4. | a |
r
| |AB
uuur
Відстань між початком вектора і його кінцем називають
довжиною (або модулем) вектора і позначають
або
.
Вектори, які лежать на одній прямій або паралельних прямих,
називають колінеарними
5. Вектори
a
r і b
r
рівні, якщо вони колінеарні, мають однакові модулі
і однакові напрями
a
r
b
r
Два вектори називають протилежними, якщо вони
колінеарні, мають однакові модулі і протилежні напрями.
6. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають
нуль–вектором. Напрям його не визначений.
Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають
нуль–вектором. Напрям його не визначений.
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називають
одиничним вектором.
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називають
одиничним вектором.
Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом
вектора називають
ортом вектора і позначають
Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом
вектора називають
ортом вектора і позначають
a
r
0a
r
Три вектори називають компланарними, якщо вони
лежать в одній або паралельних площинах.
Три вектори називають компланарними, якщо вони
лежать в одній або паралельних площинах.
7. 1) додавання (віднімання) векторів;
2) множення вектора на число (скаляр).
a
r
b
r
Сумою векторів
і
називають вектор
який сполучає початок вектора з кінцем вектора
за умови, що вектор
Правило трикутника
і a
r
+ b
r
a
r
b
r
b
r
прикладений до кінця вектора a
r
a
r b
r
+a
r
b
r
8. Суму двох векторів можна будувати також за правилом
паралелограма
a
r
b
r
a
r
b
r
+
9. Віднімання векторів визначається як дія, обернена
додаванню.
a
r
b
r
Різницею векторів і називають вектор –
який в сумі з вектором складає вектор
або, іншими словами, це вектор, що сполучає кінець вектора
з кінцем вектора за умови, що і
прикладені до спільного початку
a
r
b
r
b
r
a
r
b
r
a
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
– b
r
10. a
r
λ
a
r
λ | | | || |a aλ = λ
r r
a
r
0λ > a
r
0λ <
Добутком вектора на скаляр
називають вектор такий, що
і напрям якого збігається з напрямом вектора
якщо , або протилежний до напряму
якщо
a
r
a
r
λ a
r a
r
λ
0λ > 0λ <
11. Віссю називають напрямлену пряму, на якій вибрано
початок відліку, додатний напрям і одиницю довжини.
Проекцією вектора на вісь u називають додатне число,
якщо вісь u і вектор однаково напрямлені, і від’ємне
число , якщо вісь u і вектор протилежно
напрямлені .
1 1| |A B
uuuuur
1 1| |A B−
uuuuur
a
r
u
В1А1
А
В
φ
uВ1 А1
А
В
φ
А б
11BA
11BA
12. Застосовуючи лінійні операції над векторами, можна
знаходити вирази вигляду
1 1 2 2 ... n nx a x a x a+ + +
r r r
1 2, , ... , na a a
r r r
числа 1 2, , ..., nx x x -коефіцієнти.
1 2, ,..., nc c c
1 2, , ... , na a a
r r r
1 1 2 2 ... 0n nc a c a c a+ + + =
r r r
1 2, ,..., nc c c
13. 1 2, , ... , na a a
r r r
n
R
n
R
1 2, , ..., nx x x
Сукупність лінійно незалежних векторів
якщо для кожного вектора з
існують такі дійсні числа
що справедлива рівність:
1 1 2 2 ... n nb x a x a x a= + + +
r r r r
b
r
1 2, , ... , na a a
r r r
.
14. Базисом на площині називають довільну упорядковану
пару неколінеарних векторів.
Базисом у просторі називають довільну упорядковану
трійку некомпланарних векторів.
d a b c= α + β + γ
r rr r
d
r
Якщо вектори
,
– базис у просторі і вектор
розкладений за базисом, тобто
то числа називають координатами вектора
в даному базисі.
cba
rrr
і,
γβα ,, d
r
15. Точку О і упорядковану трійку некомпланарних векторів
1 2 3, ,e e e
r r r
(базис) називають декартовою системою координат у просторі.
Точка О – початок координат, а осі, які проходять через
початок координат в напрямі базисних векторів,
називають осями координат.
Упорядковану трійку одиничних попарно ортогональних
векторів
, ,i j k
rr r
| | 1, | | 1, | | 1i j k= = =
rr r
16. Рене Декарт (1596-1650) –
великий французький філософ,
фізик, математик і фізіолог.
Математику називав як науку “про
порядок і міру”.
Вважав що математика більш ніж
інші науки відповідає вимогам
розуму.
Поклав в основу своєї наукової
філософії поняття про рух матерії.
Вніс рух у математику. Ввів поняття
змінної величини.
Рене Декарт (1596-1650) –
великий французький філософ,
фізик, математик і фізіолог.
Математику називав як науку “про
порядок і міру”.
Вважав що математика більш ніж
інші науки відповідає вимогам
розуму.
Поклав в основу своєї наукової
філософії поняття про рух матерії.
Вніс рух у математику. Ввів поняття
змінної величини.
17. Довільній точці М простору можна співставити у ПДСК вектор
r OM=
uuuurr
r xi yj zk= + +
rr rr
Координати x, y, z радіус - вектора OM
uuuur
19. Нехай в ПДСК Oxyz задано вектор a
r
Це означає, що в ортонормованому базисі , ,i j k
rr r
вектор a
r можна подати у вигляді
x y za a i a j a k= + +
rr rr
де , ,x y za a a координати вектора a
r
у цьому базисі.
20. Ці координати – проекції вектора a
r
| | cosx xa np a a= = α
r r
| | cosy ya np a a= = β
r r
на координатні осі, тобто
| | cosz za np a a= = γ
r r
де , ,α β γ кути, які вектор a
r
утворює з осями координат x y zΟ ,Ο ,Ο
x
y
z r OM=
uuuurr
α
β
γ
O
21. Довжину (модуль) вектора a
r
знаходять за формулою
2 2 2
| | x y za a a a= + +
r
Напрямні косинуси :
cos
| |
xa
a
α = r cos
| |
ya
a
β = r cos
| |
za
a
γ = r
2 2 2
cos cos cos 1.α + β + γ =
22. Якщо відомі координати початку 1 1 1( , , )A x y z
та кінця 2 2 2( , , )B x y z вектора AB
uuur
то його координати знаходять за формулою
2 1 2 1 2 1( , , )AB x x y y z z= − − −
uuur
Довжина вектора AB
uuur
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )AB x x y y z z| |= − + − + −
uuur
23. A
B
M
( )1 1 1, ,A x y z
( )2 2 2, ,B x y z
М(x, y, z),
:AM MB| | | |= λ
uuuur uuur
1 2
1
x x
x
+ λ
=
+ λ
1 2
1
y y
y
+ λ
=
+ λ
1 2
1
z z
z
+ λ
=
+ λ
Координати точки, яка ділить відрізок навпіл (λ=1):
1 2
2
x x
x
+
= 1 2
2
y y
y
+
= 1 2
2
z z
z
+
=
