สรุปเนื้อหา เรื่อง เซต สำหรับนักเรียน ม.4

1. “ เซต ” ( Sets )
สรุป กลุ่มของสิ งต่างๆ ในทางคณิ ตศาสตร์ เรี ยกว่า “ เซต ” ( Sets ) และเรี ยกสิ งต่างๆ ทีอยูในเซตว่า
่
“ สมาชิก ” ( elements หรื อ members ) ของเซตใช้สัญลักษณ์ คือ ∈ และใช้สัญลักษณ์ ∉ แทนคํา
ว่า “ ไม่เป็ นสมาชิก ” และจํานวนสมาชิกของเซต เขียนแทนด้วย n( A )
การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
1) สมาชิกทุกตัวของเซตเขียนลงในเครื องหมายวงเล็บปี กกา
2) ใช้เครื องหมาย “ , ” คันระหว่างสมาชิกแต่ละตัว
3) แทนชือเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ และแทนสมาชิกของเซตด้วย
ตัวพิมพ์เล็ก
สัญลักษณ์แทนเซตของจํานวนต่างๆ
I+ แทนเซตของจํานวนเต็มบวก = { 1, 2, 3, … }
I- แทนเซตของจํานวนเต็มลบ = { -1, -2, -3, … }
I แทนเซตของจํานวนเต็ม = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }
N แทนเซตของจํานวนนับ = { 1, 2, 3, … }
R แทนเซตของจํานวนจริ ง
ตัวอย่าง A = เซตของจํานวนเต็มทีสอดคล้องกับสมการ x2 + 2x – 15 = 0
A = { -5, 3 }
B = เซตของจํานวนนับทีสอดคล้องกับสมการ x2 + 2x – 15 = 0
B = {3}
นิยาม เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตทีกําหนดขึน โดยมีขอตกลงว่าจะไม่กล่าวถึงสิ งใดนอกเหนือจากสมาชิก
้
ของเซตทีกําหนดขึนนี ใช้สัญลักษณ์ U แทน เอกภพสัมพัทธ์

2. การเท่ ากันของเซต
่
บทนิยาม เซต A และเซต B เป็ นเซตทีเท่ากันก็ตอเมือเซต A และเซต B มีสมาชิกเหมือนกัน
กล่าวคือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกทุกตัวของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็ น
สมาชิกทุกตัวของเซต A เขียนแทน เซต A เท่ากับเซต B ด้วย A = B
ตัวอย่าง E = { x x2 – 6x + 8 = 0 } , F = { -4, -2 } จงพิจารณาว่าเซตสองเซตนีเท่ากันหรื อไม่
วิธีทา จากเซต E จะได้ ( x – 4 )( x – 2 ) = 0
ํ
x = 4 หรื อ x = 2
ดังนัน E = { 4, 2 } นันคือ E ≠ F

3. ใบความรู้ ที 1
เรือง เซตจํากัดและเซตอนันต์
เราสามารถบอกจํานวนสมาชิ กได้ แน่ นอน
ในกรงมีนกอยู่ 3 ตัว เราจะนับได้เลยว่าในกรงมีนกอยู่ 3 ตัวจริ ง
ในทะเลมีปลาเยอะแยะเลย เราก็จะบอกไม่ได้วาในทะเลมีปลาอยูกีตัว
่ ่
เราไม่ สามารถบอกจํานวนสมาชิกทีแน่ นอนได้
ํ
ครู กาหนด A = { 1, 3, 5, 7, 9, …, 21 } เซต A มีสมาชิกทีแตกต่างกัน 11 ตัว หรื อ
n( A ) = 11
่ ่
เพราะฉะนัน จะเห็นได้วาเราสามารถบอกจํานวนสมาชิกของเซต A ได้วามี 11 จํานวน เซต
ลักษณะนีเราเรี ยนว่า “ เซตจํากัด ”
เซตจํากัด คือ เซตทีมีจานวนสมาชกเป็ นจํานวนเต็มบวกหรื อศูนย์
ํ
ํ
ครู กาหนด B = { 2, 4, 6, 8, … } เซตนีไม่ใช่เซตจํากัด เพราะไม่สามารถบอกจํานวนสมาชิก
ได้แน่นอน เซตลักษณะนีเราเรี ยกว่า “ เซตอนันต์ ”
เซตอนันต์ คือ เซตทีไม่ใช่เซตจํากัด
ตัวอย่าง นักเรี ยนลองพิจารณานะค่ะ เซตเหล่านีจะเป็ นเซตจํากัดหรื อเซตอนันต์
1. A = { 2, 4, 6, …, 100 } เป็ นเซตจํากัด
2. B = { 1, 2, 3, …, 10 } เป็ นเซตจํากัด
3. C = { 1, 3, 5, 7, … } เป็ นเซตจํากัด
4. D = { x x ∈R และ 0 < x < 1 } เป็ นเซตอนันต์

