte sperimentale si conclude ed inizia la trascrizione dei risultati sulgrafico cartesiano pressione e temperatura.Rispetto al precedente si è modificato il punto caratteristico iniziale in quanto la pressionecorrispondente alla temperatura t 0  0   C  è stata arbitrariamente innalzata ad un valore 1  N p 0  303 . 975  2  , ma, nel contempo, si nota un aumento dell’inclinazione della retta m rappresentativa della funzione p  t  e il mantenimento di un punto fisso in corrispondenza del valorenullo della pressione e della temperatura corrispondente allo zero assoluto.In altre parole:La retta p  t  è più inclinata rispetto alla precedente e l’aumento d’inclinazione è causato da unarotazione in senso antiorario attorno al punto di coordinata p  0 . 24
  25. 25. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 14 – TRASFORMAZIONE ISOCORA – PRESSIONO INIZIALI DIVERSE – CONFRONTO.Analiticamente la nuova funzione p  t  sarà analoga alla precedente, cioè:p  t   p 0   p  p 0  tg   1    t  t 0  1 1p t   p 0  m 1  t  t 0  1In cui il coefficiente angolare m 1 è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni: 1 2 1 p1  p 0 p2  p0 pn  p0m    .......... ..  t1  t 0 t2  t0 tn  t0In cui: 1  N p 0  303 . 975  2  m t0  0 C Sperimentalmente il coefficiente m 1 ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati: 1 1m 1    p 0  0 , 003661  p 0Si nota che, pur modificando il valore di pressione iniziale, il valore del coefficienteangolare m 1 , diverso dal precedente, continua ad avere un valore pari alla stessa frazionedella pressione iniziale.In pratica il valore  continua ad essere pari a 0,003661. 25
  26. 26. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoConsiderando che l’equazione della retta:p t   p 0  m 1  t  t 0  1è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente m 1 èanche dato da: 1 p0  pm1  t0  tCon il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’assedelle temperature:p  0Si ottiene: 1 1 p0m1    p0  tDa cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gascontenuto nel cilindro teoricamente si annulla: 1 1t       273 ,16  C   0 , 003661Il valore del coefficiente  , pressoché costante quando un gas può essere considerato“perfetto”, si ottiene dunque da:  C  1  1  0 , 003661  273 ,16E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportato, questa voltaal valore della pressione iniziale del gas alla temperatura di 0° C, per ogni aumento(diminuzione) di temperatura di un grado.Rispetto all’equazione precedente la differenza di pressione per ogni aumento o diminuzione 1della temperatura del gas di un grado è maggiore in quanto maggiore è il prodotto   p 0 .L’equazione caratteristica di una trasformazione isocora segue dunque ancora la Legge diGay-Lussac anche se la pressione iniziale è diversa dalla precedente.Sinteticamente: 1 1 p0 p  p0  t ISOCORA (VOLUME COSTANTE) 273 ,16 p  p 0  1    t  1  C  1 1 Con:   273 ,16 26
  27. 27. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoUtilizzando la scala delle temperature assolute si ottiene: Figura 15 – ISOCORA – SCALA ASSOLUTA DELLE TEMPERATURE 1 p0 p  T ISOCORA (VOLUME COSTANTE) T0 Oppure: p  T0  p 0  T 1 p T 1  p0 T0 27
  28. 28. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino2° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOCORA – ESERCIZI.ESERCIZIO 1:Un pneumatico d’automobile è gonfiato alla pressione di 3 atmosfere e l’aria, da ritenersi in primaapprossimazione un gas perfetto, si porta alla temperatura ambiente t a  20   C  .Supponendo che, durante il moto dell’autoveicolo, l’aria subisca un innalzamento di temperaturapari a  t  70   C  e che il volume della ruota non subisca apprezzabili cambiamenti, determinarela pressione dell’aria alla nuova temperatura.Soluzione:La trasformazione del gas contenuto nella ruota è evidentemente ISOCORA in quanto non èmodificato il volume iniziale.Il gas assorbe calore dall’ambiente a causa degli inevitabili attriti, di conseguenza, non potendoscambiare energia meccanica, aumenta la propria energia interna che causa l’aumento di pressione.Si può quindi applicare la Legge di Gay-Lussac relativamente al tipo di trasformazione.Utilizzando la legge ricavata utilizzando la scala di temperatura assoluta si ha:p2 T2 p1 T1In cui:p2  x Pressione finale alla temperatura t 2  t a  70  90   C   N p 1  3 atm  3  101 . 325    303 . 975  Pascal  Pressione iniziale alla temperatura t a  20  m T 2  temperatur a assoluta finale  363 ,16 K T 1  temperatur a assoluta iniziale  293 ,16  K Otteniamo quindi: T2 363 ,16 Kp2   p1   303 . 975  Pa   376 . 557  Pa   3 , 716  atm  T1 293 ,16 KESERCIZIO 2:L’idrogeno contenuto in un serbatoio avente volume V  30 m 3  , alla pressione inizialep i  2 atm , è riscaldato da una temperatura iniziale t i  20  ad una finale t f  450  .Determinare la pressione finale p 2 .Soluzione:Si utilizza la legge:p2 T2 p1 T1Da cui: T2 723 ,16 Kp2   p1   2  atm  4 , 93  atm   499 . 532  Pa  T1 293 ,16 K 28
