7. Правило суми
Якщо елемент А можна вибрати m
способами, а (не залежно від цього
вибору) елемент В – k способами, то «А
або В» можна вибрати (m+k) способами.
8. Правило добутку
Якщо елемент А можна вибрати m
способами, і після кожного такого вибору
елемент В – k способами, то «А і В»
(впорядкована пара елементів(А;В)) можна
вибрати mk способами.
Перша
цифра
Друга
цифра
Третя
цифра
Число
1 2 3 123
3 2 132
2 1 3 213
3 1 231
3 1 2 312
2 1 321
Скільки різних трицифрових чисел
можна записати цифрами 1,2,3 без
їх повторень?
3 2 1 6× × =
9. 4 3 2 1 24× × × =
Приклад 1.
Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з
цифр 1,2,3,4 так, щоб у кожному числі всі цифри
були різними?
Розв’язання. Використовуючи правило
добутку, маємо:
Відповідь. 24 способами.
10. Приклад 2
Для захисту інформації на комп’ютері використовують пароль
– послідовність літер або цифр довжиною від 3 до 5 символів
(пароль може мати декілька однакових символів). Скільки
різних паролів можна утворити, використовуючи 26 літер та 10
цифр?
Розв’язання.
•Пароль містить три символи. Обираємо перший символ.
Маємо 36 можливостей це зробити. Для другого – теж 36, як і
для третього. Тоді, за правилом множення, загальна
кількість паролів дорівнює 363
.
•Якщо ми вирішимо, що пароль міститиме 4 символи, то
кількість різних паролів становитиме 364
. Якщо ж наш вибір –
5 символів, то варіантів 365
.
•Тому, за правилом суми, загальна кількість можливих
варіантів паролів 363
+364
+365
.
11. При обчисленні добутків послідовних натуральних чисел, починаючи з 1 і до n
добуток називають факторіалом і позначають знаком «!»
n!=1·2·3·…·n
12. Приклад 3
Скільки різних п’ятицифрових натуральних чисел можна
скласти з цифр 0,1,3,5,7, якщо цифри у кожному числі не
повторюються?
Розв’язання.
Для вибору 1-ї цифри маємо 4 можливих варіанти, бо з 0
число не почнеш.
Тоді для 2-ї цифри теж 4 варіанти (0 і ще 3 інших цифри),
для 3-ї – 3 способи,
для 4-ї – 2 способи,
для 5-ї – залишиться 1 цифра.
За правилом добутку всього: 4·4·3·2·1=96.
Відповідь: 96.
14. Розміщення
Arrangement (фр.)
Розміщенням з n елементів по к називають будь-
яку впорядковану к-елементну підмножину даної n-
елементної множини.
( )
!
!
k
n
n
A
n k
=
−
16. Як розв’язувати задачі
Чи важливий порядок елементів у множині? (впорядкована, не впорядкована)
Приклади впорядкованих множин: розклад уроків на понеділок: алгебра, фізика,
інформатика, українська мова, історія України – впорядкована множина навчальних
предметів, число 2579 – впорядкована множина цифр, координати точки К(-1;6;11) –
впорядкована множина чисел;
Приклади невпорядкованих множин: множина підручників у рюкзаку; вміст шухляди
письмового стола: 2 однакові гумки, 5 однакових олівців, 7 однакових кулькових ручок, 9
однакових конвертів; множина трьох чергових з числа студентів групи.
Так, порядок важливий Ні, порядок не має значення
Чи всі елементи входять до сполуки? Комбінації
Так
(наприклад: всі п’ятицифрові
числа з цифр 1,2,3,7,9)
Ні, лише їх частина
(наприклад: пароль із
семи знаків, взятих із
26 літер латинського
алфавіту та 10
арабських цифр)
Перестановки Розміщення
17. Біном Ньютона
Загальний член розкладу:
Трикутник Паскаля
(a+b)0 1
(a+b)1 1 1
(a+b)2 1 2 1
(a+b)3 1 3 3 1
(a+b)4 1 4 6 4 1
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
( ) ... ...n n n n n k n k k n n n
n n n n na b a C a b C a b C a b C a b C a b b− − − − − −
+ = + × + × + × + + × + + × +
1
k n k k
k nT C a b−
+ =