4. ใบความรู้ ที 2
เรือง เซตว่ าง
ในนีไม่ เห็นมีอะไรเลย
• นักเรี ยนหาดูซิคะว่า “ เซตของเดือนทีมี 35 วัน ” คือเดือนอะไรบ้าง
่
• เราจะตอบได้ทนทีเลยว่า “ เซตของเดือนทีมี 35 วัน ” นัน ไม่ มี
ั
เซตว่าง คือ เซตทีไม่มีสมาชิก
• สัญลักษณ์ทีใช้แทนเซตว่าง คือ {} หรื อ ∅
ตัวอย่าง เซตทีกําหนดให้ต่อไปนีเป็ นเซตว่าง
1. { x x เป็ นจํานวนเต็ม ซึง x2 = -1 }
2. { x x เป็ นจํานวนจริ ง ซึง x < x }
3. { x ∈I0 < x < 1 }
1
1
1
1

5. สั บเซต
่
บทนิยาม เซต A เป็ นเซตย่อยของเซต B ก็ตอเมือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B
ใช้สัญลักษณ์ A ⊆ B แทนเซต A เป็ นเซตย่อยของเซต B
ในกรณี ทีเซต A ไม่เป็ นเซตย่อยของเซต B จะใช้สัญลักษณ์ A ⊆ B อ่านว่า เซต A ไม่เป็ น
เซตย่อยของเซต B
ตัวอย่าง จงหาเซตย่อยของเซตทีกําหนดให้
1. A = { 1 }
วิธีทา เซตย่อยของเซต A ทีไม่มีสมาชิกเลย ได้แก่ ∅
ํ
เซตย่อยของเซต A ทีมีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ { 1 }
ดังนัน A มีเซตย่อยทังหมด คือ ∅, { 1 }
2. B = { 1, 2 }
วิธีทา เซตย่อยของเซต B ทีไม่มีสมาชิกเลย ได้แก่ ∅
ํ
เซตย่อยของเซต B ทีมีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ { 1 }, { 2 }
เซตย่อยของเซต B ทีมีสมาชิก 2 ตัว ได้แก่ { 1, 2 }
ดังนัน B มีเซตย่อยทังหมด คือ ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }
3. C = { 1, 2, 3 }
วิธีทา เซตย่อยของเซต C ทีไม่มีสมาชิกเลย ได้แก่ ∅
ํ
เซตย่อยของเซต C ทีมีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ { 1 }, { 2 }, { 3 }
เซตย่อยของเซต B ทีมีสมาชิก 2 ตัว ได้แก่ { 1, 2 }, { 1, 3 },
{2, 3 }
เซตย่อยของเซต B ทีมีสมาชิก 3 ตัว ได้แก่ { 1, 2, 3 }
ดังนัน B มีเซตย่อยทังหมด คือ ∅, { 1 }, { 2 }, { 3}, { 1, 2 },
{ 1, 3 }, { 2, 3 }, {1, 2, 3 }
การหาเซตย่อยและเซตย่อยแท้
ข้ อสั งเกต ถ้าเซต A เป็ นเซตจํากัด และมีสมาชิก n ตัว แล้วเซต A มีเซตย่อย ทังหมด
2n เซตย่อย และเซต A จะมีเซตย่อยแท้ทงหมด 2n – 1 เซตย่อย
ั