  29. 29. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 3:Determinare la pressione di un gas perfetto alla temperatura di 100° C, sapendo che allatemperatura di 30° C e allo stesso volume la pressione risultava 1, 4  10 5  Pa  .Soluzione:Si utilizza la legge:p2 T2 p1 T1Da cui: T2 373 ,16 Kp2   p1   1 , 4  10 5  Pa   1 , 72  10 5  Pa  T1 303 ,16 KESERCIZIO 4:Qual è la temperatura t 2 dell’aria, contenuta in un recipiente sigillato, alla pressionep 2  1 , 05  bar  se alla pressione p 1  1 , 27  bar  la temperatura è t 1  40   C  ?Soluzione:Si utilizza la legge:p2 T2 p1 T1Da cui: p2 1 , 05  bar T2   T1   313 ,16  258 , 91 K  p1 1 , 27  bar Otteniamo quindi:t 2  258 , 91  273 ,16   14 , 25   C E’ possibile pervenire ad un risultato analogo utilizzando la legge di Gay-Lussac scritta per letemperature espresse in gradi centigradi: p  p 0  1     t Occorre prima calcolare la pressione p 0 che il gas eserciterebbe alla temperatura t 0  0  C  , poicon tale pressione e la pressione finale determinare temperatura finale corrispondente:p 1  p 0  1     t Da cui: p1 1 , 27  bar p0    1 ,1078  bar   t   40   C   1   1      273 ,16   273 ,16   C  E poi:p 2  p 0  1     t  p2 1 p2 p01    t   t  p0 Ottenendo: 29
  30. 30. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino 1 , 05  bar  1 1 ,1078  bar t    14 , 25   C  1 273 ,16 La temperatura corrispondente alla pressione di 1,05 bar è quindi t 2   14 , 25   C ESERCIZIO 5:Un gas alla temperatura t 0  0  C  è contenuto in un recipiente cilindrico chiuso da un pistone cheha una superficie S  3 cm 2  .Il pistone è in equilibrio ed esercita sul gas una pressione pari a p 0  3 kPa .Determinare il valore della nuova massa da appoggiare sul pistone quando la temperatura del gas èinnalzata di un valore pari a  t  50   C  in modo tale che il pistone non cambi posizione.Soluzione:Si tratta di una trasformazione a volume costante in quanto il pistone non deve cambiare posizione.Occorre quindi calcolare il valore della pressione che eserciterà il gas alla nuova temperatura sullasuperficie interna del pistone.La pressione p 50  è data:p2 T2 T2 323 ,16  N    p 50    p0   3  kPa  3 , 546  kPa   3546  Pa   3546   2p0 T0 T0 273 ,16  m La differenza di pressione tra quella finale e quella iniziale deve essere bilanciata dalposizionamento di una nuova massa sulla superficie esterna del pistone, tale per cui: M gp  SQuindi:  3 . 546  3 . 000   N     3  10 4 m 2  p S 2 m M    0 , 01669  kg   16 , 69 g  g  m  9 , 81   2 s Lo stesso calcolo utilizzando la legge con le temperature in gradi Celsius:Calcolo della pressione alla temperatura di 50° C:  50   C    N p 50   p 0   1     t   3  kPa    1     3 , 549  kPa   3 . 549     273 ,16   C   m 2 Determino poi la massa seguendo lo stesso calcolo precedente:  N  549    3  10 4 m 2  p S 2 m M    0 , 01679  kg   16 , 79 g  g  m  9 , 81   2 s I risultati sono leggermente diversi per la diversa approssimazione. 30
  31. 31. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTEAnche la prima legge di Gay-Lussac è di tipo sperimentale ed è nuovamente utilizzato il sistematermodinamico ideale a gas perfetto.Contrariamente alla precedente è ora la pressione a rimanere costante durante tutta la fase finale diriscaldamento e/o raffreddamento del gas, mentre, il volume da esso occupato nel cilindro risultavariabile in dipendenza della temperatura.La legge analitica di una trasformazione ideale “ISOBARA” è nella forma della precedente isocora:V  V 0  1     t In cui si intendono:V Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura finaleV0 Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura di riferimento t 0  0   C  t Differenza di temperatura tra le fasi iniziali e finali del sistema Coefficiente sperimentale il cui valore è sensibilmente uguale a quello di  per l’isocoraAnche in questo caso, come si vedrà, è