вища математика

3. Теорема.
Якщо функція  xf неперервна на
відрізку  ba, , то   ii
n
ix
xxf
i

 10max
lim
існує і скінчений, тобто існує і
скінчений  
b
a
dxxf .

4. 1.   
a
a
dxxf 0;
2.  
b
a
abdx ;
3.     
b
a
a
b
dxxfdxxf ;
4.           
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf 2121 ;

5. 5.     
b
a
b
a
dxxfKdxxKf ;
6.        
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf ;
7.   
b
a
dxxf 0 , если   0xf .

6. Теорема.
Нехай  xF - первісна функції  xf . Тоді
      
b
a
aFbFdxxf .
Цю формулу називають формулою
Ньютона-Лейбніца.

7. 









 0
3
1
3
3
1
3
0
3
1
3
0
3
1
3
0
3 33 eeedxedxe
xx
x
  e
e
e
e







  1
31
1
313 1

8. Теорема (Заміна змінної в
визначеному інтегралі).
Нехай  xf неперервна на  ba, , а
функція  tx  неперервна разом із
своєю похідною  t на відрізку
 , , при чому  a ,  b .
Тоді       dtttfdxxf
b
a
  


 .

9.  









2
1
23
0
2
2
2
1
2,3
1,0
2,1
1
1
1
tdt
t
t
tx
tx
tdtdxtx
tx
tx
x
xdx
    

















  







 1
3
1
2
3
8
2
3
21212
2
1
2
1
2
1
3
22
t
t
dttdtt
3
8
3
4
21
3
7
21
3
1
2
3
8
2 













10. Теорема (Інтегрування частинами
в визначеному інтегралі).
Якщо функції  xuu  ,  xvv  і їх
похідні  xu і  xv неперервні на
відрізку  ba, , то  
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .

11.  



eee
x
dx
xxx
xvdxdv
x
dx
duxu
xdx
1
1
1
ln
,
,ln
ln
111lnlnln 1
1
1
 eexeedxxx
eee

12. Примітка
 dxxf
a


не є визначеним інтегралом. Вважається
за означенням, що     

a
b
ab
dxxfdxxf lim . Якщо
ця границя скінчена, то  

a
dxxf , який називають
невласним, збіжний.
Якщо ця границя не є скінченою, то інтеграл
розбіжний.

13. 

0
2
4x
xdx
2
2
2 2 0
0 0
2
1 ( 4) 1
lim lim ln( 4)
4 2 4 2
1
lim (ln( 4) ln 4)
2
b
b
b b
b
xdx d x
x
x x
b

 


   
 
    
 
Цей невласний інтеграл розбіжний

14. 2
0
4
dx
x



1 1
lim ( )
2 2 2 2 2 4b
b
arctg arctg
 

    


15. Площу криволінійної
трапеції обчислюють
за формулою
 
b
a
dxxfS .
0

16. Площу фігури, обмеженої графіками неперервних функцій
 xfy 1 ,  xfy 2 ,    xfxf 21  і двома прямими ax  і bx 
знаходять за формулою      
b
a
dxxfxfS 12

17. Якщо параметричне задання
кривої, площу фігури, обмеженої
прямими , віссю Ох і кривою
обчислюють за
формулою
де границі інтегрування визначають з
рівнянь
bxax  ,
),(),( tytx  
,)()(
2
1
 
t
t
dtttS 
)(),( 21 tbta  

18. Площу полярного сектора обчислюють за
формулою



drS )(
2
1 2

)(rr 

19. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями
322
 xxy 12
 xy

20.       

dxxxxS
1
2
22
132   

1
2
2
422 dxxx
  

1
2
2
22 dxxx 










1
2
23
2
23
2 x
xx
























 6
3
8
2
2
1
3
1
24
2
4
3
8
2
2
1
3
1
2
9
2
9
2
2
1
832 













21. Знайти площу еліпса .
Параметричні рівняння еліпса
12
2
2
2

b
y
a
x
.sin,cos tbytax 
.
2
2)2sin
2
1
(4
2
1
2
2cos1
4sin4
)sin(sin4
2/
0
2/
0
2/
0
2
0
2/
ababttab
dt
t
abtdtab
dttatbS












22. Площа фігури, обмежена
лемнискатою Бернуллі
і яка лежить зовні круга
2cos22
ar 
2
a
r 
 
6/
0
22
6/
0
26/
0
2
)
4
1
2sin
4
1
(
22
1
2cos
2
1

 aad
a
da
)
3
3(
8
)
62
3
(
4
)
63
(sin
4
1 22
2 

aa
a
)
3
3(
2
2


a
S

23. Якщо крива задана параметричними
рівняннями , , то
довжина її дуги
,
де – значення параметра, відповідно
кінцям дуги .
 tx   ty 
      dtttl
t
t
 
2
1
22

21 t,t

24. Якщо крива задана рівнянням ,
то , де a, b – абсциси
початку і кінця дуги .
Якщо крива задана рівнянням
, то , де c, d–
ординати початку і кінця дуги
 xfy 
   dxxfl
b
a
  2
1
 ba 
 ygx     dyygl
d
c
  2
1
 dc 

25. Якщо крива задана рівнянням в полярних
координатах , то
,
де –значення полярного кута,
відповідного кінцям дуги .
  
      


dl   22
,

26. Обчислити довжину дуги кривою
від точки до . .
, тоді
3
xy 
 00,O  84,B
2
1
2
3
2
3
xxy 






  dxxl
4
0
4
9
1
4
0
4 9 9
1 1
9 4 4
xd x
 
   
 

 
3
2 4
0
4 2 9 8
1 10 10 1
9 3 4 27
x
 
     
 

27.   
b
a
x dxxfπV 2
 xfy  bxa  bx,ax 
 ygx  dyc  dy,cy 
  
d
c
y dyygV 2


28. А
0
1
1
y
2
xy 
xy 
     
1
0
22
1
0
2
dxxdxxVx 
1 1
4
0 0
xdx x dx    

1
0
51
0
2
52
xx

10
3
52