6. ่
บทนิยาม เซต A เป็ นเซตย่อยแท้ของเซต B ก็ตอเมือ เซต A เป็ นเซตย่อยของเซต B และ
A ≠ B ใช้สัญลักษณ์ A ⊂ B แทนเซต A เป็ นเซตย่อยแท้ของเซต B
ตัวอย่าง A = { x ∈R 10 < x < 15 }
B = { x ∈R 10 ≤ x < 15 }
่ ่
จากเซต A จะได้วา x มีคามากกว่า 10 แต่นอยกว่า 15
้
่ ่
และเซต B จะได้วา x มีคามากกว่าหรื อเท่ากับ 10 แต่นอยกว่า 15
้
นันคือ เซต A เป็ นเซตย่อยของเซต B และ A ≠ B
ดังนัน เซต A เป็ นเซตย่อยแท้ของเซต B หรื อ A ⊂ B
การหาเซตกําลัง
บทนิยาม เมือ A เป็ นเซตจํากัด เรี ยกเซตของเซตย่อยทังหมดของเซต A ว่า เซตกําลังของ
A หรื อเพาเวอร์เซต A เขียนแทนด้วยเซตกําลังของ A ด้วย P( A )
ตัวอย่าง กําหนด A = { 1, 3, 5 }
เซตย่อยทังหมดของ A ได้แก่
{ ∅, { 1 }, { 3 }, { 5 }, { 1, 3 }, { 1, 5 },{ 3, 5 }, {1, 3, 5 }}
เซตของเซตย่อยทังหมดของหรื อเซตกําลังของ A ได้แก่
{ ∅, { 1 }, { 3 }, { 5 }, { 1, 3 }, { 1, 5 }, { 3, 5 }, {1, 3, 5 }}

7. ลักษณะของเอกภพสั มพัทธ์
่
บทนิยาม เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตทีกําหนดโดยมีขอตกลงว่าจะกล่าวถึงเซตใดๆ ทีมีสมาชิกอยูในเซตที
้
กําหนดเท่านัน ปกติมกใช้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ โดยทัวไปมักเขียนในลักษณะของเซตทีเขียนแบบ
ั
บอกเงือนไขของสมาชิกในเซต
ตัวอย่าง กําหนด C = { x∈Rx2 = 11 }
จงหาว่าสมาชิกของเซต C คือจํานวนใด
วิธีทา เนืองจากสมาชิกของเซต C คือจํานวนจริ ง x ที x2 = 11
ํ
ดังนันจะได้ x2 - 11 = 0
x2 - ( 11 )2 = 0
( x + 11 )( x – 11 ) = 0
x = - 11 หรื อ x = 11
นันคือ สมาชิกของเซต C คือ - 11 และ 11
ตอบ C = { - 11 , 11 }

8. เฉลยแบบตรวจสอบความก้าวหน้ า 5
1. กําหนด A = { x∈I+ x2 + 5x – 24 = 0 }
จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
เนืองจาก x2 + 5x – 24 = 0
( x + 8 )( x – 3 ) = 0
x = -8 หรื อ x = 3
แต่ x∈I+ ดังนัน x = 3
่
จะได้วา A = { 3 }
2. กําหนด A = { x∈I x2 + 5x – 24 = 0 }
จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
เนืองจาก x2 + 5x – 24 = 0
( x + 8 )( x – 3 ) = 0
x = -8 หรื อ x = 3
แต่ x∈I เซตคําตอบ คือ { -8, 3 }
่
จะได้วา A = { -8, 3 }
3. กําหนด B = { x∈Ix2 – 7 = 0 }
จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
x2 – 7 = 0
เนืองจากไม่มีจานวนเต็มใดทีแทน x แล้วทําให้ประโยคเป็ นจริ ง
ํ
ดังนัน B = ∅
4. กําหนด B = { x∈Rx2 – 7 = 0 }
จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
เนืองจาก x2 – 7 = 0
( x + 7 )( x – 7 ) = 0
x = - 7 หรื อ x = 7
และ x∈R เซตคําตอบ คือ { - 7 , 7 }
นันคือ B = { - 7 , 7 }

9. แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
สรุป แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เป็ นแผนภาพทีใช้แสดงความเกียวข้องของเซตต่างๆ การ
เขียนแผนภาพแทนเซตจะใช้รูปปิ ด เช่น วงกลม วงรี สี เหลียม เป็ นต้น มักแทนด้วยรู ปสี เหลียมผืนผ้า
ส่ วนเซตต่างๆ ทีเป็ นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์แทนด้วยวงกลมหรื อวงรี
ตัวอย่าง 1. สมาชิกของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B แต่มีสมาชิกบางตัวของเซต
่
B ไม่อยูในเซต A
U
A B
2. A⊆B และ B⊆C
A B C
4. จงเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ จากเซตทีกําหนดให้ดงนี
ั
1. กําหนด U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 4, 5, 6 }
B = { 2, 3, 4, 7 }
2. จากแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ จงเขียน U, A, B
U
สบู่ ยาสี ฟัน
แชมพู
นําหอม แป้ ง
ผงซักฟอก