possibile utilizzare una forma semplificata della Leggequalora si decida di utilizzare la scala assoluta delle temperature: V0V  T T0La sperimentazione utilizza lo stesso dispositivo ideale a gas perfetto già descritto per latrasformazione a volume costante in una condizione iniziale preparatoria corrispondente all’iniziodella FASE 6.Ciò significa che le prime cinque fasi possono essere considerate identiche alle precedenti. FASE 6 – Variazione continua della temperatura del sistema con mantenimento della pressione iniziale. Contrariamente alla sperimentazione precedente, relativa alla trasformazione isocora, si tiene conto, annotandolo, del volume occupato dal gas alla temperatura iniziale del sistema termodinamico. Ricordando che il sistema è collegato ad una sorgente alla temperatura t 0  0   C  e considerando che entrambi sono in equilibrio termico, si conclude immediatamente che la temperatura del sistema è pari a quello della sorgente. Facendo inoltre riferimento a quanto illustrato a proposito del valore iniziale di pressione circa la corrispondenza o meno alla pressione atmosferica normale è già possibile anticipare che, anche a proposito del volume, vale la stessa regola:  La variazione di volume a pressione costante dipenderà unicamente dal valore iniziale dello stesso alla temperatura nulla e sarà costituita sempre dalla stessa frazione. In buona sostanza si ribadisce l’esistenza di un coefficiente moltiplicatore costante avente le stesse caratteristiche di  . Non occorre quindi riportare il volume iniziale, come si fatto inizialmente per la pressione, al valore che normalmente occuperebbe una mole di gas alla pressione atmosferica normale e alla temperatura nulla. Detto questo, occorre ora variare la temperatura del gas mantenendo costante la pressione che lo stesso esercita sulle pareti del cilindro. 31
  32. 32. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIl pistone, essendo sbloccato, è libero di muoversi per effetto della dilazione del gas che nonè quindi più impedita.Durante la trasformazione la massa M applicata al pistone non sarà variata in modo tale dagarantire la costanza della pressione interna pari al valore iniziale: M g  p*p0  2 rIl sistema termodinamico è ora in grado di modificare la propria geometria strutturalecedendo o assorbendo dai sistemi ad esso collegati anche lavoro meccanico per effetto dellospostamento del pistone il quale incrementa, oltre tutto, la sua energia potenziale.La temperatura del gas è variata applicando di volta in volta, come al solito, sorgenti atemperatura crescente ed aspettando il tempo necessario per permettere ai sistemi diriportare l’equilibrio termico.Le quantità di calore cedute, di volta in volta, dai sistemi esterni al sistema termodinamicoattraverso la parete conduttrice di fondo serviranno sia per la dilatazione del gas siaall’incremento dell’energia interna dello stesso.Si ricorda che l’unico risultato di una trasformazione isocora era l’incremento o ildecremento dell’energia interna in quanto al sistema termodinamico non era concessa lapossibilità di scambiare energia meccanica.Possiamo già quindi immaginare che per ottenere la stessa variazione di energia interna delgas, nel caso di trasformazione isobara, sia necessario scambiare una maggiore quantità dicalore con il sistema esterno.Procedendo ad esempio con sorgenti caratterizzate da un variazione di temperatura di 50°una dall’altra, occorrerà prendere nota con misurazioni accurate del volume occupato dal gasper ogni condizione d’equilibrio semplicemente misurando il volume tra il fondo delcilindro e la parte interna del pistone.Figura 16 – FASE 6 – TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTE 32
  33. 33. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFASE 7 – Costruzione del diagramma e della legge analitica della trasformazione isobara.I risultati ottenuti annotando, per ogni variazione di temperatura, il relativo valore delvolume V saranno utilizzati per la costruzione di un diagramma cartesiano di assi V ; t .Il diagramma sarà rappresentato abbastanza fedelmente da una retta inclinata passante per ilpunto, sull’asse del volume, di coordinate:  V0    t0  0 C E, come si vedrà, per il punto sull’asse delle temperature, caratterizzato dalle coordinate: V  0     t   273 ,16  C La retta sarà caratterizzata dall’equazione:V t   V0   V  V0  m  t  t 0 In cui il coefficiente angolare m ha un valore:m  .  V0Il coefficiente angolare m rappresenta, questa volta, l’incremento di volume subito dal gasper una variazione di temperatura di 1 grado e, come nel caso della trasformazione isocora, èuna frazione, di valore  , del volume iniziale alla temperatura nulla.Tale frazione è ancora uguale a: 1   0 , 003661 273 ,16   C Quindi, alla fine, la prima Legge di Gay-Lussac, relativa alla trasformazione isobara, risultanelle seguenti forme:V t   V 0    V 0   t  t 0   V 0  1     t  t 0    t  t0   t V t   V0  1    V0  1   LEGGE GAY-LUSSAC  273 ,16   273 ,16  TRASFORM. ISOBARA 33