10. 1. แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์จงดูส่วนทีแรงเงาในกรณี ตางๆ ดังนี
่
ส่ วนทีแรงเงาคือ A ยูเนียน B ซึงเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A∪B
พืนทีส่ วนทีแรงเงาคือ A อินเตอร์ เซกชัน B ซึงเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A∩B
บทนิยาม ยูเนียนของเซต A และเซต B คือเซตทีประกอบด้วยสมาชิกซึงเป็ นสมาชิกของเซต
A หรื อของเซต B หรื อของทังสองเซต ยูเนียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
A∪B
บทนิยาม อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือเซตทีประกอบด้วยสมาชิกของทังเซต A
และเซต B อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A∩B
ตัวอย่าง กําหนด U = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 7, 8, 10 }
B = { 5, 6, 7, 8, 10 }
จงเขียนเซตของ
1. A∪B
จาก A = { 7, 8, 10 }
B = { 5, 6, 7, 8, 10 }
ดังนัน A∪B = { 5, 6, 7, 8, 10 }

11. 2. A∩B
จาก A = { 7, 8, 10 }
B = { 5, 6, 7, 8, 10 }
ดังนัน A∩B = { 7, 8, 10 }
4.
กําหนด U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 2, 4, 6, 8 }
C = { 6, 7, 8, 9 }
จงหาเซตของ
1. A∪B 2. A∩B 3. ( A∪B ) ∩C
4. A∪C 5. A∩C 6. ( A∩C ) ∩A
วิธีทา
ํ
1. เนืองจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 2, 4, 6, 8 }
ดังนัน A∪B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
2. เนืองจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 2, 4, 6, 8 }
ดังนัน A∩B = { 2, 4 }
3. เนืองจาก A∪B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
C = { 6, 7, 8, 9 }
ดังนัน ( A∪B ) ∩C = { 6, 8 }
4. เนืองจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
C = { 6, 7, 8, 9 }
ดังนัน A∪C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
5. เนืองจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

12. C = { 6, 7, 8, 9 }
ดังนัน A∩C = { }
6. เนืองจาก A∩C = { }
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
ดังนัน ( A∩C ) ∩A = { }
สมบัติต่างๆ เกียวกับยูเนียน
1. A∪A = A
2. A∪∅ = A
3. A∪U = U
4. A∪B = B∪A
5. A∪( A∪C ) = ( A∪B ) ∪C
่
6. A⊆B ก็ตอเมือ A∪B = A
7. A⊆( A∪B ) และ B⊆( A∪B )
สมบัติต่างๆ เกียวกับอินเตอร์ เซกชัน
1. A∩A = A
2. A∩∅ = ∅
3. A∩U = A
4. A∩B = B∩A
5. A∩( B∩C ) = ( A∩B ) ∩C
่
6. A⊆B ก็ตอเมือ A∩B = A
7. ( A∩B ) ⊆A และ ( A∩B ) ⊆B
U
A

13. ่
จากแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ครู และนักเรี ยนสรุ ปได้วา พืนทีแรงเงา คือ U – A สามารถเขียน
่
ด้วยสัญลักษณ์ U ′ และสรุ ปเป็ นบทนิยามได้วา
บทนิยาม ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือเซตทีประกอบด้วย สมาชิกของเซต A ทีไม่
เป็ นสมาชิกของเซต B ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B
ตัวอย่าง จากแผนภาพจงหาเซต A – B, B – A, A′ , B′
U
A 0 1 2 B
5 3 47 6 8
9
วิธีทา จากแผนภาพจะได้
ํ
U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 0, 1, 3, 4, 5, 7 }
B = { 1, 2, 4, 6, 7 }
ดังนัน A – B = { 0, 3, 5 }
B – A = { 2, 6 }
A′ = { 2, 6, 8, 9 }
B′ = { 0, 3, 5, 8, 9 }
ตัวอย่าง
กําหนด U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 0, 2, 4, 6, 8 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
จงหา A – B, B – A, A′ , B ′
วิธีทา A – B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
ํ
B – A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
A′ = { 1, 3, 5, 7, 9 }
B ′ = { 0, 2, 4, 6, 8 }