  34. 34. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Figura 17 – PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOBARA.LA TRASFORMAZIONE ISOBARA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.La Prima Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isobare – a pressione costante – è piùfacilmente rappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando lascala assoluta o scala Kelvin.Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti ivalori di temperatura rapportandoli ai Kelvin: Figura 18 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTA 34
  35. 35. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoL’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:V T   m  TIn cui in coefficiente angolare m è dato da: V0 V0m   T0 273 ,16Per cui: V0 V  T ISOBARA (PRESSIONE COSTANTE) T0Oppure: V  T0  V0  T (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI) V T  (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI) V0 T0Svincolando anche in questo caso il punto origine si ottengono le due relazioni equivalenti: V 1  T 2  V 2  T1 V2 T2  V1 T1In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione etemperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K. 35
  36. 36. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino1° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOBARA – ESERCIZI.ESERCIZIO 1:Supponendo di scaldare un volume di gas pari a V1  100 dm  con pressione costante, da una 3temperatura t 1  25   C  ad una temperatura t 2  100   C  , determinare il volume finale occupatodal gas.Soluzione:La trasformazione è isobara, si può quindi applicare la prima Legge di Gay-Lussac nella forma:V2 T2  V1 T1Da cui si ottiene: K   100 dm   125 ,16 dm  T2 373 ,16 3 3V2   V1  T1 298 ,16  K Allo stesso risultato si perviene utilizzando la formula con la temperatura in Celsius ove, peròoccorre prima determinare il volume occupato dal gas alla temperatura nulla:V 1  V 0  1     t 1  t 0 V0  V1  100 dm 3   91 , 61 dm  3  1    t1 1  0 , 003661 C  1   25 C Ed infine:V 2  V 0  1     t 2  t 0   91 , 61 dm  3   1  0 ,003661 C  1   100 C    125 ,15 dm 3 ESERCIZIO 2:Calcolare la temperatura alla quale bisogna portare una massa di idrogeno affinché il suo volume, di20 litri alla temperatura di 20° C, salga a 30 litri, supponendo che la pressione rimanga costantedurante la trasformazione.Soluzione:La trasformazione è isobara, per cui:V2 T2  V1 T1 V2 30  l T2   T1   293 ,16 K   439 , 74 K   166 , 58   C  V1 20  l Utilizzando la scala Celsius:V 20   V 0   1     t 20   t 0  V 20  20 l V0     18 , 63 l  1  0 , 003661  20  1  0 , 003661  20V t  x  V 0   1     t  t 0  36
  37. 37. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDa cui: 30  l 1    t  t 0   18 , 63  l  1 , 61  1 0 , 61t  t0    166 , 62  C   0 , 003661t  166 , 62   C Risultato analogo al precedente. ESERCIZIO 3:Una certa quantità di gas, inizialmente alla temperatura t 0  0   C  , subisce una trasformazione incui è triplicato il suo volume mantenendo costante la pressione.Qual è la temperatura del gas al termine della trasformazione?Soluzione:La trasformazione è isobara e, definendo V 0 il volume occupato alla temperatura iniziale, siottiene:Vf Tf V0 T0Da cui si ottiene: Vf 3  V0Tf   T0   T 0  3  T 0  3  273 ,16 K   819 , 48 K   546 , 32   C  V0 V0Oppure:V f  V 0  1    t f  3  V01    tf   3 V0 31 2tf    2  273 ,16  546 , 32   C   0 , 003661 37
  38. 38. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 4:In un cilindro di raggio r  30  cm  ed altezza indefinita è contenuta una quantità di gas cheoccupa inizialmente un volume V i  5 m  alla temperatura t i  50   C  . Il pistone di massa 3M  30  kg  è in equilibrio e la pressione dell’ambiente esterno è una frazione pari all’ 85 % dellapressione atmosferica normale.Determinare, supponendo che il gas subisca una trasformazione isobara, l’aumento di energiapotenziale del pistone, quando la temperatura è incrementata di  t  800   C  .Soluzione:La pressione del gas contenuto nel cilindro è pari a: 2 2 2pi    r  M  g  p *   r  M  g  0 ,85  p a    r  m  30  kg   9 , 81  2  M g s   N   N pi   0 , 85  p a   0 , 85  101 . 325  2   87 . 168  2   r 2   0 ,3 2 m 2 m  m  87 . 168pi   0 , 86  atm  101 . 325Considerato che la trasformazione è isobara, tale pressione si manterrà costante con l’aumento ditemperatura.Il volume occupato dal gas dopo l’incremento di temperatura sarà:V 850  T 850   V 50  T 50 Da cui: 1 . 123 ,16  K V 850    5 m 3   17 , 38 m  3 323 ,16  K Ad un incremento di volume pari a:V 850   V 50   17 , 38  5  12 , 38 m   3Corrisponde un incremento di quota del pistone pari a: 2  r   h   V  12 , 38 m   3Da cui si ricava: 12 , 38 m  3 h   43 , 81  m  3 ,14  0 , 3 2 m  2E il relativo incremento di energia potenziale:  N  E P  M  g   h  30  kg   9 , 81    43 , 81  m   12 . 893 N  m   12 . 893  J   kg  38
  39. 39. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE TRASFORMAZIONE ISOTERMA A TEMPERATURA COSTANTE.Come si è visto, le due Leggi di Gay-Lussac descrivono il comportamento di un gas dal punto divista della variabilità della pressione e del volume in funzione del solo parametro di stato“temperatura”.La trasformazione è definita ISOBARA se, con la variazione di temperatura, è il solo volume amodificarsi, mentre la pressione rimane costante; è definita ISOCORA se, con la temperatura, simodifica la pressione ed il volume rimane inalterato.Se, al contrario, è la temperatura a rimanere costante durante la trasformazione, gli altri dueparametri – pressione e volume – subiranno delle variazioni.La trasformazione a temperatura costante è definita “ISOTERMICA” o “ISOTERMA” ed èdescritta dalla Legge sperimentale di Boyle-Mariotte.La Legge di Boyle-Mariotte (ISOTERMA) e le due Leggi di Gay-Lussac (ISOBARA e ISOCORA),unitamente, saranno poi utilizzate quali basi di partenza per lo studio della “Legge Generale di Statodei gas perfetti” ove compariranno la “Costante Generale di stato” e la quantità molecolare effettivadi gas.Anche la Legge di Boyle-Mariotte è di tipo sperimentale ed anche in questo caso, per studiarla,conviene utilizzare il sistema termodinamico ideale contenente gas perfetto.Prima di iniziare l’utilizzo teorico del sistema ideale occorre, però, anticipare alcune informazioniche sono emerse in modo sufficientemente chiaro dallo studio delle trasformazioni isocore edisobare. La più o meno rapida compressione di un gas, contenuto nel sistema termodinamico in equilibrio termico con una sorgente esterna, provoca un brusco aumento di temperatura e di pressione e una conseguente variazione dello stato di equilibrio termico precedente. Il gas soggetto ad una compressione si riscalda e, per mantenersi in equilibrio termico con la sorgente a capacità infinita, deve poter cedere energia termica alla stessa. La rapidità e l’entità della compressione determinano, in prima approssimazione, il valore della variazione termica. Una pompa per bicicletta si riscalda durante le compressioni dello stantuffo. Se la compressione è effettuata in modo “Quasi-statico”, ad esempio appoggiando al pistone piccoli pesi in aggiunta a quelli già presenti, il riscaldamento del gas è minimo e uniforme in tutto il cilindro ma la temperatura del sistema è comunque sempre superiore a quella della sorgente esterna e lo scambio termico per riportare l’equilibrio è inevitabile anche se di durata ridotta. La più o meno rapida espansione determina, al contrario, una diminuzione di temperatura e il conseguente prelievo, dalla sorgente, di una certa quantità di energia termica. La brusca espansione del liquido frigorifero in pressione all’interno dell’evaporatore provoca l’immediata trasformazione da fase liquida a fase gassosa e il conseguente raffreddamento del sistema ad esso collegato. E’ questo il principio di funzionamento dei frigoriferi e dei condizionatori estivi. Sia la compressione che l’espansione del gas, essendo esso inizialmente in equilibrio con la sorgente a capacità termica infinita, devono essere necessariamente provocate dall’azione di forze esterne e dal conseguente flusso, in entrata o uscita, di energia meccanica. 39

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